Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

In questa lezione affrontiamo il terzo criterio di congruenza dei triangoli.

Attraverso questo criterio siamo in grado di dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno congruenti ordinatamente i tre lati.

Vedremo la dimostrazione del terzo criterio di congruenza dei triangoli e un esempio di applicazione.

Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Enunciamo il terzo criterio di congruenza dei triangoli:

Definizione

Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Se due triangoli hanno congruenti a due a due i tre lati, allora sono congruenti.

Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Figura 1: Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Ipotesi:

  1. AB \cong A'B';
  2. AC \cong A'C';
  3. BC \cong B'C'.

Tesi:

ABC \cong A'B'C'.

Dimostrazione

Proviamo a dimostrare il terzo criterio.

Dimostrazione

Dimostrazione del terzo criterio di congruenza dei triangoli

Siano dati i seguenti triangoli, ABC e A'B'C':

Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Figura 2: Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Le nostre ipotesi sono:

  1. AB \cong A'B';
  2. AC \cong A'C';
  3. BC \cong B'C'.

A questo punto disegniamo il triangolo ABC'' congruente al triangolo A'B'C' e tale che abbia in comune il lato AB con il triangolo ABC. Lo possiamo fare perché, per ipotesi, AB e A'B' sono congruenti.

Inoltre, congiungiamo il punto C con il punto C'' come mostrato nella figura che segue:

Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Figura 3: Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Ora consideriamo il triangolo ACC''. Questo triangolo è isoscele sulla base CC'' in quanto AC \cong A'C' per costruzione. Inoltre, per la proprietà transitiva vale che:

AC \cong A'C' \cong A'C''

Da ciò, in base al teorema dei triangoli isosceli possiamo affermare che gli angoli \widehat{ACC''} e \widehat{AC''C} sono congruenti:

\widehat{ACC''} \cong \widehat{AC''C}
Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Figura 4: Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Analogamente, anche il triangolo BCC'' è isoscele ed è isoscele sulla base CC''. Infatti BC \cong BC'' per costruzione. Inoltre, per la proprietà transitiva vale che:

BC \cong BC'' \cong B'C''

Sempre per il teorema dei triangoli isosceli possiamo affermare che gli angoli \widehat{BCC''} e \widehat{BC''C} sono congruenti:

\widehat{BCC''} \cong \widehat{BC''C}
Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Figura 5: Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Ora consideriamo gli angoli \widehat{ACB} e \widehat{AC''B}. Questi due angoli sono congruenti in quanto ottenuti come somma di angoli congruenti. Infatti:

\widehat{ACC''} + \widehat{C''CB} \cong \widehat{AC''C} + \widehat{CC''B} \quad \Rightarrow
\Rightarrow \quad \widehat{ACB} \cong \widehat{AC''B}
Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli
Figura 6: Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli

Abbiamo che i triangoli ABC e ABC'' hanno:

  • \widehat{ACB} \cong \widehat{AC''B} in base a quanto dimostrato sopra;
  • AC \cong AC'' in quanto il triangolo ACC'' è isoscele sulla base CC'';
  • BC \cong BC'' in quanto il triangolo BCC'' è isoscele sulla base CC''.

Quindi hanno congruenti due lati e l'angolo tra di essi compreso.

Motivo per cui, ABC e ABC'' sono congruenti per il primo criterio di congruenza.

Tuttavia, dal momento che ABC'' \cong A'B'C' per costruzione, allora anche ABC \cong A'B'C' per la proprietà transitiva.

In questo modo la tesi è dimostrata.

Triangolo come Figura Indeformabile

Un importante conseguenza di questo criterio è che un triangolo rappresenta una figura indeformabile. Infatti, date le misure dei tre lati di un triangolo, allora è possibile costruire un unico triangolo. Questo perché, per il criterio, tutti i triangoli con i tre lati congruenti hanno congruenti gli angoli interni.

Questo non accade, in generale, con i poligoni con un numero maggiore di lati. Infatti, date le misure dei lati di un poligono con un numero di lati maggiore di tre, allora è possibile costruire più poligoni con le stesse misure dei lati. Questo perché, in generale, non è possibile determinare gli angoli interni di un poligono conoscendo solo le misure dei lati.

Ad esempio osserviamo la figura che segue:

Esempio di Figura Deformabile
Figura 7: Esempio di Figura Deformabile

In questa figura abbiamo due poligoni ABCD e A'B'C'D' con i lati congruenti. Tuttavia, i due poligoni non sono congruenti. Infatti, i due poligoni hanno tutti gli angoli differenti:

\widehat{A} \ncong \widehat{A'}
\widehat{B} \ncong \widehat{B'}
\widehat{C} \ncong \widehat{C'}
\widehat{D} \ncong \widehat{D'}

In generale, quindi, non è possibile determinare gli angoli interni di un poligono conoscendo solo le misure dei lati.

Intuitivamente, osservando la figura di sopra, è come se il poligono ABCD risultasse da uno schiacciamento del poligono A'B'C'D', quindi una sua deformazione.

Tutto ciò non vale per i triangoli.

Definizione

Triangolo come Figura Indeformabile

Un triangolo rappresenta una figura indeformabile: assegnate le misure dei tre lati di un triangolo sono univocamente determinate le misure degli angoli interni.

Esempio

Proviamo ad applicare il terzo criterio di congruenza dei triangoli ad un esempio.

Esempio

Esempio di applicazione del terzo criterio di congruenza dei triangoli

Siano dati i seguenti triangoli, ABC e A'B'C':

Esempio di Applicazione del Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli - Ipotesi
Figura 8: Esempio di Applicazione del Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli - Ipotesi

In questi triangoli abbiamo anche tracciato le mediane AM e A'M' rispettivamente dei lati BC e B'C'. Supponiamo che i lati AB e A'B' siano congruenti, i lati BC e B'C' siano congruenti e che anche le mediane AM e A'M' siano congruenti.

Vogliamo dimostrare che i due triangoli sono congruenti.

Le nostre ipotesi, quindi, sono:

  1. AB \cong A'B';
  2. BC \cong B'C';
  3. AM \cong A'M'.

La nostra tesi è:

ABC \cong A'B'C'.

Proviamo a dimostrare la tesi.

Consideriamo i triangoli ABM e A'B'M'. Questi due triangoli hanno:

  • AB \cong A'B' per ipotesi;
  • AM \cong A'M' per ipotesi;
  • BM \cong B'M' in quanto rappresentano le metà dei lati BC e B'C' che sono congruenti per ipotesi.

Avendo, ordinatamente, i tre lati congruenti, allora i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli.

Essendo congruenti ne consegue che lo sono anche gli angoli \widehat{ABM} e \widehat{A'B'M'}.

Esempio di Applicazione del Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli - Passaggio Finale
Figura 9: Esempio di Applicazione del Terzo Criterio di Congruenza dei Triangoli - Passaggio Finale

Ora consideriamo i triangoli ABC e A'B'C'. Questi due triangoli hanno:

  • AB \cong A'B' per ipotesi;
  • BC \cong B'C' per ipotesi;
  • \widehat{ABM} \cong \widehat{A'B'M'} per quanto dimostrato sopra.

Dato che hanno congruenti due lati e l'angolo tra di essi compreso, allora i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza.

In questo modo la tesi è dimostrata.

Conclusioni

In questa lezione abbiamo visto il terzo criterio di congruenza dei triangoli. Questo criterio ci permette di dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno congruenti ordinatamente i tre lati.

Una delle conseguenze fondamentali di questo criterio è che un triangolo rappresenta una figura indeformabile. In altre parole, date le misure dei tre lati sono univocamente determinate le misure degli angoli interni. Questa proprietà non vale in generale per i poligoni con un numero di lati maggiore di tre.

Nella prossima lezione inizieremo lo studio delle conseguenze dei tre criteri di congruenza partendo da un importante teorema: il primo teorema dell'angolo esterno di un triangolo.

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