Teoremi sui triangoli isosceli

Nelle due lezioni precedenti abbiamo analizzato il primo criterio di congruenza dei triangoli e il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Attraverso questi due criteri possiamo ricavare degli importantissimi teoremi sui triangoli isosceli.

Vedremo, in questa lezione, che la condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che esso abbia due angoli congruenti. Inoltre, vedremo che la bisettrice dell'angolo opposto alla base di un triangolo isoscele è anche altezza e mediana.

Infine, dato che i triangoli equilateri possono essere visti come triangoli isosceli, vedremo che la condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che esso abbia tre angoli congruenti. Inoltre, vedremo che le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e median.

Teorema diretto del triangolo isoscele

A partire dal primo criterio di congruenza dei triangoli, possiamo enunciare il seguente teorema:

Definizione

Teorema diretto del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora esso ha due angoli congruenti:

**Figura 1:** Teorema diretto dei triangoli isosceli - Ipotesi

Ipotesi:

$AC \cong BC$

**Figura 2:** Teorema diretto dei triangoli isosceli - Tesi

Tesi:

$\widehat{CAB} \cong \widehat{ABC}$

Dimostrazione

Proviamo a dimostrare il teorema.

Dimostrazione

Dimostrazione del teorema diretto del triangolo isoscele

Prendiamo il triangolo $ABC$ mostrato in figura:

Sappiamo, per ipotesi, che il triangolo $ABC$ è isoscele. Per cui i lati $AC$ e $BC$ sono congruenti:

AC \cong BC

Adesso, tracciamo la bisettrice $CP$ dell'angolo $\widehat{ACB}$ :

**Figura 4:** Teorema diretto dei triangoli isosceli - Dimostrazione

Abbiamo ottenuto due triangoli: $ACP$ e $BCP$ . Adesso possiamo notare che questi due triangoli hanno:

i lati $AC$ e $BC$ congruenti per ipotesi: $AC \cong BC$ ;
il lato $CP$ congruente è in comune quindi è lo stesso per i due triangoli;
gli angoli $\widehat{ACP}$ e $\widehat{BCP}$ sono congruenti in quanto sono il risultato della bisettrice dell'angolo $\widehat{ACB}$ .

Quindi i due triangoli hanno due lati congruenti così come l'angolo tra essi compreso. Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

Ne consegue che i due angoli $\widehat{CAB}$ e $\widehat{ABC}$ sono congruenti e il teorema è dimostrato.

A partire da questo teorema e dalla sua dimostrazione possiamo enunciare le seguenti proprietà:

Definizione

Angoli Congruenti di un Triangolo Isoscele

In un triangolo isoscele gli angoli congruenti sono gli angoli alla base.

**Figura 5:** Teorema diretto dei triangoli isosceli - Angoli alla base

In sostanza, il teorema diretto del triangolo isoscele ci fornisce una condizione necessaria per affermare che un triangolo è isoscele: perché un triangolo sia isoscele è necessario che abbia due angoli congruenti.

Teorema inverso del triangolo isoscele

Invertendo le ipotesi e la tesi del teorema diretto del triangolo isoscele, possiamo enunciare il seguente teorema:

Definizione

Teorema inverso del triangolo isoscele

Se un triangolo ha due angoli congruenti allora esso è isoscele:

**Figura 6:** Teorema inverso dei triangoli isosceli - Ipotesi

Ipotesi:

$\widehat{CAB} \cong \widehat{ABC}$

Tesi:

$AC \cong BC$

Dimostrazione

Proviamo a dimostrare il teorema.

Dimostrazione

Sia dato il triangolo $ABC$ come mostrato in figura:

In questo triangolo abbiamo che gli angoli $\widehat{CAB}$ e $\widehat{ABC}$ sono congruenti. Vogliamo dimostrare che il triangolo $ABC$ è isoscele, cioè che i lati $AC$ e $BC$ sono congruenti. Per cui:

Ipotesi:

$\widehat{CAB} \cong \widehat{ABC}$
Tesi:

$AC \cong BC$

Per prima cosa, prolunghiamo il lato $AC$ fino al punto $E$ e il lato $BC$ fino al punto $F$ in maniera tale che i segmenti $AE$ e $BF$ siano congruenti:

**Figura 9:** Teorema inverso dei triangoli isosceli - Dimostrazione - Prolungamento dei lati

AE \cong BF

Nella figura gli angoli $\alpha$ e $\alpha'$ sono supplementari, ossia la loro somma è pari ad un angolo piatto:

\alpha + \alpha' = 180°

Analogamente gli angoli $\beta$ e $\beta'$ sono supplementari:

\beta + \beta' = 180°

Possiamo, quindi, riscrivere i due angoli $\alpha'$ e $\beta'$ come:

\alpha' = 180° - \alpha

\beta' = 180° - \beta

Tuttavia, sappiamo per ipotesi, che $\alpha$ e $\beta$ sono congruenti. Per cui:

\alpha' = 180° - \alpha = 180° - \beta = \beta'

Ossia, gli angoli $\alpha'$ e $\beta'$ sono congruenti in quanto differenza di angoli congruenti:

\alpha' \cong \beta'

Consideriamo, adesso, i triangoli $ABE$ e $ABF$ . Questi due triangoli hanno:

il lato $AB$ in comune;
gli angoli $\alpha'$ e $\beta'$ congruenti;
il lato $AE$ congruente al lato $BF$ per costruzione.

Quindi i due triangoli hanno due lati congruenti così come l'angolo tra essi compreso. Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

Da ciò possiamo affermare che:

$EB \cong AF$ ;
$\widehat{CEB} \cong \widehat{CFA}$ ;
$\widehat{EBA} \cong \widehat{BAF}$ .

Adesso consideriamo i triangoli $CEB$ e $CAF$ .

**Figura 10:** Teorema inverso dei triangoli isosceli - Dimostrazione - Triangoli CEB e CAF

Questi due triangoli hanno:

$EB \cong AF$ per quanto visto sopra;
$\widehat{CEB} \cong \widehat{CFA}$ ;
Gli angoli $\widehat{EBC}$ e $\widehat{FAC}$ sono congruenti in quanto pari alla somma di angoli congruenti:

$\widehat{FAC} = \alpha + \widehat{BAF} = \beta + \widehat{EBA} = \widehat{EBC}$

Quindi i due triangoli hanno un lato congruente così come i due angoli adiacenti al lato stesso. Per il secondo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti:

CEB \cong CAF

Da ciò possiamo affermare che:

AC \cong BC

Quindi il triangolo $ABC$ è isoscele e la tesi è dimostrata.

Questo teorema afferma una condizione sufficiente: perché un triangolo sia isoscele è sufficiente che abbia due angoli congruenti.

Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele

I due teoremi di sopra esprimono, rispettivamente, una condizione necessaria ed una condizione sufficiente affinché un triangolo sia isoscele.

Possiamo, pertanto, combinarli e affermare che:

Definizione

Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che esso abbia due angoli congruenti.

In altre parole, un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.

Bisettrice nel triangolo isoscele

Per un triangolo isoscele vale anche la seguente proprietà:

Definizione

Bisettrice nel triangolo isoscele

Sia dato un triangolo isoscele $ABC$ con $AC \cong BC$ . La bisettrice dell'angolo $\widehat{ACB}$ è anche altezza del triangolo e mediana relativa alla base $AB$ .

**Figura 11:** Teorema della Bisettrice dell'angolo di un triangolo isoscele - Ipotesi

Dimostrazione

Dimostriamo la proprietà di sopra.

Dimostrazione

Dimostrazione della proprietà della bisettrice nel triangolo isoscele

Sia dato il triangolo isoscele $ABC$ come mostrato in figura:

Le nostre ipotesi sono:

$AC \cong BC$ ;
$CP$ è la bisettrice dell'angolo $\widehat{ACB}$ .

La tesi è che:

$CP$ è anche l'altezza del triangolo;
$CP$ è anche la mediana relativa alla base $AB$ .

Nella dimostrazione del teorema diretto del triangolo isoscele abbiamo visto che i triangoli $ACP$ e $BCP$ sono congruenti. Per cui:

$AP \cong BP$ ;
$\widehat{APC} \cong \widehat{BPC}$ .

Il fatto che $AP \cong BP$ ci dice che il punto $P$ è equidistante dai punti $A$ e $B$ . Quindi $P$ è il punto medio del segmento $AB$ . Per cui $CP$ è anche la mediana relativa alla base $AB$ .

Analogamente, $\widehat{APC} \cong \widehat{BPC}$ e il fatto che siano adiacenti e supplementari ci dice che la loro somma è pari ad un angolo piatto. Ma essendo anche congruenti ne consegue che essi dividono esattamente a metà un angolo piatto: quindi si tratta di angoli retti. Ne consegue che $CP$ è anche l'altezza del triangolo.

La tesi è stata dimostrata.

Conseguenze per i triangoli equilateri

Dal momento che un triangolo equilatero può essere visto come un triangolo isoscele sulle singole basi, possiamo ricavare due importanti corollari.

Definizione

Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo equilatero

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che esso abbia tre angoli congruenti.

**Figura 14:** Corollario sugli angoli dei Triangoli Equilateri

Definizione

Bisettrici nel triangolo equilatero

Le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e mediane.

**Figura 15:** Corollario sulle Bisettrici dei Triangoli Equilateri

In Sintesi

In questa lezione abbiamo ricavato dei risultati importanti sui triangoli isosceli. In particolare abbiamo visto:

Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele: un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti;
Teorema diretto del triangolo isoscele: se un triangolo è isoscele allora esso ha due angoli congruenti;
Teorema inverso del triangolo isoscele: se un triangolo ha due angoli congruenti allora esso è isoscele;
Angoli Congruenti di un Triangolo Isoscele: in un triangolo isoscele gli angoli congruenti sono gli angoli alla base;
Bisettrice nel triangolo isoscele: la bisettrice dell'angolo opposto alla base di un triangolo isoscele è anche altezza e mediana;
Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo equilatero: un triangolo è equilatero se e solo se ha tre angoli congruenti;
Bisettrici nel triangolo equilatero: le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e mediane.

Adesso è venuto il momento di passare, nella prossima lezione, al successivo criterio di congruenza dei triangoli: il terzo criterio di congruenza dei triangoli.

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