Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli

In questa lezione affrontiamo il secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Attraverso questo criterio siamo in grado di dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e gli angoli adiacenti al lato stesso.

Vedremo la dimostrazione del secondo criterio di congruenza dei triangoli e alcuni esempi di applicazione.

Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Enunciamo il secondo criterio di congruenza dei triangoli:

Definizione

Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e gli angoli adiacenti al lato stesso.

Dimostrazione

Proviamo a dimostrare il secondo criterio. Per poter dimostrare il secondo criterio sfruttiamo la tecnica della dimostrazione per assurdo.

Dimostrazione

Dimostrazione del secondo criterio di congruenza dei triangoli

Supponiamo di avere due triangoli, $ABC$ e $A'B'C'$ , come mostrato in figura:

Le nostre ipotesi sono:

$AC \cong A'C'$ : il lato $AC$ è congruente con il lato $A'C'$ ;
$\widehat{BAC} \cong \widehat{B'A'C'}$ : l'angolo $\widehat{BAC}$ è congruente all'angolo $\widehat{B'A'C'}$ ;
$\widehat{ACB} \cong \widehat{A'C'B'}$ : l'angolo $\widehat{ACB}$ è congruente all'angolo $\widehat{A'C'B'}$ .

La tesi è che i due triangoli sono congruenti.

Per dimostrare la tesi procediamo per assurdo e supponiamo che non sia vera: i due triangoli non sono congruenti.

Per prima cosa, dalla supposizione di sopra, deduciamo che i lati $AB$ e $A'B'$ non possono essere congruenti in quanto, se lo fossero, per il primo criterio di congruenza i due triangoli sarebbero congruenti. Infatti avrebbero congruenti i lati $AB$ e $A'B'$ , i lati $AC$ e $A'C'$ e gli angoli $\widehat{BAC}$ e $\widehat{B'A'C'}$ compresi tra di essi. In tal modo la supposizione sarebbe contraddetta. Per cui ne consegue che:

AB \ncong A'B'

A questo punto supponiamo allora che il lato $AB$ sia minore del lato $A'B'$ :

AB &lt; A'B'

Per questo motivo deve esistere un punto $P$ interno al lato $A'B'$ tale che:

A'P \cong AB

Il punto $P$ è mostrato in figura:

**Figura 3:** Dimostrazione del Secondo Criterio di Congruenza dei Triangoli - Conseguenza della Supposizione per Assurdo

Osservando la figura notiamo subito che i triangoli $A'PC'$ e $ABC$ devono essere congruenti sempre per il primo criterio. Infatti avremmo che:

$AC \cong A'C'$ per ipotesi;
$A'P \cong AB$ per costruzione;
$\widehat{ACB} \cong \widehat{A'C'B'}$ per ipotesi.

Ma se i due triangoli $A'PC'$ e $ABC$ sono congruenti allora anche gli angoli $\widehat{BCA}$ e $\widehat{PC'A'}$ sono congruenti.

Tuttavia, per ipotesi sappiamo anche che $\widehat{BCA} \cong \widehat{B'C'A'}$ e quindi, per la proprietà transitiva, vale anche che:

\widehat{B'C'A'} \cong \widehat{PC'A'}

Questo, tuttavia, è un risultato assurdo. Infatti un angolo non può essere congruente ad una sua parte: abbiamo trovato una contraddizione. Per tal motivo la nostra supposizione, ossia che i due triangoli non siano congruenti, è falsa.

Essendo, quindi, la negazione della tesi falsa allora la tesi è vera: i due triangoli $ABC$ e $A'B'C'$ sono congruenti.

Lo stesso procedimento può essere applicato anche al caso in cui supponiamo che $AB > A'B'$ .

Applicazioni

Vediamo qualche applicazione del secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Esempio

Se in un triangolo l'altezza è anche bisettrice, allora il triangolo è isoscele.

Consideriamo il triangolo $ABC$ mostrato in figura:

In questo triangolo l'altezza $AH$ è anche la bisettrice dell'angolo $\widehat{BAC}$ . Vogliamo dimostrare che il triangolo $ABC$ è isoscele.

Partiamo dalle ipotesi:

$BH$ è l'altezza del triangolo $ABC$ ;
$BH$ è anche la bisettrice dell'angolo $\widehat{BAC}$ .

La tesi è che:

$AB \cong AC$ , quindi il triangolo $ABC$ è isoscele.

Consideriamo il triangolo $ABH$ e il triangolo $ACH$ . Questi due triangoli hanno:

$BH$ in comune;
$\widehat{ABH} \cong \widehat{CBH}$ in quanto $AH$ è la bisettrice dell'angolo $\widehat{BAC}$ ;
$\widehat{AHB} \cong \widehat{CHB}$ in quanto sono angoli retti. Per ipotesi, infatti, $BH$ è anche l'altezza del triangolo $ABC$ .

Questi due triangoli hanno, quindi, un lato congruente e gli angoli adiacenti al lato stesso congruenti. Motivo per cui, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, vale che:

ABH \cong ACH

Da ciò ne consegue che anche $AB \cong AC$ . Quindi il triangolo $ABC$ è isoscele.

La tesi è stata dimostrata.

Esempio

In due triangoli congruenti sono congruenti le bisettrici degli angoli corrispondenti.

Vogliamo dimostrare, applicando il secondo criterio di congruenza dei triangoli, che in due triangoli congruenti sono congruenti le bisettrici degli angoli corrispondenti.

Prendiamo i triangoli congruenti $ABC$ e $DEF$ come mostrato in figura e tracciamo le bisettrici $AP$ e $DQ$ degli angoli $\widehat{BAC}$ e $\widehat{EDF}$ :

**Figura 5:** In due triangoli congruenti sono congruenti le bisettrici degli angoli corrispondenti

Partiamo dalle ipotesi:

I triangoli $ABC$ e $DEF$ sono congruenti;
$\widehat{BAC} \cong \widehat{EDF}$ ;
$AP$ è la bisettrice dell'angolo $\widehat{BAC}$ ;
$DQ$ è la bisettrice dell'angolo $\widehat{EDF}$ .

La tesi è che $AP \cong DQ$ .

Consideriamo i triangoli $ACP$ e $DQF$ . Questi due triangoli hanno:

$AC \cong DF$ in quanto $ABC$ e $DEF$ sono congruenti;
$\widehat{PCA} \cong \widehat{QFD}$ in quanto angoli congruenti dei due triangoli congruenti $ABC$ e $DEF$ ;
$\widehat{PAC} \cong \widehat{FDQ}$ in quanto metà degli angoli congruenti $\widehat{BAC}$ e $\widehat{EDF}$ .

Questi due triangoli hanno, quindi, un lato congruente e gli angoli adiacenti al lato stesso congruenti. Motivo per cui, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, vale che:

ACP \cong DQF

Da ciò ne consegue che anche $AP \cong DQ$ .

La tesi è stata dimostrata.

In Sintesi

Abbiamo visto che:

il secondo criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e gli angoli adiacenti al lato stesso;
se in un triangolo l'altezza è anche bisettrice, allora il triangolo è isoscele;
in due triangoli congruenti sono congruenti le bisettrici degli angoli corrispondenti.

Il secondo criterio di congruenza dei triangoli ha importanti applicazioni in geometria. Infatti, da esso possiamo ricavare alcune importanti proprietà dei triangoli isosceli come vedremo nella prossima lezione.

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