Baricentro di un Triangolo nel Piano Cartesiano

Il Baricentro, o Centroide, di un triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane.

Grazie agli strumenti forniti dalla Geometria Analitica, possiamo calcolare le coordinate del baricentro di un triangolo conoscendo le coordinate dei suoi vertici.

In questa lezione vedremo come ricavare questa formula e come applicarla ad un esempio.

Baricentro di un Triangolo

Sappiamo, dalla geometria euclidea, che il baricentro di un triangolo (chiamato anche centroide) è il punto di intersezione delle tre mediane. La mediana di un triangolo è il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto.

Ad esempio, nella figura che segue, il punto $G$ è il baricentro del triangolo ABC in quanto è il punto di intersezione delle mediane $AN$ , $BP$ e $CM$ :

Quello che vogliamo fare in questa lezione è trovare una formula che date le coordinate dei vertici di un triangolo, ci permetta di calcolare le coordinate del baricentro.

Supponiamo di avere tre vertici con le seguenti coordinate:

$A = (x_A, y_A)$ ;
$B = (x_B, y_B)$ ;
$C = (x_C, y_C)$ .

Per prima cosa, troviamo il punto medio $M$ del segmento $AB$ . Abbiamo visto che nella lezione sul punto medio che la formula per trovare il punto medio è la seguente:

M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)

La mediana $CM$ è il segmento che congiunge il vertice $C$ con il punto medio $M$ del lato opposto. Essa intersecherà le altre mediane nel baricentro $G$ come mostrato di seguito:

**Figura 2:** Mediana e Baricentro di un Triangolo

Consideriamo esclusivamente la mediana $CM$ ed il baricentro $G$ . Sappiamo che il baricentro $G$ divide la mediana in due segmenti, $CG$ e $GM$ , in maniera tale che il loro rapporto sia 2:1. Questo significa che la distanza tra $C$ e $G$ è il doppio della distanza tra $G$ e $M$ . In altre parole, possiamo scrivere:

\overline{CG} = 2 \cdot \overline{GM}

Dai punti $C$ , $M$ e $G$ tracciamo tre rette verticali, parallele all'asse delle ordinate, come mostrato nella figura seguente:

**Figura 3:** Proiezione del baricentro sull'asse delle ascisse

Queste tre rette intersecano l'asse delle ascisse in tre punti $C'$ , $M'$ e $G'$ . Applicando il Teorema di Talete, come abbiamo fatto per il punto medio, sappiamo che rette parallele che intersecano rette trasversali, dividono queste ultime in segmenti proporzionali. Nel nostro caso, le rette trasversali sono l'asse delle ascisse e la retta su cui giace il segmento $CM$ . Pertanto i segmenti $C'G'$ e $G'M'$ sono proporzionali a $CG$ e $GM$ rispettivamente.

Possiamo quindi scrivere:

\frac{\overline{CG}}{\overline{GM}} = \frac{\overline{C'G'}}{\overline{G'M'}}

Ma sappiamo che $CG = 2 \cdot GM$ , quindi possiamo scrivere:

\frac{2 \cdot \overline{GM}}{\overline{GM}} = \frac{\overline{C'G'}}{\overline{G'M'}}

da cui ricaviamo:

2 \cdot \overline{G'M'} = \overline{C'G'}

La lunghezza del segmento $C'G'$ è data dalla differenza delle ascisse dei punti $C$ e $G$ . Analogamente, la lunghezza del segmento $G'M''$ è data dalla differenza delle ascisse dei punti $G$ e $M$ . Pertanto possiamo scrivere:

2 \cdot (x_G - x_M) = x_C - x_G

da cui ricaviamo:

x_G = \frac{x_C + 2 \cdot x_M}{3}

Ma, sappiamo dalla formula del punto medio che:

x_M = \frac{x_A + x_B}{2}

Sostituendo $x_M$ nella formula precedente otteniamo:

x_G = \frac{x_C + 2 \cdot \frac{x_A + x_B}{2}}{3}

da cui ricaviamo:

x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}

Allo stesso modo possiamo lavorare con le ordinate dei punti in questione. Tracciamo tre rette orizzontali, parallele all'asse delle ascisse, che intersecano l'asse delle ordinate nei punti $C''$ , $M''$ e $G''$ come mostrato nella figura seguente:

**Figura 4:** Proiezione del baricentro sull'asse delle ordinate

Ricaviamo facilmente che:

y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}

Ricapitolando:

Definizione

Baricentro di un triangolo nel piano cartesiano

Dati tre vertici $A=(x_A, y_A)$ , $B=(x_B, y_B)$ e $C=(x_C, y_C)$ , le coordinate del baricentro $G$ (chiamato anche centroide) del triangolo $ABC$ sono date da:

G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

Esempio

Supponiamo di avere un triangolo con i seguenti vertici:

$A = (1, 3)$ ;
$B = (3, 1)$ ;
$C = (6, 4)$ .

Il triangolo è rappresentato in figura:

Applichiamo la formula del baricentro e otteniamo:

G = \left(\frac{1 + 3 + 6}{3}, \frac{3 + 1 + 4}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}, \frac{8}{3}\right)

Il risultato è mostrato in figura:

**Figura 6:** Esempio di Calcolo del Baricentro di un Triangolo

In Sintesi

Il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane. Le coordinate del baricentro di un triangolo nel piano cartesiano sono date dalla media aritmetica delle coordinate dei vertici del triangolo.

In particolare la formula è:

G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

Nella prossima lezione estenderemo questo concetto al caso di una distribuzione di punti nel piano cartesiano.

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