Punto Medio di un Segmento nel Piano Cartesiano

Il punto medio di un segmento AB è quel punto M tale che la distanza tra A e M sia uguale alla distanza tra M e B.

Grazie alla geometria analitica, possiamo trovare il punto medio di un segmento conoscendo le coordinate dei due estremi in maniera molto semplice.

In questa lezione ricaveremo prima come trovare le coordinate di un punto medio nei casi in cui i due estremi del segmento si trovano su una retta orizzontale (parallela all'asse x), su una retta verticale (parallela all'asse y) e infine in generale.

Punto Medio di due punti con la stessa ordinata

Partiamo dal caso in cui gli estremi del segmento di cui si voglia trovare il punto medio abbiano la stessa ordinata.

Supponiamo di avere due punti $A(1, 2)$ e $B(5, 2)$ come mostrato in figura:

**Figura 1:** Punto medio di due punti con la stessa ordinata

Il punto medio $M$ di $AB$ avrà la stessa ordinata di $A$ e $B$ , ovvero $2$ . Questo perché dovrà necessariamente giacere sulla stessa retta orizzontale che passa per i due punti.

Per trovare l'ascissa di $M$ possiamo ragionare in questo modo: la distanza tra $A$ e $M$ sarà uguale a quella tra $M$ e $B$ :

\overline{AM} = \overline{MB}

ma, come abbiamo visto nella precedente lezione, quando due punti hanno la stessa ordinata la loro distanza è data dalla differenza delle loro ascisse:

\overline{AM} = |x_M - x_A| = |x_B - x_M| = \overline{MB}

Dal momento che $x_B > x_M > x_A$ , possiamo eliminare il valore assoluto e scrivere la seguente equazione:

x_M - x_A = x_B - x_M

da cui ricaviamo facilmente:

\rightarrow 2 \cdot x_M = x_A + x_B

\rightarrow x_M = \frac{x_A + x_B}{2}

In altre parole, l'ascissa del punto medio è la media aritmetica delle ascisse dei due estremi. Per cui, nel nostro caso, il punto medio $M$ avrà coordinate:

M\left(\frac{1 + 5}{2}, 2\right) = M(3, 2)

Possiamo fare considerazioni analoghe anche nel caso in cui $x_A > x_B$ .

Definizione

Punto Medio di due punti con la stessa ordinata

Dati due punti $A(x_A, y)$ e $B(x_B, y)$ con la stessa ordinata, il punto medio $M$ di $AB$ avrà coordinate:

M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, y\right)

Punto Medio di due punti con la stessa ascissa

Questo caso è sostanzialmente identico al precedente.

Supponiamo di avere due punti $A(2, 1)$ e $B(2, 7)$ come mostrato in figura:

**Figura 2:** Punto medio di due punti con la stessa ascissa

Si può verificare facilmente che il punto medio $M$ di $AB$ avrà la stessa ascissa di $A$ e $B$ , ovvero $2$ . Per l'ordinata effettuiamo un ragionamento analogo e otteniamo:

M\left(2, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Quindi il punto medio di due punti con la stessa ascissa avrà coordinate:

M\left(2, 4\right)

Definizione

Punto Medio di due punti con la stessa ascissa

Dati due punti $A(x, y_A)$ e $B(x, y_B)$ con la stessa ascissa, il punto medio $M$ di $AB$ avrà coordinate:

M\left(x, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Punto Medio di due punti generici

Ricaviamo, adesso, le coordinate del punto medio $M$ di due punti $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ generici.

Per convenienza, ricaviamo prima l'ascissa di $M$ e poi l'ordinata.

Per ottenere l'ascissa di $M$ tracciamo dai tre punti $A$ , $B$ e $M$ tre rette verticali che intersecano l'asse delle ascisse nei punti $A'$ , $B'$ e $M'$ rispettivamente:

**Figura 3:** Ascissa del punto medio di punti generici

Questi tre punti avranno ordinata pari a 0 e ascissa pari a quella dei punti $A$ , $B$ e $M$ rispettivamente:

A'(x_A, 0) \quad B'(x_B, 0) \quad M'(x_M, 0)

A questo punto possiamo sfruttare il Teorema di Talete che ci dice che se due rette trasversali sono intersecate da un fascio di rette parallele, allora i segmenti determinati sulle trasversali sono proporzionali.

Nel nostro caso abbiamo che:

le rette trasversali sono la retta passante per $A$ e $B$ e l'asse delle ascisse;
il fascio di rette parallele è costituito dalle rette verticali passanti per i punti $A$ , $B$ e $M$ .

Di conseguenza abbiamo che vale la seguente proporzione:

\frac{\overline{A'M'}}{\overline{AM}} = \frac{\overline{M'B'}}{\overline{MB}}

Ma, essendo per costruzione $M$ il punto medio di $AB$ abbiamo che:

\overline{AM} = \overline{MB}

Per cui ricaviamo:

\overline{A'M'} = \overline{M'B'}

Quindi $M'$ è il punto medio di $A'B'$ . Possiamo sfruttare il risultato trovato sopra per ricavare l'ascissa di $M$ :

x_M = \frac{x_A + x_B}{2}

Per l'ordinata di $M$ sfruttiamo lo stesso ragionamento, tracciando questa volta tre rette orizzontali che intersecano l'asse delle ordinate nei punti $A''$ , $B''$ e $M''$ rispettivamente:

**Figura 4:** Ordinata del punto medio di punti generici

Anche in questo caso possiamo sfruttare il Teorema di Talete per ricavare l'ordinata di $M$ :

\overline{A''M''} = \overline{M''B''}

Per cui l'ordinata di $M$ sarà:

y_M = \frac{y_A + y_B}{2}

In altre parole, dati due punti generici $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ , il punto medio $M$ di $AB$ avrà coordinate:

M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

ossia ciascuna coordinata è la media aritmetica delle coordinate corrispondenti dei due estremi.

Definizione

Punto Medio di due punti generici

Le coordinate del punto medio del segmento individuato da due generici punti $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ sono:

M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

In Sintesi

In questa lezione, sfruttando la geometria analitica, siamo riusciti a ricavare le formule algebriche per trovare le coordinate del punto medio di un segmento individuato da due punti nel piano cartesiano.

In particolare abbiamo visto che:

se i due punti hanno la stessa ordinata, il punto medio avrà la stessa ordinata e ascissa pari alla media aritmetica delle ascisse dei due punti:

$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, y\right)$
se i due punti hanno la stessa ascissa, il punto medio avrà la stessa ascissa e ordinata pari alla media aritmetica delle ordinate dei due punti:

$M\left(x, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
in generale, il punto medio avrà coordinate pari alla media aritmetica delle coordinate corrispondenti dei due punti:

$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

In questo modo, conoscendo le coordinate dei due estremi di un segmento, possiamo facilmente trovare le coordinate del suo punto medio.

Il punto medio divide un segmento esattamente a metà, pertanto i due segmenti che individua sono congruenti. Possiamo estendere questo concetto al caso in cui un punto divida un segmento in parti proporzionali, ossia che rispettano una certa proporzione. Affronteremo questo argomento nella prossima lezione.

Lezione Precedente Indice del capitolo Lezione Successiva