Baricentro Geometrico di una Distribuzione di Punti nel Piano Cartesiano

Abbiamo visto che il Baricentro di un Triangolo ha come componenti la media aritmetica delle coordinate dei suoi vertici. Questo concetto può essere esteso a qualsiasi distribuzione di punti nel piano cartesiano. In questa lezione vedremo come calcolare il Baricentro Geometrico di una distribuzione di punti. Applicheremo la formula del baricentro geometrico ad un esempio e vedremo alcune proprietà di questo punto.

Baricentro Geometrico di una distribuzione di punti

Nelle precedenti lezioni abbiamo visto la formula per calcolare il punto medio di un segmento date le coordinate dei suoi estremi:

M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

Successivamente, abbiamo visto come calcolare le coordinate del baricentro di un triangolo date le coordinate dei suoi vertici:

G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)

In entrambe i casi possiamo notare il manifestarsi di uno schema: le coordinate del punto medio e del baricentro sono date dalla media aritmetica delle coordinate dei punti che stiamo considerando. La media viene calcolata, ovviamente, in maniera separata per le ascisse e per le ordinate.

In generale, possiamo estendere questo schema a qualsiasi distribuzione di punti nel piano cartesiano. Una distribuzione di punti è un semplice insieme di punti. Supponiamo di avere $n$ punti con le seguenti coordinate:

P_1 = (x_1, y_1), P_2 = (x_2, y_2), \ldots, P_n = (x_n, y_n)

Il baricentro geometrico di questi punti è il punto $G$ con le seguenti coordinate:

G = \left( \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}, \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_n}{n} \right)

In altre parole, le coordinate del baricentro geometrico sono date dalla media aritmetica delle coordinate dei punti che stiamo considerando:

**Figura 1:** Esempio di Baricentro Geometrico di una distribuzione di 10 punti

Ricapitolando:

Definizione

Baricentro Geometrico

Data una distribuzione di $n$ punti $P_i$ nel piano cartesiano:

\left\{ P_i = (x_i, y_i) \quad \forall i = 1, 2, \ldots, n \right\}

le coordinate del baricentro geometrico $G$ sono date da:

G = \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n}, \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{n} \right)

Proprietà del Baricentro Geometrico

Possiamo verificare facilmente che, per come è calcolato, il baricentro di una distribuzione di punti gode della proprietà per cui le sue coordinate saranno sempre comprese tra i valori minimi e massimi delle coordinate dei punti che stiamo considerando.

In altri termini, sia data una distribuzione di punti:

\left\{ P_i = (x_i, y_i) \quad \forall i = 1, 2, \ldots, n \right\}

Di questi punti individuiamo la minore ascissa e la minore ordinata:

x_{\min} = \min \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}

y_{\min} = \min \left\{ y_1, y_2, \ldots, y_n \right\}

Analogamente, individuiamo la maggiore ascissa e la maggiore ordinata:

x_{\max} = \max \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_n \right\}

y_{\max} = \max \left\{ y_1, y_2, \ldots, y_n \right\}

Abbiamo che le coordinate $x_G$ e $y_G$ del baricentro geometrico $G$ soddisfano le seguenti disuguaglianze:

x_{\min} \leq x_G \leq x_{\max}

y_{\min} \leq y_G \leq y_{\max}

Per comprendere meglio, osserviamo la figura che segue:

**Figura 2:** Proprietà del Baricentro Geometrico

In questo caso vediamo che:

il punto $P_8$ ha la massima ascissa e la massima ordinata: $x_{max}$ e $y_{max}$ ;
il punto $P_3$ ha la minima ordinata: $y_{min}$ ;
il punto $P_{10}$ ha la minima ascissa: $x_{min}$ .

Con questi valori possiamo identificare un rettangolo, che in figura è disegnato con una linea tratteggiata, che racchiude tutti i punti della distribuzione. Il baricentro geometrico $G$ è sempre contenuto all'interno di questo rettangolo.

Definizione

Proprietà del Baricentro Geometrico

Sia data una distribuzione di punti:

\left\{ P_i = (x_i, y_i) \quad \forall i = 1, 2, \ldots, n \right\}

Il baricentro geometrico $G$ gode della proprietà per cui le sue coordinate $x_G$ e $y_G$ sono sempre comprese tra i valori minimi e massimi delle coordinate dei punti che stiamo considerando:

x_{\min} \leq x_G \leq x_{\max}

y_{\min} \leq y_G \leq y_{\max}

Esempio

Proviamo a calcolare il baricentro geometrico di una distribuzione di punti. Supponiamo di avere i seguenti punti:

\begin{align*} P_1 &amp;= (1, 2) \\ P_2 &amp;= (3, 4) \\ P_3 &amp;= (2, 1) \\ P_4 &amp;= (5, 3) \\ P_5 &amp;= (4, 5) \end{align*}

I punti sono dislocati nel piano come mostrato in figura:

**Figura 3:** Distribuzione di punti dell'esempio

Applichiamo la formula del baricentro geometrico e otteniamo:

x_G = \frac{1 + 3 + 2 + 5 + 4}{5} = \frac{15}{5} = 3

y_G = \frac{2 + 4 + 1 + 3 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3

Quindi, il baricentro geometrico della distribuzione di punti è $G = (3, 3)$ :

**Figura 4:** Baricentro Geometrico della distribuzione di punti dell'esempio

In Sintesi

Il baricentro geometrico di una distribuzione di punti nel piano cartesiano è il punto la cui ascissa e ordinata sono date dalla media aritmetica delle ascisse e delle ordinate dei punti che stiamo considerando. Il baricentro geometrico gode della proprietà per cui le sue coordinate sono sempre comprese tra i valori minimi e massimi delle coordinate dei punti della distribuzione.

La formula per calcolare il baricentro geometrico di una distribuzione di punti è:

G = \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n}, \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{n} \right)

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