Dividere un Segmento secondo un Rapporto Dato nel Piano Cartesiano

Abbiamo visto che il punto medio di un segmento divide lo stesso in due parti uguali.

In geometria analitica, le coordinate del punto medio di un segmento si ottengono effettuando la media aritmetica delle coordinate degli estremi.

In questa lezione andremo oltre e vedremo come dividere un segmento nel piano cartesiano secondo un rapporto dato, ossia come trovare le coordinate di un punto che lo divide in parti proporzionali.

Divisione di un Segmento in un Rapporto Dato

Nella lezione precedente abbiamo visto che le coordinate del punto medio di un segmento si ottengono effettuando la media aritmetica delle coordinate degli estremi.

Per cui, dati gli estremi di un segmento $AB$ con coordinate $A=(x_A, y_A)$ e $B=(x_B, y_B)$ , il punto medio $M$ avrà coordinate:

M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)

Il punto medio $M$ ha anche la proprietà di dividere il segmento in due parti uguali, ciascuna delle quali è lunga la metà del segmento originale:

\overline{AM} = \overline{MB}

In altre parole il rapporto tra le lunghezze dei due segmenti è $1:1$ :

\frac{\overline{AM}}{\overline{MB}} = 1

Adesso, proviamo a trovare la formula per ottenere un punto $N$ tale che divida il segmento $\overline{AB}$ in un rapporto dato $l:m$ . In altre parole, vogliamo trovare le coordinate di $N$ in modo che:

\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}} = \frac{l}{m}

La situazione di partenza è raffigurata nella figura che segue:

**Figura 1:** Punto che divide un segmento secondo un rapporto dato

Per prima cosa tracciamo le proiezioni dei tre punti sull'asse delle ascisse, ossia tracciamo i segmenti $AA'$ , $BB'$ e $NN'$ perpendicolari all'asse $x$ come mostra la figura seguente:

**Figura 2:** Proiezioni sull'asse x dei punti

Le coordinate dei punti $A'$ , $B'$ e $N'$ sono rispettivamente $(x_A, 0)$ , $(x_B, 0)$ e $(x_N, 0)$ in quanto giacciono sull'asse delle ascisse.

Possiamo, adesso, sfruttare il teorema di Talete. Infatti, se consideriamo la retta su cui giace il segmento $\overline{AB}$ e l'asse delle ascisse, abbiamo che i segmenti $AA'$ , $BB'$ e $NN'$ dividono i segmenti $\overline{AB}$ e $\overline{A'B'}$ in parti proporzionali. Per cui possiamo scrivere che:

\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}} = \frac{\overline{A'N'}}{\overline{N'B'}}

In sostanza, il teorema di Talete ci dice che tra i segmenti $A'N'$ e $N'B'$ vale la stessa proporzione che sussiste tra i segmenti $AN$ e $NB$ . Per cui possiamo scrivere:

\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}} = \frac{\overline{A'N'}}{\overline{N'B'}} = \frac{l}{m}

Ma possiamo riscrivere la frazione $\frac{\overline{A'N'}}{\overline{N'B'}}$ come:

\frac{\overline{A'N'}}{\overline{N'B'}} = \frac{x_N - x_A}{x_B - x_N}

Quindi, l'uguaglianza diventa:

\frac{x_N - x_A}{x_B - x_N} = \frac{l}{m}

Adesso si tratta di risolvere un'equazione di primo grado la cui incognita è $x_N$ .

Per prima cosa, moltiplichiamo ambo i membri dell'equazione per $m$ :

\rightarrow m \cdot \frac{x_N - x_A}{x_B - x_N} = \cancel{m} \cdot \frac{l}{\cancel{m}}

Poi, moltiplichiamo ambo i membri per $x_B - x_N$ (supponendo che sia una quantità diversa da 0, ossia che $x_B \neq x_N$ ):

\rightarrow m \cdot \frac{x_N - x_A}{\cancel{x_B - x_N}} \cdot \cancel{x_B - x_N} = l \cdot (x_B - x_N)

\rightarrow m \cdot x_N - m \cdot x_A = l \cdot x_B - l \cdot x_N

\rightarrow m \cdot x_N + l \cdot x_N = l \cdot x_B + m \cdot x_A

\rightarrow (m + l) \cdot x_N = l \cdot x_B + m \cdot x_A

\rightarrow x_N = \frac{l \cdot x_B + m \cdot x_A}{m + l}

A questo punto abbiamo trovato l'ascissa del punto $N$ .

Per trovare l'ordinata, bisogna procedere in maniera analoga e proiettare i punti $A$ , $B$ e $N$ sull'asse delle ordinate. In questo caso, le coordinate dei punti $A''$ , $B''$ e $N''$ saranno rispettivamente $(0, y_A)$ , $(0, y_B)$ e $(0, y_N)$ . Le proiezioni sono raffigurate nella figura seguente:

**Figura 3:** Proiezioni sull'asse y dei punti

Sempre per il teorema di Talete abbiamo che:

\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}} = \frac{\overline{A''N''}}{\overline{N''B''}} = \frac{l}{m}

Sostituendo a $\overline{A''N''}$ e $\overline{N''B''}$ le rispettive distanze tra le ordinate dei punti, otteniamo:

\frac{y_N - y_A}{y_B - y_N} = \frac{l}{m}

Anche in questo caso abbiamo un'equazione di primo grado nell'incognita $y_N$ . Procedendo come sopra, otteniamo:

y_N = \frac{l \cdot y_B + m \cdot y_A}{m + l}

Quindi la formula è pressoché identica a quella per l'ascissa, con la differenza che stavolta si usano le ordinate degli estremi del segmento.

Per cui, le coordinate di $N$ sono:

N = \left( \frac{l \cdot x_B + m \cdot x_A}{m + l}, \frac{l \cdot y_B + m \cdot y_A}{m + l} \right)

Definizione

Punto che divide un segmento in un rapporto dato

Siano $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ due punti nel piano cartesiano e $N(x_N, y_N)$ un punto che divide il segmento $\overline{AB}$ in un rapporto $l:m$ . Allora le coordinate di $N$ sono:

N = \left( \frac{l \cdot x_B + m \cdot x_A}{m + l}, \frac{l \cdot y_B + m \cdot y_A}{m + l} \right)

Consiglio

Relazione con il Punto Medio

É interessante notare che se il rapporto che intercorre tra gli estremi del segmento è $1:1$ , ossia i due segmenti sono uguali, allora il punto $N$ coincide con il punto medio $M$ del segmento.

Infatti, sostituendo $l = m = 1$ nella formula otteniamo:

N = \left( \frac{1 \cdot x_B + 1 \cdot x_A}{1 + 1}, \frac{1 \cdot y_B + 1 \cdot y_A}{1 + 1} \right)

= \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = M

Ossia, otteniamo la formula del punto medio.

Esempio

Adesso, proviamo ad applicare la formula appena trovata a un esempio concreto.

Supponiamo di avere un segmento $\overline{AB}$ con $A(1, 2)$ e $B(5, 6)$ e di voler trovare il punto $N$ che divide il segmento in un rapporto $2:3$ .

L'ascissa di $N$ si ottiene sostituendo i valori delle ascisse di $A$ e $B$ e i valori di $l = 2$ e $m = 3$ nella formula:

x_N = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 1}{2 + 3} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5} = 2.6

Analogamente per l'ordinata:

y_N = \frac{2 \cdot 6 + 3 \cdot 2}{2 + 3} = \frac{12 + 6}{5} = \frac{18}{5} = 3.6

Quindi, il punto $N$ ha coordinate $N(2.6, 3.6)$ come mostrato nella figura seguente:

**Figura 4:** Punto che divide il segmento AB con un rapporto pari a 2/3

Come controprova, proviamo a calcolare la lunghezza dei segmenti $\overline{AN}$ e $\overline{NB}$ , per poi verificare che il rapporto tra le due lunghezze sia effettivamente $2:3$ .

La lunghezza del segmento $\overline{AN}$ si calcola con la formula della distanza tra due punti:

\overline{AN} = \sqrt{(x_N - x_A)^2 + (y_N - y_A)^2}

Sostituendo i valori otteniamo:

\overline{AN} = \sqrt{(2.6 - 1)^2 + (3.6 - 2)^2}

= \sqrt{1.6^2 + 1.6^2}

= \sqrt{2.56 + 2.56} = \sqrt{5.12} \approx 2.262

Analogamente per $\overline{NB}$ :

\overline{NB} = \sqrt{(x_B - x_N)^2 + (y_B - y_N)^2}

= \sqrt{(5 - 2.6)^2 + (6 - 3.6)^2}

= \sqrt{2.4^2 + 2.4^2}

= \sqrt{5.76 + 5.76} = \sqrt{11.52} \approx 3.394

Quindi, il rapporto tra le due lunghezze è:

\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}} = \frac{2.262}{3.394} \approx 0.667

Che è effettivamente $2:3$ .

Punto Esterno di Divisione

Esaminiamo, ora, un caso particolare.

Supponiamo di avere due punti $A$ e $B$ tali che:

$A = \left( 2, 1 \right)$
$B = \left( 4, 3 \right)$

Questi due punti identificano il segmento mostrato in figura:

**Figura 5:** Segmento da dividere con un rapporto negativo

Proviamo a dividere il segmento secondo un rapporto dato, ma stavolta consideriamo un valore $m$ negativo. Ad esempio, supponiamo che $l = -2$ e $m = 3$ . Vediamo cosa accade.

Applicando le formule trovate precedentemente otteniamo le coordinate del punto $N$ :

x_N = \frac{2 \cdot 4 + (-3) \cdot 2}{2 + (-3)} = \frac{8 - 6}{-1} = -2

y_N = \frac{2 \cdot 3 + (-3) \cdot 1}{2 + (-3)} = \frac{6 - 3}{-1} = -3

Abbiamo ottenuto che il punto $N$ ha coordinate $N(-2, -3)$ . Ma se osserviamo bene, il punto $N$ appena trovato è esterno al segmento $AB$ e non interno. Il punto è rappresentato in figura:

**Figura 6:** Punto Esterno di divisione

Quindi, se il rapporto $l:m$ è negativo, allora il punto $N$ ottenuto sarà esterno al segmento.

Definizione

Punto Esterno di Divisione di un Segmento

Se il rapporto $l:m$ è negativo, allora il punto $N$ ottenuto sarà esterno al segmento $AB$ .

Proviamo a dimostrare che vale sempre questa proprietà. Per semplicità ci limitiamo al caso dell'ascissa, ma il ragionamento è identico anche per l'ordinata.

Affinché il rapporto $l:m$ sia negativo, deve valere che i due valori abbiano segno discorde. Ossia, se $l > 0$ allora $m < 0$ e viceversa.

Supponiamo che $x_A < x_B$ , ossia supponiamo che il punto $A$ si trovi a sinistra del punto $B$ .

L'ordinata del punto $N$ sarà:

x_N = \frac{l \cdot x_B + m \cdot x_A}{m + l}

Dovrà valere che:

\frac{l \cdot x_B + m \cdot x_A}{m + l} &lt; x_A

Svolgendo i calcoli otteniamo:

l \cdot x_B + m \cdot x_A &lt; x_A \cdot m + x_A \cdot l

l \cdot x_B &lt; x_A \cdot l

l \cdot \left( x_B - x_A \right) &lt; 0

Ma noi sappiamo che $x_B - x_A > 0$ in quanto $x_B > x_A$ . Quindi, affinché la disuguaglianza sia verificata, deve valere che:

l &lt; 0

Ma se $l < 0$ allora $m > 0$ e deve valere, inoltre, che:

\frac{l \cdot x_B + m \cdot x_A}{m + l} &lt; x_B

Questo perché, se il punto $N$ si trova a sinistra di $A$ , allora deve trovarsi anche a sinistra di $B$ .

Svolgendo i calcoli otteniamo:

l \cdot x_B + m \cdot x_A &lt; x_B \cdot m + x_B \cdot l

m \cdot x_A &lt; x_B \cdot m

m \cdot \left( x_B - x_A \right) &gt; 0

Sappiamo che $x_B - x_A > 0$ e, quindi, affinché la disuguaglianza sia verificata, deve valere che:

m &gt; 0

In Sintesi

In questa lezione abbiamo esteso il concetto di divisione di un segmento nel piano cartesiano.

Siamo andati oltre il punto medio e abbiamo trovato la formula per trovare un punto $N$ che divide il segmento $\overline{AB}$ in un rapporto dato $l:m$ .

La formula per trovare le coordinate di $N$ è:

N = \left( \frac{l \cdot x_B + m \cdot x_A}{m + l}, \frac{l \cdot y_B + m \cdot y_A}{m + l} \right)

Abbiamo anche visto che se il rapporto $l:m$ è negativo, allora il punto $N$ ottenuto sarà esterno al segmento.

Nella prossima lezione, estenderemo il concetto di punto medio di un segmento ad un caso più generale, ossia quello del baricentro di un triangolo.

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