Coordinate nel Piano Cartesiano

Alla base della Geometria Analitica c'è il concetto di Piano Cartesiano.

Il Piano Cartesiano è un sistema di riferimento che permette di identificare univocamente ciascun punto del piano attraverso una coppia di numeri reali, dette coordinate del punto.

Viene chiamato in questo modo in onore del matematico e filosofo francese René Descartes latinizzato in Cartesio che, nel 1637, pubblicò il trattato La Geometria in cui introdusse questo sistema di riferimento.

La sua idea rivoluzionaria fu, appunto, quella di studiare, o meglio analizzare, la geometria attraverso l'algebra unificando le due discipline.

Il primo passo per comprendere la geometria analitica è proprio quello di capire come funziona il sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

Riferimento Cartesiano Ortogonale

Supponiamo di avere un piano sul quale tracciamo due rette ortogonali, ossia perpendicolari tra di loro:

A ciascuna di queste rette assegniamo un orientamento, ossia un ordinamento dei punti tale per cui, presi due punti distinti, uno risulta trovarsi prima dell'altro. Per comodità la retta orizzontale sarà orientata da sinistra a destra, mentre la retta verticale sarà orientata dal basso verso l'alto:

**Figura 2:** Rette Ortogonali Orientate

Al punto in cui le due rette si intersecano tra di loro diamo il nome di origine e lo indichiamo con la lettera O. Ciascuna delle due rette prende il nome di asse.

Ora, non ci rimane che fissare un'unità di misura (che può essere la stessa per entrambe gli assi).

**Figura 3:** Rette Ortogonali orientate e unità di misura

Fatto questo prendiamo un punto qualunque del piano, ad esempio il punto $P$ , e tracciamo due segmenti perpendicolari alle due rette. In altre parole proiettiamo il punto $P$ sui due assi:

**Figura 4:** Punto P e sue proiezioni sugli assi

In questo modo, identifichiamo due segmenti sui due assi: $OP_x$ e $OP_y$ . Sfruttando l'unità di misura definita in precedenza possiamo misurare le lunghezze dei due segmenti. Nell'esempio di sopra vale che:

\overline{OP_x} = 3 \quad \text{e} \quad \overline{OP_y} = 2

In altre parole, il punto $P$ identifica una coppia di numeri reali $(3, 2)$ che rappresentano, rispettivamente, la misura della sua proiezione sull'asse delle ascisse e sull'asse delle ordinate.

Analogamente, una qualsiasi coppia di numeri reali $(x, y)$ identifica un punto del piano. Per convincersene, prendiamo la coppia $(3, 1)$ .

Per prima cosa tracciamo un segmento sull'asse orizzontale a partire dall'origine e lungo quanto il primo numero, ossia 3. Indichiamo con $A$ l'estremo del segmento. Poi tracciamo un segmento sull'asse verticale a partire dall'origine e lungo quanto il secondo numero, ossia 1. Indichiamo con $B$ l'estremo del segmento:

**Figura 5:** Identificare un punto del piano a partire da una coppia di numeri

A partire dagli estremi dei due segmenti, $A$ e $B$ , tracciamo due rette parallele agli assi. L'intersezione di queste due rette è un unico punto che chiamiamo $Q$ , in quanto due rette perpendicolari si incontrano in uno e un solo punto:

**Figura 6:** Punto identificato dalla coppia (3, 1)

Quindi, fissata una coppia di rette ortogonali e un'unità di misura, ad ogni coppia di numeri reali corrisponde un punto del piano e viceversa.

Questa coppia di numeri reali prende il nome di coordinate di un punto. In particolare, il primo numero della coppia è detto ascissa del punto, mentre il secondo numero è detto ordinata del punto.

Per il punto $P$ dell'esempio di sopra, le sue coordinate sono $(3, 2)$ , mentre per il punto $Q$ le sue coordinate sono $(3, 1)$ .

In conseguenza di ciò, l'asse orizzontale prende il nome di asse delle ascisse mentre l'asse verticale prende il nome di asse delle ordinate e vengono indicati con $x$ e $y$ rispettivamente.

Abbiamo costruito un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con cui possiamo identificare univocamente ciascun punto del piano.

Definizione

Sistema di Riferimento Cartesiano Ortogonale

Un Sistema di Riferimento Cartesiano Ortogonale è definito da:

due rette ortogonali, dette assi, orientate e intersecantesi in un punto detto origine;
un'unità di misura.

Definizione

Coordinate di un Punto

Le coordinate di un punto $P$ rispetto a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale sono la coppia di numeri reali $(x, y)$ tali che:

$x$ è la misura della proiezione di $P$ sull'asse delle ascisse;
$y$ è la misura della proiezione di $P$ sull'asse delle ordinate.

Un punto del piano può avere anche coordinate negative. Questo si verifica quando, in base all'orientamento degli assi, le proiezioni del punto si trovano rispettivamente a sinistra dell'origine e sotto l'origine.

Ad esempio, nella figura che segue, il punto $R$ ha coordinate $(-3, -2)$ :

**Figura 7:** Punto con coordinate negative

Se osserviamo le sue proiezioni sull'asse delle ascisse e sull'asse delle ordinate, vediamo che:

\overline{OR_x} = -3 \quad \text{e} \quad \overline{OR_y} = -2

In generale, se un punto ha coordinate $(x, y)$ , allora:

se $x < 0$ il punto si trova a sinistra dell'origine;
se $y < 0$ il punto si trova sotto l'origine.

Quadranti

Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro parti dette quadranti. Tali quadranti, come mostra la figura che segue, sono numerati in senso antiorario a partire dal primo quadrante, che si trova in alto a destra:

Le proprietà dei punti che appartengono ai vari quadranti sono le seguenti:

Primo Quadrante: i punti hanno entrambe le coordinate positive;
Secondo Quadrante: i punti hanno ascissa negativa e ordinata positiva;
Terzo Quadrante: i punti hanno entrambe le coordinate negative;
Quarto Quadrante: i punti hanno ascissa positiva e ordinata negativa.

Punti particolari

A partire dal sistema di riferimento cartesiano ortogonale, possiamo identificare alcuni punti particolari:

Origine: il punto $O$ ha coordinate $(0, 0)$ ;
Punti sull'asse delle ascisse: i punti che giacciono sull'asse delle ascisse hanno ordinata nulla. Pertanto, se un punto $P$ giace sull'asse delle ascisse, allora le sue coordinate sono $(x, 0)$ ;
Punti sull'asse delle ordinate: i punti che giacciono sull'asse delle ordinate hanno ascissa nulla. Pertanto, se un punto $Q$ giace sull'asse delle ordinate, allora le sue coordinate sono $(0, y)$ .

**Figura 9:** Coordinate di Punti Particolari

In Sintesi

Questa lezione introduttiva ha mostrato come, a partire da un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, sia possibile identificare univocamente ciascun punto del piano attraverso una coppia di numeri reali, dette coordinate del punto.

Questo concetto è alla base della geometria analitica, una branca della matematica che studia le figure geometriche attraverso formule algebriche.

Proprio in questo contesto, le coordinate dei punti del piano sono fondamentali per descrivere le equazioni delle rette, delle circonferenze e delle curve in generale.

Nella prossima lezione ricaveremo un primo importante risultato: la formula che ci permette di calcolare la distanza tra due punti del piano.

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