Sistemi lineari di due equazioni in due incognite indeterminati

Quando un sistema lineare di due equazioni in due incognite ammette infinite soluzioni si dice indeterminato.

In questa lezione vediamo quando un sistema lineare di due equazioni ammette infinite soluzioni.

Sistemi indeterminati

Proviamo a risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione:

\left\{ \begin{array}{ll} 2 \cdot x -5 \cdot y = -1 &\\ 4 \cdot x -10 \cdot y = -2 \end{array} \right.

Isoliamo l'incognita x nella prima equazione:

x = \frac{5y -1}{2}

Successivamente la sostituiamo nella seconda equazione:

4 \cdot \frac{5y - 1}{2} -10 \cdot y = -2 \quad \rightarrow \quad 10y - 2 -5y = -2 \quad \rightarrow \quad 0 \cdot y = 0

Il risultato che abbiamo ottenuto è sempre vero, indipendentemente dal valore di y. Quindi possiamo selezionare un qualunque valore di y per poi sostituirlo nella prima equazione ottenendo il corrispondente valore di x. In sostanza, il sistema in esame ammette infinite soluzioni.

Partendo dal fatto che il sistema è già in forma canonica osserviamo i rapporti tra i coefficienti delle incognite nelle due equazioni:

\frac{2}{4} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}

I due rapporti sono uguali e valgono entrambi \frac{1}{2}. Esaminiamo anche il rapporto fra i termini noti:

\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}

Quindi il rapporto tra i termini noti e i rapporti tra i coefficienti delle incognite sono tutti uguali tra di loro.

Si può dimostrare che questa condizione può essere utilizzata per capire quando un sistema lineare in due incognite di due equazioni ammette infinite soluzioni, ossia è un sistema lineare indeterminato.

Definizione

Sistema lineare di due equazioni in due incognite indeterminato

un Sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale:

\left\{ \begin{array}{ll} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 &\\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{array} \right.

dove i coefficienti e i termini noti sono diversi da zero:

a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 \neq 0

è un sistema indeterminato, ossia ammette infinite soluzioni se e soltanto se il rapporto tra i coefficienti della x è uguale rapporto dei coefficienti della y ed è uguale a sua volta al rapporto tra i termini noti:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}

Questa condizione vale nel caso in cui i due termini noti sono diversi da 0, perchè in tal caso possiamo calcolarne il rapporto. Possiamo estendere questa condizione anche al caso in cui c_1 e c_2 sono uguali a 0 utilizzando una formulazione differente:

a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 = 0 \quad \wedge \quad b_2 \cdot c_1 - b_1 \cdot c_2 = 0

Oppure:

a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 = 0 \quad \wedge \quad a_2 \cdot c_1 - a_1 \cdot c_2 = 0

In sintesi

Ricapitolando, abbiamo visto in questa lezione che per comprendere quando un sistema lineare ammette infinite soluzioni bisogna analizzare, una volta portato in forma normale, i coefficienti delle due incognite e i due termini noti. In particolare, bisogna analizzarne il rapporto. Se i rapporti dei coefficienti sono uguali tra loro e sono anche uguali al rapporto tra i termini noti, il sistema è indeterminato e ammette infinite soluzioni.

Nella prossima lezione vedremo un altro metodo di risoluzione dei sistemi lineari: il metodo del confronto.

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