Sistemi lineari di due equazioni in due incognite impossibili

Quando un sistema lineare di due equazioni in due incognite non ammette alcuna soluzione si dice impossibile.

In questa lezione vediamo quando un sistema lineare di due equazioni non ha soluzione.

Sistemi impossibili

Proviamo a risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione:

\left\{ \begin{array}{ll} 2 \cdot x -5 \cdot y = -1 &\\ 2 \cdot x -5 \cdot y = 5 \end{array} \right.

Isoliamo l'incognita x nella prima equazione:

x = \frac{5y -1}{2}

Successivamente la sostituiamo nella seconda equazione:

2 \cdot \frac{5y - 1}{2} -5 \cdot y = -5 \quad \rightarrow \quad 5y - 1 -5y = -5 \quad \rightarrow \quad \color{red}{-1 = -5} \quad !!!

Abbiamo ottenuto un risultato impossibile, infatti il sistema non ammette soluzioni. Alla stessa conclusione saremmo potuti arrivare anche direttamente osservando che le espressioni a sinistra del segno di uguale di entrambe le equazioni sono uguali ma i valori a destra sono differenti, per cui il sistema non ha senso.

In ogni caso, partendo dal fatto che il sistema è già in forma canonica osserviamo i rapporti tra i coefficienti delle incognite nelle due equazioni, come abbiamo fatto nella lezione precedente:

\frac{2}{2} = \frac{-5}{-5}

I due rapporti sono uguali in quanto valgono entrambe 1. Se invece prendiamo il rapporto fra i due termini noti vediamo che esso è diverso dai due rapporti precedenti:

\frac{-1}{5} \neq 1

Si può dimostrare che questa condizione può essere utilizzata per capire quando un sistema lineare in due incognite di due equazioni non ammette soluzioni.

Definizione

Sistema lineare di due equazioni in due incognite impossibile

un Sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{array} \right.

dove i coefficienti e i termini noti sono diversi da zero:

a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \neq 0

è un sistema impossibile, ossia non ammette soluzione se e soltanto se il rapporto tra i coefficienti della x e il rapporto dei coefficienti della y sono uguali tra di loro ma sono diversi dal rapporto dei termini noti:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}

Questa condizione vale nel caso in cui i due termini noti sono diversi da 0, perchè in tal caso possiamo calcolarne il rapporto. Possiamo estendere questa condizione anche al caso in cui c_1 e c_2 sono uguali a 0 utilizzando una formulazione differente:

a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 = 0 \quad \wedge \quad b_2 \cdot c_1 - b_1 \cdot c_2 \neq 0

Oppure:

a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 = 0 \quad \wedge \quad a_2 \cdot c_1 - a_1 \cdot c_2 \neq 0

In sintesi

Ricapitolando, abbiamo visto in questa lezione che per comprendere quando un sistema lineare non ammette soluzione bisogna analizzare, una volta portato in forma normale, i coefficienti delle due incognite e i due termini noti. In particolare, bisogna analizzarne il rapporto. Se i rapporti dei coefficienti sono uguali ma sono diversi dal rapporto tra i termini noti, il sistema è impossibile e non ammette soluzione.

Nella prossima lezione vedremo quando, invece, tali sistemi ammettono infinite soluzioni.

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