Distanza tra due Punti nel Piano Cartesiano

Nella lezione precedente abbiamo visto come rappresentare i punti in un piano attraverso una coppia di numeri reali che prendono il nome di coordinate.

Dato, infatti, un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, ad ogni punto del piano è associata una e una sola coppia di numeri reali.

In questa lezione vedremo come, date le coordinate di due punti, sia possibile calcolare la distanza tra di essi.

Per farlo, analizzeremo due casi particolari prima di ricavare la formula per il caso generale:

la distanza tra due punti che hanno la stessa ordinata;
la distanza tra due punti che hanno la stessa ascissa;
la distanza tra due punti generici.

Distanza tra due punti con la stessa ordinata

Per esaminare questo caso, partiamo da un esempio.

Supponiamo di avere due punti con la stessa ordinata:

$A$ con coordinate $(6, 2)$ ;
$B$ con coordinate $(3, 2)$ .

Questi punti giacciono su di una retta (del resto per due punti di un piano passa una e una sola retta) che è parallela all'asse delle ascisse, come mostrato nella figura che segue:

**Figura 1:** Due punti con la stessa ordinata

Adesso, tracciamo la proiezione dei due punti sull'asse delle ascisse disegnando delle rette passanti per $A$ e $B$ e parallele all'asse delle ordinate:

**Figura 2:** Distanza tra due punti con la stessa ordinata

Queste due rette, come mostrato sopra, intersecano l'asse delle ascisse rispettivamente in $A_x$ e $B_x$ .

Ora, la figura geometrica identificata dai vertici $A$ , $B$ , $A_x$ e $B_x$ è un rettangolo. Pertanto vale che:

\overline{AB} = \overline{A_xB_x}

ossia, i due segmenti hanno la stessa lunghezza.

Inoltre, per come abbiamo costruito il piano cartesiano nella precedente lezione, sappiamo che l'ascissa di un punto equivale alla misura del segmento delimitato dall'origine e dalla proiezione del punto sull'asse delle ascisse. Per cui, possiamo scrivere:

\overline{AB} = \overline{A_xB_x} = \overline{OA_x} - \overline{OB_x} = |6 - 3| = 3

Quindi, la distanza tra due punti con la stessa ordinata è uguale al valore assoluto della differenza delle loro ascisse:

d(A, B) = |x_A - x_B|

Il valore assoluto risulta necessario in quanto dobbiamo gestire anche i casi in cui i punti hanno ascisse negative e quando $x_A < x_B$ .

Definizione

Distanza tra due punti con la stessa ordinata

La distanza tra due punti $A(x_A, y)$ e $B(x_B, y)$ con la stessa ordinata $y$ è uguale al valore assoluto della differenza delle loro ascisse:

d(A, B) = |x_A - x_B|

Distanza tra due punti con la stessa ascissa

Analogamente a quanto fatto nel caso precedente, consideriamo due punti con la stessa ascissa:

$A$ con coordinate $(2, 5)$ ;
$B$ con coordinate $(2, 1)$ .

In questo caso, i punti giacciono su una retta parallela all'asse delle ordinate. Seguendo lo stesso procedimento fatto sopra, costruiamo il rettangolo identificato dai vertici $A$ , $B$ , $A_y$ e $B_y$ :

**Figura 3:** Distanza tra due punti con la stessa ascissa

Da cui ricaviamo che:

\overline{AB} = \overline{A_yB_y} = \overline{OA_y} - \overline{OB_y} = |5 - 1| = 4

Quindi, la distanza tra due punti con la stessa ascissa è uguale al valore assoluto della differenza delle loro ordinate:

d(A, B) = |y_A - y_B|

Definizione

Distanza tra due punti con la stessa ascissa

La distanza tra due punti $A(x, y_A)$ e $B(x, y_B)$ con la stessa ascissa $x$ è uguale al valore assoluto della differenza delle loro ordinate:

d(A, B) = |y_A - y_B|

Distanza tra due punti generici

Adesso possiamo affrontare il caso generale della distanza tra due punti qualunque.

Supponiamo, ad esempio, di avere i seguenti punti:

$A$ con coordinate $(5, 4)$ ;
$B$ con coordinate $(1, 1)$ .

Questi punti giacciono su una retta che non è parallela ne all'asse delle ascisse ne a quello delle ordinate:

Possiamo, però, tracciare due rette:

una prima retta parallela all'asse delle ordinate e passante per $A$ ; questa retta interseca la proiezione di $A$ sull'asse delle ascisse $A_x$ ;
una seconda retta parallela all'asse delle ascisse e passante per $B$ ; questa retta interseca la proiezione di $B$ sull'asse delle ordinate $B_y$ .

Queste due rette così costruite si intersecano in un punto $C$ come mostrato in figura:

**Figura 5:** Distanza tra due punti generici

Il punto $C$ ha delle importanti proprietà:

ha la stessa ascissa di $A$ ;
ha la stessa ordinata di $B$ .

Per cui le sue coordinate sono $(5, 1)$ .

I tre punti $A$ , $B$ e $C$ formano un triangolo rettangolo con ipotenusa $AB$ e cateti $AC$ e $BC$ . Non possiamo calcolare direttamente la lunghezza di $AB$ , ma possiamo calcolare la lunghezza dei cateti $AC$ e $BC$ usando le formule viste sopra:

d(A, C) = |y_A - y_C| = |4 - 1| = 3

d(B, C) = |x_B - x_C| = |1 - 5| = 4

A questo punto, sfruttando il teorema di Pitagora, possiamo calcolare la lunghezza di $AB$ :

\overline{AB} = \sqrt{\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

Possiamo generalizzare, quindi, la formula per calcolare la distanza tra due punti generici:

d(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}

Definizione

Distanza tra due punti generici

La distanza tra due punti $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle loro ascisse e ordinate:

d(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}

Questa formula è applicabile anche ai casi visti sopra. Infatti, essa degenera nei casi particolari quando i punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata:

se $y_A = y_B$ :

$d(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$

$= \sqrt{(x_A - x_B)^2 + 0^2} = \sqrt{(x_A - x_B)^2} = |x_A - x_B|$
se $x_A = x_B$ :

$d(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$

$= \sqrt{0^2 + (y_A - y_B)^2} = \sqrt{(y_A - y_B)^2} = |y_A - y_B|$

Quindi, la formula generale è compatibile con i casi particolari.

Proprietà della distanza

La distanza tra due punti gode di alcune proprietà che sono importanti da conoscere:

la distanza tra due punti è sempre un numero reale non negativo;

Ciò deriva dal fatto che la distanza è definita come la radice quadrata di una somma di quadrati, e quindi è sempre non negativa. Tutto questo è congruente con il fatto che si tratta di una distanza e non ha senso parlare di distanza negativa.

$d(P_1, P_2) \geq 0$
la distanza tra due punti è nulla se e solo se i due punti coincidono;

Questa proprietà è una conseguenza immediata della definizione di distanza. Infatti, se due punti coincidono, le loro coordinate coincidono e quindi la differenza delle loro ascisse e ordinate è nulla. Di conseguenza, la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze è nulla.

$d(P_1, P_2) = 0 \Leftrightarrow P_1 \cong P_2$
la distanza tra due punti non cambia se si cambia l'ordine dei punti;

Questa proprietà è una conseguenza della simmetria della distanza. Infatti, la distanza tra due punti è la lunghezza del segmento che li congiunge e tale lunghezza non cambia se si inverte il verso del segmento.

$d(P_1, P_2) = d(P_2, P_1)$

Disuguaglianza triangolare

Un'importante proprietà della distanza che merita un approfondimento è la cosiddetta disuguaglianza triangolare.

Per comprenderla, prendiamo tre punti qualunque $A$ , $B$ e $C$ come mostrato in figura:

Questi tre punti identificano un triangolo con lati $AB$ , $BC$ e $AC$ . Sappiamo, dalla geometria euclidea, che la somma delle lunghezze di due lati di un triangolo è sempre maggiore della lunghezza del terzo lato.

Per cui, applicando questa proprietà al nostro triangolo, otteniamo che:

d(A, B) \leq d(A, C) + d(C, B)

d(B, C) \leq d(B, A) + d(A, C)

d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)

Proprio per questo motivo, questa proprietà è chiamata disuguaglianza triangolare.

Da notare che nella disuguaglianza abbiamo usato il simbolo $\leq$ e non $<$ . Infatti, la disuguaglianza triangolare diventa un'uguaglianza solo quando i tre punti giacciono sulla stessa retta. Questo lo si può evincere dalla figura che segue:

In tal caso la disuguaglianza diventa un'uguaglianza perché la distanza tra $A$ e $B$ è uguale alla somma delle distanze di $A$ e $B$ dal punto $C$ :

d(A, B) = d(A, C) + d(C, B)

Definizione

Disuguaglianza triangolare

La disuguaglianza triangolare afferma che, dati due punti $A$ e $B$ , la loro distanza è sempre minore o uguale alla somma delle distanze di entrambi i punti ad un terzo punto $C$ :

d(A, B) \leq d(A, C) + d(C, B)

La disuguaglianza diventa un'uguaglianza solo quando i tre punti giacciono sulla stessa retta.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo sfruttato la rappresentazione in coordinate di due punti nel piano cartesiano per calcolare la distanza tra di essi. Abbiamo analizzato tre casi:

la distanza tra due punti con la stessa ordinata:

$d(A, B) = |x_A - x_B|$
la distanza tra due punti con la stessa ascissa:

$d(A, B) = |y_A - y_B|$
la distanza tra due punti generici:

$d(A, B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$

Abbiamo inoltre visto che la distanza gode di alcune proprietà importanti:

è sempre un numero reale non negativo;
è nulla se e solo se i due punti coincidono;
non cambia se si cambia l'ordine dei punti;
soddisfa la disuguaglianza triangolare.

Nella prossima lezione troveremo un altro importante risultato riguardante il punto medio di un segmento delimitato da due punti.

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