Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo

Dopo aver studiato i tre criteri di congruenza dei triangoli, possiamo passare a studiare i teoremi che ne sono diretta conseguenza.

In questa lezione studieremo il primo teorema dell'angolo esterno di un triangolo. Esso afferma che ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno dei due angoli interni che non sono ad esso adiacenti.

Questo teorema è molto importante in quanto ci permette di dimostrare molte proprietà dei triangoli.

Vedremo, infatti, che:

la somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto;
in un triangolo qualsiasi due angoli saranno sempre acuti;
in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono acuti.

Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo

Enunciamo il Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo:

Definizione

Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo

In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni che non sono ad esso adiacenti.

Ipotesi:

$ABC \quad \text{è un triangolo} è$
Tesi:

$\delta > \alpha \quad \text{e} \quad \delta > \beta$

Dimostrazione

Proviamo a dimostrare il Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo.

Dimostrazione

Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo

Sia dato il triangolo $ABC$ :

Scegliamo il lato $CB$ e su di esso prendiamo il punto medio che indichiamo con $M$ :

**Figura 3:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Punto medio di BC

Congiungiamo il punto $M$ con il vertice $A$ e prolunghiamo il segmento $AM$ di un segmento $ME$ tale che sia congruente con $AM$ :

AM \cong ME

Inoltre, congiungiamo il punto $E$ con il vertice $C$ . Il risultato è quello in figura:

**Figura 4:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Prolungamento di AM

Concentriamoci sui due triangoli $AMB$ e $EMC$ così ottenuti. Possiamo osservare che questi due triangoli hanno:

i lati $MC$ e $MB$ congruenti per costruzione: $MC \cong MB$ ;
analogamente i lati $AM$ e $EM$ sono congruenti per costruzione: $AM \cong EM$ ;
infine gli angoli $\widehat{AMB}$ e $\widehat{EMC}$ sono opposti al vertice per costruzione e quindi sono congruenti: $\widehat{AMB} \cong \widehat{EMC}$ .

**Figura 5:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Uguaglianze nei triangoli AMB e EMC

La conseguenza è che i due triangoli $AMC$ e $EMB$ sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli:

AMC \cong EMB

La congruenza dei due triangoli implica, inoltre, che anche tutti gli angoli interni sono congruenti motivo per cui gli angoli $\widehat{ABM}$ e $\widehat{MCE}$ sono congruenti:

\widehat{ABM} \cong \widehat{MCE}

**Figura 6:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Uguaglianze degli angoli ABM e MCE

Per costruzione, dato che la semiretta $CE$ , ossia la semiretta con origine in $C$ e passante per $E$ , è interna all'angolo $\delta$ , allora l'angolo $\widehat{MCE}$ è interno all'angolo $\delta$ . Ne consegue che:

\widehat{MCE} &lt; \delta

Ma, dalla congruenza di sopra, abbiamo che:

\widehat{MCE} \cong \widehat{ABM} = \beta

e quindi:

\beta &lt; \delta

Abbiamo dimostrato la prima parte della nostra tesi. Adesso dobbiamo ripetere il procedimento anche per l'angolo $\alpha$ . Prima di proseguire dobbiamo però notare ciò che ci mostra la figura:

**Figura 7:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Consideriamo l'angolo opposto al vertice

Dobbiamo ripetere la stessa costruzione considerando, però, l'angolo opposto al vertice mostrato nella figura di sopra. In quanto opposto al vertice l'angolo è uguale all'angolo $\delta$ . Quindi possiamo proseguire nella dimostrazione.

Ripetiamo lo stesso procedimento concentrandoci sul lato $AC$ su cui si prende il punto medio $N$ :

**Figura 8:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Prendiamo il punto medio N del lato AC

Congiungiamo il vertice $B$ con il punto $N$ e lo prolunghiamo di un segmento di lunghezza pari a $BN$ individuando il punto $F$ . Dopodiché congiungiamo il punto $F$ con il vertice $C$ :

**Figura 9:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Prolungamento del segmento BN

Adesso consideriamo i due nuovi triangoli $ABN$ e $FCN$ . Essi hanno:

i lati $AN$ e $NC$ congruenti per costruzione in quanto $N$ è il punto medio del lato $AC$ : $AN \cong NC$ ;
analogamente i lati $BN$ e $NF$ sono congruenti per costruzione: $BN \cong NF$ ;
infine gli angoli $\widehat{ANB}$ e $\widehat{CNF}$ sono opposti al vertice per costruzione e quindi sono congruenti: $\widehat{ANB} \cong \widehat{CNF}$ .

Il risultato è mostrato in figura:

**Figura 10:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Uguaglianza tra i triangoli ABN e CNF

Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli:

ABN \cong CNF

Dato che questi due triangoli sono congruenti, allora anche tutti gli angoli interni sono congruenti motivo per cui gli angoli $\widehat{BAN}$ e $\widehat{NCF}$ sono congruenti:

\widehat{BAN} \cong \widehat{NCF}

**Figura 11:** Dimostrazione del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Uguaglianza tra gli angoli BAN e NCF

Per costruzione, dato che la semiretta $CF$ , ossia la semiretta con origine in $C$ e passante per $F$ , è interna all'angolo $\delta$ , allora l'angolo $\widehat{NCF}$ è interno all'angolo $\delta$ . Ne consegue che:

\widehat{NCF} &lt; \delta

Ma, dalla congruenza di sopra, abbiamo che:

\widehat{NCF} \cong \widehat{BAN} = \alpha

e quindi:

\alpha &lt; \delta

Abbiamo dimostrato la seconda parte della nostra tesi. Abbiamo quindi dimostrato che:

\delta &gt; \alpha \quad \text{e} \quad \delta &gt; \beta

Il teorema è dimostrato.

Corollari

Dal primo teorema dell'angolo esterno di un triangolo possiamo ricavare ben tre importanti corollari.

Il primo corollario conseguenza del teorema è il seguente:

Definizione

Corollario 1: La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto

Dato un triangolo $ABC$ , la somma di due angoli interni è minore di un angolo piatto:

**Figura 12:** Primo Corollario del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo

\alpha + \beta &lt; 180^\circ

\alpha + \gamma &lt; 180^\circ

\beta + \gamma &lt; 180^\circ

Proviamo a dimostrare il corollario.

Dimostrazione

Dimostrazione del Corollario 1

Sia dato il triangolo $ABC$ . Prendiamo gli angoli interni $\alpha$ e $\beta$ e costruiamo l'angolo esterno $\delta$ :

**Figura 13:** Primo Corollario del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo: Dimostrazione

Per il primo teorema dell'angolo esterno di un triangolo sappiamo che:

\delta &gt; \alpha

A questa disuguaglianza possiamo sommare l'angolo $\beta$ senza che il verso della disuguaglianza stessa cambi:

\Rightarrow \quad \delta + \beta &gt; \alpha + \beta

Ma, $\beta$ e $\delta$ sono adiacenti e sono anche supplementari, per cui la loro somma è pari a un angolo piatto:

\delta + \beta = 180^\circ

Quindi:

\Rightarrow \quad 180^\circ &gt; \alpha + \beta

Il corollario è dimostrato.

Possiamo ripetere lo stesso procedimento per gli altri angoli.

Corollario 2

Il secondo corollario conseguenza del teorema è il seguente:

Definizione

Corollario 2: In un triangolo due angoli saranno sempre acuti

Sia dato un triangolo qualsiasi. Valgono le seguenti affermazioni:

In esso non possono esistere due o più angoli retti;
In esso non possono esistere due o più angoli ottusi;
In esso non possono esistere contemporaneamente un angolo ottuso e un angolo retto.

Il tutto può essere riassunto in: in un triangolo qualsiasi due angoli saranno sempre acuti.

Dimostriamo il corollario numero 2.

Dimostrazione

Dimostrazione del Corollario 2

Dobbiamo dimostrare singolarmente le tre affermazioni.

Per dimostrare la prima affermazione ragioniamo per assurdo. Se esistessero due angoli retti, $\alpha$ e $\beta$ , allora la loro somma sarebbe pari a un angolo piatto:

\alpha + \beta = 180^\circ

Ma, per il primo corollario, la somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto. Quindi uno dei due angoli non può essere un angolo retto. Abbiamo raggiunto un assurdo. Quindi non possono esistere due angoli retti in un triangolo.

Per dimostrare la seconda affermazione ragioniamo di nuovo per assurdo. Se esistessero due angoli ottusi, $\alpha$ e $\beta$ , allora la loro somma sarebbe maggiore di un angolo piatto:

\alpha + \beta &gt; 180^\circ

Ma anche in questo caso il primo corollario verrebbe violato. Per cui, non possono esistere due angoli ottusi in un triangolo.

Infine, per la terza affermazione, ragioniamo ancora per assurdo. Se esistesse un angolo retto e un angolo ottuso, $\alpha$ e $\beta$ , allora la loro somma sarebbe comunque superiore a un angolo piatto:

\alpha + \beta &gt; 180^\circ

E così, anche in questo terzo caso, il primo corollario viene violato. Quindi, non possono esistere contemporaneamente un angolo retto e un angolo ottuso in un triangolo.

Se mettiamo insieme le tre affermazioni abbiamo che se in un triangolo è presente un angolo retto o ottuso, gli altri due non possono essere né retti né ottusi. Quindi, in un triangolo qualsiasi due angoli saranno sempre acuti.

Corollario 3

L'ultimo corollario del primo teorema dell'angolo esterno di un triangolo riguarda i triangoli isosceli ed è il seguente:

Definizione

Corollario 3: In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono acuti

Dato un triangolo isoscele $ABC$ , gli angoli alla base sono acuti:

**Figura 14:** Terzo Corollario del Primo Teorema dell'Angolo Esterno di un Triangolo

\alpha &lt; 90^\circ

\beta &lt; 90^\circ

La dimostrazione del corollario è molto semplice.

Dimostrazione

Dimostrazione del Corollario 3

Sia dato il triangolo isoscele $ABC$ mostrato nella figura di sopra.

Dal teorema diretto del triangolo isoscele sappiamo che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti, per cui:

\alpha \cong \beta

Supponiamo per assurdo che essi non siano angoli acuti. Se così fosse, entrambi dovrebbero essere angoli ottusi o retti. Ma, per il corollario 2, sappiamo che in un triangolo non possono esistere due angoli ottusi o retti. Abbiamo raggiunto un assurdo.

Quindi, in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono acuti.

Conclusioni

Il primo teorema dell'angolo esterno di un triangolo è un teorema molto importante. Partendo dal fatto che un angolo esterno è maggiore degli angoli interni non adiacenti ad esso, possiamo dimostrare, in modo semplice, molte proprietà dei triangoli. In particolare, abbiamo visto che:

la somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto;
in un triangolo qualsiasi due angoli saranno sempre acuti;
in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono acuti.

Esiste anche un secondo teorema dell'angolo esterno di un triangolo che è molto simile al primo. Tuttavia, per il momento non possiamo ancora dimostrarlo in quanto ci mancano alcune nozioni sulle rette secanti e sulle rette parallele che vedremo nel prossimo capitolo.

Nella prossima lezione, invece, sfrutteremo il secondo corollario per classificare i triangoli in base alla misura dei loro angoli interni.

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