Sistemi lineari di due equazioni Metodo di sostituzione Esercizi Base

Esercizio 1

Risolvere con il metodo di sostituzione il seguente sistema:

\left\{ \begin{array}{cccc} 3x &amp; +4y &amp; = &amp; 1 \\ 2y &amp; -x &amp; = &amp; 3 \end{array} \right.

Passo 0: Riportiamo il sistema in forma normale

Il sistema è, in realtà, già in forma normale, l'unica cosa da fare è riordinare la seconda equazione per portare la $x$ prima della $y$ . Etichettiamo le due equazioni con le diciture $(I)$ e $(II)$ :

$\left\{ \begin{array}{ccccc} 3x & +4y & = & 1 & {\color{red}{(I)}} \\ -x & +2y & = & 3 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.$
Passo 1: Si sceglie un'incognita ed un'equazione in cui isolarla.

In questo caso scegliamo di isolare la $x$ nell'equazione $(II)$ , ottenendo l'equazione $(II^*)$ :

$x = -3 + 2y \quad \color{red}{(II^*)}$
Passo 2: Sostituiamo l'espressione $(II^*)$ nell'equazione $(I)$ ottenendo un'equazione lineare in un'unica incognita.

${\color{red}{(I)}} \quad 3 {\color{red}{x}} +4y = 1 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 3 \cdot {\color{red}{ \left( -3 + 2y \right) }} +4y = 1 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad -9+6y+4y=1 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 10y = 10 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = 1$
Passo 3: Ottenuto il valore di $y$ lo riportiamo nell'equazione $(II^*)$ per ottenere il valore di $x$ :

${\color{red}{(II^*)}} \quad x = -3 + 2 {\color{red}{y}} \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = -3 + 2 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = -1$
La soluzione finale è:

$( -1, 1 )$

Esercizio 2

Risolvere con il metodo di sostituzione il seguente sistema:

\left\{ \begin{array}{cccc} 6x &amp; +5y &amp; = &amp; -1 \\ 3x &amp; +y &amp; = &amp; -2 \end{array} \right.

Passo 0: Riportiamo il sistema in forma normale

Il sistema è già in forma normale. Etichettiamo le due equazioni con le diciture $(I)$ e $(II)$ :

$\left\{ \begin{array}{ccccc} 6x & +5y & = & -1 & {\color{red}{(I)}} \\ 3x & +y & = & -2 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.$
Passo 1: Si sceglie un'incognita ed un'equazione in cui isolarla.

In questo caso scegliamo di isolare la $y$ nell'equazione $(II)$ , ottenendo l'equazione $(II^*)$ :

$y = -3x -2 \quad \color{red}{(II^*)}$
Passo 2: Sostituiamo l'espressione $(II^*)$ nell'equazione $(I)$ ottenendo un'equazione lineare in un'unica incognita.

${\color{red}{(I)}} \quad 6x +5 {\color{red}{y}} = -1 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 6x +5 \cdot {\color{red}{ \left( -3x -2 \right) }} = -1 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 6x-15x-10=-1 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad -9x=9 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = -1$
Passo 3: Ottenuto il valore di $x$ lo riportiamo nell'equazione $(II^*)$ per ottenere il valore di $y$ :

${\color{red}{(II^*)}} \quad y = -3 {\color{red}{x}} -2 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = 3 - 2 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = 1$
La soluzione finale è:

$( -1, 1 )$

Esercizio 3

Risolvere con il metodo di sostituzione il seguente sistema:

\left\{ \begin{array}{ccccc} 2x &amp; -8y &amp; &amp; = &amp; 7 \\ x &amp; -6y &amp; -8 &amp; = &amp; 0 \end{array} \right.

Passo 0: Riportiamo il sistema in forma normale

Riportiamo il sistema in forma normale ed Etichettiamo le due equazioni con le diciture $(I)$ e $(II)$ :

$\left\{ \begin{array}{ccccc} 2x & -8y & = & 7 & {\color{red}{(I)}} \\ x & -6y & = & 8 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.$
Passo 1: Si sceglie un'incognita ed un'equazione in cui isolarla.

In questo caso scegliamo di isolare la $x$ nell'equazione $(II)$ , ottenendo l'equazione $(II^*)$ :

$x = 6y + 8 \quad \color{red}{(II^*)}$
Passo 2: Sostituiamo l'espressione $(II^*)$ nell'equazione $(I)$ ottenendo un'equazione lineare in un'unica incognita.

${\color{red}{(I)}} \quad 2 {\color{red}{x}} -8y = 7 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 2 \cdot {\color{red}{ \left( 6y+8 \right) }} -8y = 7 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 12y+16-8y=7 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 4y=-9 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = -\frac{9}{4}$
Passo 3: Ottenuto il valore di $y$ lo riportiamo nell'equazione $(II^*)$ per ottenere il valore di $x$ :

${\color{red}{(II^*)}} \quad x = 6 {\color{red}{y}} +8 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = 6 \cdot {\color{red}{ \left( -\frac{9}{4} \right) }} +8 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = \frac{-9 \cdot 6 + 32}{4} \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = \frac{-54 + 32}{4} \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = -\frac{ \cancelto{11}{22} }{ \cancelto{2}{4} } \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = -\frac{11}{2}$
La soluzione finale è:

$\left( -\frac{11}{2}, -\frac{9}{4} \right)$

Esercizio 4

Risolvere con il metodo di sostituzione il seguente sistema:

\left\{ \begin{array}{cccc} -2x &amp; +6y &amp; = &amp; 2 \\ 3x &amp; -y &amp; = &amp; 3 \end{array} \right.

Passo 0: Riportiamo il sistema in forma normale

Il sistema è già in forma normale. Etichettiamo le due equazioni con le diciture $(I)$ e $(II)$ :

$\left\{ \begin{array}{ccccc} -2x & +6y & = & 2 & {\color{red}{(I)}} \\ 3x & -y & = & 3 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.$
Passo 1: Si sceglie un'incognita ed un'equazione in cui isolarla.

In questo caso scegliamo di isolare la $y$ nell'equazione $(II)$ , ottenendo l'equazione $(II^*)$ :

$y = 3x - 3 \quad \color{red}{(II^*)}$
Passo 2: Sostituiamo l'espressione $(II^*)$ nell'equazione $(I)$ ottenendo un'equazione lineare in un'unica incognita.

${\color{red}{(I)}} \quad -2x + 6 {\color{red}{y}} = 2 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad -2x +6 \cdot {\color{red}{ \left( 3x - 3 \right) }} = 2 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad - \cancel{2} x + \cancelto{3}{6} \cdot \left( 3x - 3 \right) = \cancelto{1}{2} \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad -x + 9x -9 = 1 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 8x=10 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = \frac{ \cancelto{5}{10} }{ \cancelto{4}{8} } \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = \frac{5}{4}$
Passo 3: Ottenuto il valore di $x$ lo riportiamo nell'equazione $(II^*)$ per ottenere il valore di $y$ :

${\color{red}{(II^*)}} \quad y = 3 {\color{red}{y}} -3 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = 3 \cdot {\color{red}{ \left( \frac{5}{4} \right) }} -3 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = \frac{15 - 12}{4} \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = \frac{3}{4}$
La soluzione finale è:

$\left( \frac{5}{4}, \frac{3}{4} \right)$

Esercizio 5

Risolvere con il metodo di sostituzione il seguente sistema:

\left\{ \begin{array}{cccc} 4x &amp; -y &amp; = &amp; 2 \\ 7x &amp; -2y &amp; = &amp; 3 \end{array} \right.

Passo 0: Riportiamo il sistema in forma normale

Il sistema è già in forma normale. Etichettiamo le due equazioni con le diciture $(I)$ e $(II)$ :

$\left\{ \begin{array}{ccccc} 4x & -y & = & 2 & {\color{red}{(I)}} \\ 7x & -2y & = & 3 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.$
Passo 1: Si sceglie un'incognita ed un'equazione in cui isolarla.

In questo caso scegliamo di isolare la $y$ nell'equazione $(II)$ , ottenendo l'equazione $(II^*)$ :

$y = 4x -2 \quad \color{red}{(II^*)}$
Passo 2: Sostituiamo l'espressione $(II^*)$ nell'equazione $(I)$ ottenendo un'equazione lineare in un'unica incognita.

${\color{red}{(I)}} \quad 7x -2{\color{red}{y}} = 3 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 7x -2 \cdot {\color{red}{ \left( 4x-2 \right) }} = 3 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 7x-8x+4=3 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x=1$
Passo 3: Ottenuto il valore di $x$ lo riportiamo nell'equazione $(II^*)$ per ottenere il valore di $y$ :

${\color{red}{(II^*)}} \quad y = 4 {\color{red}{y}} -2 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = 4 \cdot {\color{red}{ 1 }} -2 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = 2$
La soluzione finale è:

$\left( 1, 2 \right)$

Esercizio 6

Risolvere con il metodo di sostituzione il seguente sistema:

\left\{ \begin{array}{cccc} 3x &amp; -2y &amp; = &amp; 2 \\ 6x &amp; -\frac{1}{2}y &amp; = &amp; 4 \end{array} \right.

Passo 0: Riportiamo il sistema in forma normale

Il sistema è già in forma normale. Etichettiamo le due equazioni con le diciture $(I)$ e $(II)$ :

$\left\{ \begin{array}{ccccc} 3x & -2y & = & 2 & {\color{red}{(I)}} \\ 6x & -\frac{1}{2}y & = & 4 & {\color{red}{(II)}} \end{array} \right.$
Passo 1: Si sceglie un'incognita ed un'equazione in cui isolarla.

In questo caso scegliamo di isolare la $x$ nell'equazione $(I)$ , ottenendo l'equazione $(I^*)$ :

$x = \frac{2y +2}{3} \quad \color{red}{(I^*)}$
Passo 2: Sostituiamo l'espressione $(I^*)$ nell'equazione $(II)$ ottenendo un'equazione lineare in un'unica incognita.

${\color{red}{(II)}} \quad 6 {\color{red}{x}} - \frac{1}{2} y = 4 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 6 \cdot {\color{red}{ \left( \frac{2y +2}{3} \right) }} - \frac{1}{2} y = 4 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad \cancelto{2}{6} \cdot \frac{2y +2}{ \cancelto{1}{3} } - \frac{1}{2} y = 4 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad 4y + \cancel{4} - \frac{1}{2} y = \cancel{4} \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad \left( 4 - \frac{1}{2} \right) y = 0 \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad y = 0$
Passo 3: Ottenuto il valore di $y$ lo riportiamo nell'equazione $(I^*)$ per ottenere il valore di $x$ :

${\color{red}{(I^*)}} \quad x = \frac{2 \cdot {\color{red}{y}} +2}{3} \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = \frac{2 \cdot {\color{red}{0}} +2}{3} \quad \rightarrow$

$\rightarrow \quad x = \frac{2}{3}$
La soluzione finale è:

$\left( \frac{2}{3}, 0 \right)$

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