Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli

In questa lezione affrontiamo il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Attraverso questo criterio siamo in grado di dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo tra di essi compreso.

Vedremo la dimostrazione del primo criterio di congruenza dei triangoli e alcuni esempi di applicazione.

Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Enunciamo il primo criterio di congruenza dei triangoli:

Definizione

Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo tra di essi compreso.

Dimostrazione

Proviamo a dimostrare il primo criterio.

Dimostrazione

Dimostrazione del Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Supponiamo di avere due triangoli, $ABC$ e $A'B'C'$ come mostra la figura che segue:

Di questi due triangoli sappiamo che:

I lati $AB$ e $A'B'$ sono congruenti;
I lati $AC$ e $A'C'$ sono congruenti;
L'angolo $\widehat{BAC}$ è congruente all'angolo $\widehat{B'A'C'}$ .

Quindi, i due triangoli hanno congruenti due lati e l'angolo tra di essi compreso.

A questo punto, proviamo a sovrapporre i due triangoli l'uno sull'altro, punto per punto, spostando il triangolo $ABC$ con un movimento rigido. Effettuiamo il movimento in maniera tale che il punto $A$ coincida con il punto $A'$ , il lato $AC$ sia sovrapposto al lato $A'C'$ e l'angolo $\widehat{BAC}$ sia sovrapposto all'angolo $\widehat{B'A'C'}$ . Il procedimento è mostrato nella figura che segue:

**Figura 3:** Dimostrazione del Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli - Spostamento con movimento rigido

**Figura 4:** Dimostrazione del Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli - Sovrapposizione dei due triangoli

In base alle ipotesi di partenza deduciamo che:

$AC \cong A'C'$ motivo per cui il punto $C'$ coincide con $C$ ;
$\widehat{BAC} \cong \widehat{B'A'C'}$ motivo per cui il lato $A'B'$ coincide con il lato $AB$ ;
$AB \cong A'B'$ motivo per cui il punto $B'$ coincide con $B$ .

In parole povere abbiamo dimostrato che i vertici dei due triangoli sono coincidenti a due a due tra di loro:

A \cong A' \quad B \cong B' \quad C \cong C'

Di conseguenza anche tutti i lati dei due triangoli sono congruenti così come gli angoli: i due triangoli sono congruenti.

Esempi di Applicazione

Proviamo ad applicare il primo criterio di congruenza dei triangoli ad alcuni esempi.

Esempio

Esempio 1

Consideriamo il triangolo $ABC$ che segue:

**Figura 5:** Esempio di applicazione del Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Sul lato $BC$ prendiamo il punto medio $M$ in questo modo:

Tracciamo il segmento $AM$ , lo prolunghiamo di un segmento $MD$ congruente al segmento $AM$ e tracciamo il segmento $BD$ :

Vogliamo dimostrare che i segmenti $AC$ e $BD$ sono congruenti tra di loro.

Ricapitolando abbiamo che:

Ipotesi:
1. $CM \cong BM$
2. $AM \cong MD$
Tesi:

$AC \cong BD$

Concentriamoci sui triangoli $AMC$ e $BMD$ . Questi due triangoli hanno:

$CM \cong BM$ in quanto $M$ è il punto medio di $BC$ ;
$AM \cong MD$ in quanto $MD$ è congruente ad $AM$ per costruzione;
$\widehat{AMC} \cong \widehat{BMD}$ in quanto sono angoli opposti al vertice.

Questi due triangoli hanno, quindi, due lati congruenti e l'angolo tra essi compreso congruente. Motivo per cui:

AMC \cong BMD

Da ciò ne consegue che anche $AC \cong BD$ .

La tesi è stata dimostrata.

Esempio

Esempio 2

Prendiamo la figura che segue:

In questa figura abbiamo il triangolo $ABC$ che è un triangolo isoscele sulla base $AB$ . Per cui i segmenti $AC$ e $BC$ sono congruenti.

Inoltre, abbiamo che il segmento $DC$ è congruente al segmento $CE$ .

Vogliamo dimostrare che i triangoli $ABD$ e $ABE$ sono congruenti tra di loro.

Ricapitolando:

Ipotesi:
1. $AC \cong BC$
2. $DC \cong CE$
Tesi:

$ABD \cong ABE$

Concentriamoci sui triangoli $ACD$ e $BCE$ . Questi due triangoli hanno:

$AC \cong BC$ in quanto $ABC$ è un triangolo isoscele sulla base $AB$ ;
$DC \cong CE$ per ipotesi;
$\widehat{ACD} \cong \widehat{BCE}$ in quanto sono angoli opposti al vertice.

Questi due triangoli hanno, quindi, due lati congruenti e l'angolo tra essi compreso congruente. Motivo per cui:

ACD \cong BCE

Ne consegue che gli angoli $\widehat{ADC}$ e $\widehat{BEC}$ sono congruenti tra di loro.

Inoltre, possiamo dedurre che anche i segmenti $BD$ e $AE$ sono congruenti tra di loro in quanto somma di segmenti congruenti:

AE \cong AC + CE \cong BC + CD \cong BD

AE \cong BD

Consideriamo, a questo punto, i triangoli $ABD$ e $ABE$ . Questi due triangoli hanno:

$AE \cong BD$ per quanto dimostrato sopra;
$AD \cong BE$ in quanto i triangoli $ACD$ e $BCE$ sono congruenti;
$\widehat{ADC} \cong \widehat{BEC}$ sempre in quanto i triangoli $ACD$ e $BCE$ sono congruenti.

Questi due triangoli hanno, quindi, due lati congruenti e l'angolo tra essi compreso congruente. Per il primo criterio di congruenza sono quindi congruenti:

ABD \cong ABE

La tesi è stata dimostrata.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto il primo criterio di congruenza dei triangoli. Attraverso questo criterio siamo in grado di dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo tra di essi compreso.

Di questo criterio abbiamo visto la dimostrazione e alcuni esempi di applicazione.

Nella prossima lezione affronteremo lo studio del secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Indice del capitolo Lezione Successiva