Teoremi sui triangoli isosceli
Nelle due lezioni precedenti abbiamo analizzato il primo criterio di congruenza dei triangoli e il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Attraverso questi due criteri possiamo ricavare degli importantissimi teoremi sui triangoli isosceli.
Vedremo, in questa lezione, che la condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che esso abbia due angoli congruenti. Inoltre, vedremo che la bisettrice dell'angolo opposto alla base di un triangolo isoscele è anche altezza e mediana.
Infine, dato che i triangoli equilateri possono essere visti come triangoli isosceli, vedremo che la condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che esso abbia tre angoli congruenti. Inoltre, vedremo che le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e median.
Teorema diretto del triangolo isoscele
A partire dal primo criterio di congruenza dei triangoli, possiamo enunciare il seguente teorema:
Teorema diretto del triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora esso ha due angoli congruenti:
-
Ipotesi:
-
Tesi:
Dimostrazione
Proviamo a dimostrare il teorema.
Dimostrazione del teorema diretto del triangolo isoscele
Prendiamo il triangolo
Sappiamo, per ipotesi, che il triangolo
Adesso, tracciamo la bisettrice
Abbiamo ottenuto due triangoli:
- i lati
e congruenti per ipotesi: ; - il lato
congruente è in comune quindi è lo stesso per i due triangoli; - gli angoli
e sono congruenti in quanto sono il risultato della bisettrice dell'angolo .
Quindi i due triangoli hanno due lati congruenti così come l'angolo tra essi compreso. Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.
Ne consegue che i due angoli
A partire da questo teorema e dalla sua dimostrazione possiamo enunciare le seguenti proprietà:
Angoli Congruenti di un Triangolo Isoscele
In un triangolo isoscele gli angoli congruenti sono gli angoli alla base.
In sostanza, il teorema diretto del triangolo isoscele ci fornisce una condizione necessaria per affermare che un triangolo è isoscele: perché un triangolo sia isoscele è necessario che abbia due angoli congruenti.
Teorema inverso del triangolo isoscele
Invertendo le ipotesi e la tesi del teorema diretto del triangolo isoscele, possiamo enunciare il seguente teorema:
Teorema inverso del triangolo isoscele
Se un triangolo ha due angoli congruenti allora esso è isoscele:
-
Ipotesi:
-
Tesi:
Dimostrazione
Proviamo a dimostrare il teorema.
Sia dato il triangolo
In questo triangolo abbiamo che gli angoli
-
Ipotesi:
-
Tesi:
Per prima cosa, prolunghiamo il lato
Nella figura gli angoli
Analogamente gli angoli
Possiamo, quindi, riscrivere i due angoli
Tuttavia, sappiamo per ipotesi, che
Ossia, gli angoli
Consideriamo, adesso, i triangoli
- il lato
in comune; - gli angoli
e congruenti; - il lato
congruente al lato per costruzione.
Quindi i due triangoli hanno due lati congruenti così come l'angolo tra essi compreso. Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti.
Da ciò possiamo affermare che:
; ; .
Adesso consideriamo i triangoli
Questi due triangoli hanno:
per quanto visto sopra; ; -
Gli angoli
e sono congruenti in quanto pari alla somma di angoli congruenti:
Quindi i due triangoli hanno un lato congruente così come i due angoli adiacenti al lato stesso. Per il secondo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti:
Da ciò possiamo affermare che:
Quindi il triangolo
Questo teorema afferma una condizione sufficiente: perché un triangolo sia isoscele è sufficiente che abbia due angoli congruenti.
Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele
I due teoremi di sopra esprimono, rispettivamente, una condizione necessaria ed una condizione sufficiente affinché un triangolo sia isoscele.
Possiamo, pertanto, combinarli e affermare che:
Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele
Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che esso abbia due angoli congruenti.
In altre parole, un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.
Bisettrice nel triangolo isoscele
Per un triangolo isoscele vale anche la seguente proprietà:
Bisettrice nel triangolo isoscele
Sia dato un triangolo isoscele
Dimostrazione
Dimostriamo la proprietà di sopra.
Dimostrazione della proprietà della bisettrice nel triangolo isoscele
Sia dato il triangolo isoscele
Le nostre ipotesi sono:
; è la bisettrice dell'angolo .
La tesi è che:
è anche l'altezza del triangolo; è anche la mediana relativa alla base .
Nella dimostrazione del teorema diretto del triangolo isoscele abbiamo visto che i triangoli
; .
Il fatto che
Analogamente,
La tesi è stata dimostrata.
Conseguenze per i triangoli equilateri
Dal momento che un triangolo equilatero può essere visto come un triangolo isoscele sulle singole basi, possiamo ricavare due importanti corollari.
Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo equilatero
Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero è che esso abbia tre angoli congruenti.
Bisettrici nel triangolo equilatero
Le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e mediane.
In Sintesi
In questa lezione abbiamo ricavato dei risultati importanti sui triangoli isosceli. In particolare abbiamo visto:
- Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo isoscele: un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti;
- Teorema diretto del triangolo isoscele: se un triangolo è isoscele allora esso ha due angoli congruenti;
- Teorema inverso del triangolo isoscele: se un triangolo ha due angoli congruenti allora esso è isoscele;
- Angoli Congruenti di un Triangolo Isoscele: in un triangolo isoscele gli angoli congruenti sono gli angoli alla base;
- Bisettrice nel triangolo isoscele: la bisettrice dell'angolo opposto alla base di un triangolo isoscele è anche altezza e mediana;
- Condizione necessaria e sufficiente per un triangolo equilatero: un triangolo è equilatero se e solo se ha tre angoli congruenti;
- Bisettrici nel triangolo equilatero: le bisettrici di ogni angolo di un triangolo equilatero sono anche altezze e mediane.
Adesso è venuto il momento di passare, nella prossima lezione, al successivo criterio di congruenza dei triangoli: il terzo criterio di congruenza dei triangoli.