Teoremi sui triangoli isosceli

Nelle due lezioni precedenti abbiamo analizzato il primo criterio di congruenza dei triangoli e il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Attraverso questi due criteri possiamo ricavare degli importantissimi teoremi sui triangoli isosceli.

Vedremo, in questa lezione, che la condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che esso abbia due angoli congruenti. Inoltre, vedremo che la bisettrice dell'angolo opposto alla base di un triangolo isoscele è anche altezza e mediana.

Infine, dato che i triangoli equilateri possono essere visti come triangoli isosceli, vedremo che la condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che esso abbia tre angoli congruenti. Inoltre, vedremo che le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e median.

Teorema diretto del triangolo isoscele

A partire dal primo criterio di congruenza dei triangoli, possiamo enunciare il seguente teorema:

Definizione

Teorema diretto del triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora esso ha due angoli congruenti:

Teorema diretto dei triangoli isosceli - Ipotesi
Figura 1: Teorema diretto dei triangoli isosceli - Ipotesi
  • Ipotesi:

    AC \cong BC
Teorema diretto dei triangoli isosceli - Tesi
Figura 2: Teorema diretto dei triangoli isosceli - Tesi
  • Tesi:

    \widehat{CAB} \cong \widehat{ABC}

Dimostrazione

Proviamo a dimostrare il teorema.

Dimostrazione

Dimostrazione del teorema diretto del triangolo isoscele

Prendiamo il triangolo ABC mostrato in figura:

Teorema diretto dei triangoli isosceli - Ipotesi
Figura 3: Teorema diretto dei triangoli isosceli - Ipotesi

Sappiamo, per ipotesi, che il triangolo ABC è isoscele. Per cui i lati AC e BC sono congruenti:

AC \cong BC

Adesso, tracciamo la bisettrice CP dell'angolo \widehat{ACB}:

Teorema diretto dei triangoli isosceli - Dimostrazione
Figura 4: Teorema diretto dei triangoli isosceli - Dimostrazione

Abbiamo ottenuto due triangoli: ACP e BCP. Adesso possiamo notare che questi due triangoli hanno:

  • i lati AC e BC congruenti per ipotesi: AC \cong BC;
  • il lato CP congruente è in comune quindi è lo stesso per i due triangoli;
  • gli angoli \widehat{ACP} e \widehat{BCP} sono congruenti in quanto sono il risultato della bisettrice dell'angolo \widehat{ACB}.

Quindi i due triangoli hanno due lati congruenti così come l'angolo tra essi compreso. Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

Ne consegue che i due angoli \widehat{CAB} e \widehat{ABC} sono congruenti e il teorema è dimostrato.

A partire da questo teorema e dalla sua dimostrazione possiamo enunciare le seguenti proprietà:

Definizione

Angoli Congruenti di un Triangolo Isoscele

In un triangolo isoscele gli angoli congruenti sono gli angoli alla base.

Teorema diretto dei triangoli isosceli - Angoli alla base
Figura 5: Teorema diretto dei triangoli isosceli - Angoli alla base

In sostanza, il teorema diretto del triangolo isoscele ci fornisce una condizione necessaria per affermare che un triangolo è isoscele: perché un triangolo sia isoscele è necessario che abbia due angoli congruenti.

Teorema inverso del triangolo isoscele

Invertendo le ipotesi e la tesi del teorema diretto del triangolo isoscele, possiamo enunciare il seguente teorema:

Definizione

Teorema inverso del triangolo isoscele

Se un triangolo ha due angoli congruenti allora esso è isoscele:

Teorema inverso dei triangoli isosceli - Ipotesi
Figura 6: Teorema inverso dei triangoli isosceli - Ipotesi
  • Ipotesi:

    \widehat{CAB} \cong \widehat{ABC}
Teorema diretto dei triangoli isosceli - Tesi
Figura 7: Teorema diretto dei triangoli isosceli - Tesi
  • Tesi:

    AC \cong BC

Dimostrazione

Proviamo a dimostrare il teorema.

Dimostrazione

Sia dato il triangolo ABC come mostrato in figura:

Teorema inverso dei triangoli isosceli - Ipotesi
Figura 8: Teorema inverso dei triangoli isosceli - Ipotesi

In questo triangolo abbiamo che gli angoli \widehat{CAB} e \widehat{ABC} sono congruenti. Vogliamo dimostrare che il triangolo ABC è isoscele, cioè che i lati AC e BC sono congruenti. Per cui:

  • Ipotesi:

    \widehat{CAB} \cong \widehat{ABC}
  • Tesi:

    AC \cong BC

Per prima cosa, prolunghiamo il lato AC fino al punto E e il lato BC fino al punto F in maniera tale che i segmenti AE e BF siano congruenti:

Teorema inverso dei triangoli isosceli - Dimostrazione - Prolungamento dei lati
Figura 9: Teorema inverso dei triangoli isosceli - Dimostrazione - Prolungamento dei lati
AE \cong BF

Nella figura gli angoli \alpha e \alpha' sono supplementari, ossia la loro somma è pari ad un angolo piatto:

\alpha + \alpha' = 180°

Analogamente gli angoli \beta e \beta' sono supplementari:

\beta + \beta' = 180°

Possiamo, quindi, riscrivere i due angoli \alpha' e \beta' come:

\alpha' = 180° - \alpha
\beta' = 180° - \beta

Tuttavia, sappiamo per ipotesi, che \alpha e \beta sono congruenti. Per cui:

\alpha' = 180° - \alpha = 180° - \beta = \beta'

Ossia, gli angoli \alpha' e \beta' sono congruenti in quanto differenza di angoli congruenti:

\alpha' \cong \beta'

Consideriamo, adesso, i triangoli ABE e ABF. Questi due triangoli hanno:

  • il lato AB in comune;
  • gli angoli \alpha' e \beta' congruenti;
  • il lato AE congruente al lato BF per costruzione.

Quindi i due triangoli hanno due lati congruenti così come l'angolo tra essi compreso. Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.

Da ciò possiamo affermare che:

  • EB \cong AF;
  • \widehat{CEB} \cong \widehat{CFA};
  • \widehat{EBA} \cong \widehat{BAF}.

Adesso consideriamo i triangoli CEB e CAF.

Teorema inverso dei triangoli isosceli - Dimostrazione - Triangoli CEB e CAF
Figura 10: Teorema inverso dei triangoli isosceli - Dimostrazione - Triangoli CEB e CAF

Questi due triangoli hanno:

  • EB \cong AF per quanto visto sopra;
  • \widehat{CEB} \cong \widehat{CFA};
  • Gli angoli \widehat{EBC} e \widehat{FAC} sono congruenti in quanto pari alla somma di angoli congruenti:

    \widehat{FAC} = \alpha + \widehat{BAF} = \beta + \widehat{EBA} = \widehat{EBC}

Quindi i due triangoli hanno un lato congruente così come i due angoli adiacenti al lato stesso. Per il secondo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti:

CEB \cong CAF

Da ciò possiamo affermare che:

AC \cong BC

Quindi il triangolo ABC è isoscele e la tesi è dimostrata.

Questo teorema afferma una condizione sufficiente: perché un triangolo sia isoscele è sufficiente che abbia due angoli congruenti.

Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele

I due teoremi di sopra esprimono, rispettivamente, una condizione necessaria ed una condizione sufficiente affinché un triangolo sia isoscele.

Possiamo, pertanto, combinarli e affermare che:

Definizione

Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che esso abbia due angoli congruenti.

In altre parole, un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.

Bisettrice nel triangolo isoscele

Per un triangolo isoscele vale anche la seguente proprietà:

Definizione

Bisettrice nel triangolo isoscele

Sia dato un triangolo isoscele ABC con AC \cong BC. La bisettrice dell'angolo \widehat{ACB} è anche altezza del triangolo e mediana relativa alla base AB.

Teorema della Bisettrice dell'angolo di un triangolo isoscele - Ipotesi
Figura 11: Teorema della Bisettrice dell'angolo di un triangolo isoscele - Ipotesi

Dimostrazione

Dimostriamo la proprietà di sopra.

Dimostrazione

Dimostrazione della proprietà della bisettrice nel triangolo isoscele

Sia dato il triangolo isoscele ABC come mostrato in figura:

Teorema della Bisettrice dell'angolo di un triangolo isoscele - Ipotesi
Figura 12: Teorema della Bisettrice dell'angolo di un triangolo isoscele - Ipotesi

Le nostre ipotesi sono:

  • AC \cong BC;
  • CP è la bisettrice dell'angolo \widehat{ACB}.

La tesi è che:

  • CP è anche l'altezza del triangolo;
  • CP è anche la mediana relativa alla base AB.

Nella dimostrazione del teorema diretto del triangolo isoscele abbiamo visto che i triangoli ACP e BCP sono congruenti. Per cui:

  • AP \cong BP;
  • \widehat{APC} \cong \widehat{BPC}.

Il fatto che AP \cong BP ci dice che il punto P è equidistante dai punti A e B. Quindi P è il punto medio del segmento AB. Per cui CP è anche la mediana relativa alla base AB.

Analogamente, \widehat{APC} \cong \widehat{BPC} e il fatto che siano adiacenti e supplementari ci dice che la loro somma è pari ad un angolo piatto. Ma essendo anche congruenti ne consegue che essi dividono esattamente a metà un angolo piatto: quindi si tratta di angoli retti. Ne consegue che CP è anche l'altezza del triangolo.

Teorema della Bisettrice dell'angolo di un triangolo isoscele - Ipotesi
Figura 13: Teorema della Bisettrice dell'angolo di un triangolo isoscele - Ipotesi

La tesi è stata dimostrata.

Conseguenze per i triangoli equilateri

Dal momento che un triangolo equilatero può essere visto come un triangolo isoscele sulle singole basi, possiamo ricavare due importanti corollari.

Definizione

Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo equilatero

Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che esso abbia tre angoli congruenti.

Corollario sugli angoli dei Triangoli Equilateri
Figura 14: Corollario sugli angoli dei Triangoli Equilateri
Definizione

Bisettrici nel triangolo equilatero

Le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e mediane.

Corollario sulle Bisettrici dei Triangoli Equilateri
Figura 15: Corollario sulle Bisettrici dei Triangoli Equilateri

In Sintesi

In questa lezione abbiamo ricavato dei risultati importanti sui triangoli isosceli. In particolare abbiamo visto:

  • Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele: un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti;
  • Teorema diretto del triangolo isoscele: se un triangolo è isoscele allora esso ha due angoli congruenti;
  • Teorema inverso del triangolo isoscele: se un triangolo ha due angoli congruenti allora esso è isoscele;
  • Angoli Congruenti di un Triangolo Isoscele: in un triangolo isoscele gli angoli congruenti sono gli angoli alla base;
  • Bisettrice nel triangolo isoscele: la bisettrice dell'angolo opposto alla base di un triangolo isoscele è anche altezza e mediana;
  • Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo equilatero: un triangolo è equilatero se e solo se ha tre angoli congruenti;
  • Bisettrici nel triangolo equilatero: le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e mediane.

Adesso è venuto il momento di passare, nella prossima lezione, al successivo criterio di congruenza dei triangoli: il terzo criterio di congruenza dei triangoli.