Criteri di Divisibilità
Stabilire se un numero naturale è un divisore di un altro numero naturale consiste nel verificare se il resto della divisione tra i due numeri è zero.
In molti casi, tuttavia, è possibile stabilire se un numero è divisore di un altro senza effettuare la divisione. In questo caso si parla di criteri di divisibilità.
In questa lezione vedremo i principali criteri di divisibilità.
Divisibilità per 2
Il primo criterio di divisibilità è quello più semplice:
Divisibilità per 2
Un numero naturale è divisibile per 2 se e solo se è un numero pari, ossia se la sua ultima cifra è 0, 2, 4, 6 o 8.
Ad esempio il numero 1234 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra è 4 ed è un numero pari. Il numero 1235 non è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra è 5 ed è un numero dispari.
Divisibilità per 3
Il secondo criterio di divisibilità è il seguente:
Divisibilità per 3
Un numero naturale è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 3.
Prendiamo, ad esempio, il numero 39126. La somma delle sue cifre è:
Abbiamo ottenuto 21. Ripetiamo il procedimento sommandone le cifre di 21:
Poiché 3 è divisibile per 3, anche 39126 è divisibile per 3.
Prendiamo ora il numero 39127. La somma delle sue cifre è:
Ripetiamo il procedimento sommandone le cifre di 22:
Poiché 4 non è divisibile per 3, anche 39127 non è divisibile per 3.
Metodo per verificare la divisibilità per 3
Un procedimento molto semplice per verificare la divisibilità per 3 è il seguente:
- Sommare le cifre del numero.
- Se la somma è un numero maggiore di 9, ripetere il procedimento fino ad ottenere un numero minore di 10.
- Se il numero ottenuto è 0, 3, 6 o 9, il numero iniziale è divisibile per 3.
Applicando questo procedimento si può verificare la divisibilità per 3 di numeri molto grandi in modo semplice e veloce.
Ad esempio, per verificare se 123456789 è divisibile per 3, sommiamo le cifre:
Ripetiamo il procedimento:
Poiché 9 è divisibile per 3, anche 123456789 è divisibile per 3.
Divisibilità per 4
Il terzo criterio di divisibilità è il seguente:
Divisibilità per 4
Un numero naturale è divisibile per 4 se e solo se le ultime due cifre del numero formano un numero divisibile per 4.
Ad esempio, il numero 1232 è divisibile per 4 perché le ultime due cifre formano il numero 32, che è divisibile per 4. Il numero 1233 non è divisibile per 4 perché le ultime due cifre formano il numero 33, che non è divisibile per 4.
Possiamo semplificare ulteriormente il criterio di divisibilità per 4:
Divisibilità per 4 (semplificato)
Per verificare se un numero è divisibile per 4 basta prendere le ultime due cifre. Poi bisogna verificare le seguenti due condizioni:
- Se la penultima cifra è dispari allora l'ultima cifra deve essere 2 o 6;
- Se la penultima cifra è pari allora l'ultima cifra deve essere 0, 4 o 8.
In caso contrario il numero non è divisibile per 4.
Applichiamo questo metodo a degli esempi:
-
31256:
La penultima cifra è 5 (dispari), quindi l'ultima cifra deve essere 2 o 6. L'ultima cifra è 6, quindi il numero è divisibile per 4.
-
31258:
La penultima cifra è 5 (dispari), quindi l'ultima cifra deve essere 2 o 6. L'ultima cifra è 8, quindi il numero non è divisibile per 4.
-
48744:
La penultima cifra è 4 (pari), quindi l'ultima cifra deve essere 0, 4 o 8. L'ultima cifra è 4, quindi il numero è divisibile per 4.
-
48745:
La penultima cifra è 4 (pari), quindi l'ultima cifra deve essere 0, 4 o 8. L'ultima cifra è 5, quindi il numero non è divisibile per 4.
Divisibilità per 5
Il quarto criterio di divisibilità è il seguente:
Divisibilità per 5
Un numero naturale è divisibile per 5 se e solo se l'ultima cifra del numero è 0 o 5.
Ad esempio, il numero 1230 è divisibile per 5 perché l'ultima cifra è 0. Il numero 1231 non è divisibile per 5 perché l'ultima cifra è 1.
Divisibilità per 6
Non esiste un criterio specifico per la divisibilità per 6, ma possiamo utilizzare i criteri di divisibilità per 2 e 3. Infatti:
Divisibilità per 6
Un numero naturale è divisibile per 6 se e solo se è divisibile per 2 e per 3.
Quindi, per verificare se un numero è divisibile per 6, dobbiamo verificare se è divisibile per 2 e per 3. Se lo è, allora il numero è divisibile per 6.
Ad esempio, il numero 1236 è divisibile per 2 (è pari) e per 3 (la somma delle cifre è 12, che è divisibile per 3), quindi è divisibile per 6. Il numero 1237 non è divisibile per 2 (è dispari) e quindi non è divisibile per 6.
Divisibilità per 7
Il sesto criterio di divisibilità è il seguente:
Divisibilità per 7
Un numero naturale è divisibile per 7 se e solo se il numero ottenuto eliminando l'ultima cifra del numero e sottraendo il doppio dell'ultima cifra è divisibile per 7. Se il numero ottenuto è negativo basta ignorare il segno.
Ad esempio, il numero 1617 è divisibile per 7. Infatti:
- Eliminiamo l'ultima cifra: 161
- Sottraiamo il doppio dell'ultima cifra:
- Riapplichiamo il procedimento:
- Poiché 0 è divisibile per 7, anche 1617 è divisibile per 7.
Il numero 1618 non è divisibile per 7. Infatti:
- Eliminiamo l'ultima cifra: 161
- Sottraiamo il doppio dell'ultima cifra:
- Riapplichiamo il procedimento:
- Poiché 4 non è divisibile per 7, anche 1618 non è divisibile per 7.
Divisibilità per 9
Il criterio di divisibilità per 9 è simile a quello per 3:
Divisibilità per 9
Un numero naturale è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è un numero divisibile per 9.
Anche in questo caso possiamo riapplicare il procedimento più volte fino ad ottenere un numero minore di 10. Se il numero ottenuto è 0 o 9, il numero iniziale è divisibile per 9.
Ad esempio, per verificare se 123456789 è divisibile per 9, sommiamo le cifre:
Ripetiamo il procedimento:
Poiché 9 è divisibile per 9, anche 123456789 è divisibile per 9.
Il numero 123456788 non è divisibile per 9. Infatti:
Ripetiamo il procedimento:
Poiché 8 non è divisibile per 9, anche 123456788 non è divisibile per 9.
Divisibilità per 10
Il nono criterio di divisibilità è il seguente:
Divisibilità per 10
Un numero naturale è divisibile per 10 se e solo se l'ultima cifra del numero è 0.
Ad esempio, il numero 1230 è divisibile per 10 perché l'ultima cifra è 0. Il numero 1231 non è divisibile per 10 perché l'ultima cifra è 1.
Questo criterio è molto semplice e non richiede alcun calcolo. Inoltre può essere esteso anche a potenze di 10:
Divisibilità per una potenza di 10
Un numero naturale è divisibile per una potenza di 10,
Ad esempio, il numero 123000 è divisibile per
Divisibilità per 11
Il decimo criterio di divisibilità è il seguente:
Divisibilità per 11
Un numero naturale è divisibile per 11 se e solo se la differenza tra la somma delle cifre in posizione dispari e la somma delle cifre in posizione pari è un numero divisibile per 11.
Ad esempio, il numero 138031894 è divisibile per 11. Infatti:
- La somma delle cifre in posizione dispari è:
- La somma delle cifre in posizione pari è:
- La differenza tra le due somme è:
- Poiché 11 è divisibile per 11, anche 138031894 è divisibile per 11.
Quando si effettua la differenza, non importa l'ordine. Infatti, se la somma delle cifre in posizione dispari è minore della somma delle cifre in posizione pari, basta cambiare l'ordine della differenza.
Prendiamo, ad esempio, il numero 171611:
- La somma delle cifre in posizione dispari è:
- La somma delle cifre in posizione pari è:
- Dovremmo effettuare la differenza:
ma possiamo anche scrivere . - Poiché 11 è divisibile per 11, anche 171611 è divisibile per 11.
Esiste un caso particolare in cui possiamo semplificare il criterio di divisibilità per 11:
Caso particolare per la divisibilità per 11
Un numero naturale è divisibile per 11 se è composto da:
- Un numero pari di cifre;
- Le cifre sono a coppie uguali.
Ad esempio, il numero 337788 è divisibile per 11 perché è composto da 6 cifre e le cifre sono a coppie uguali.
Divisibilità per 13
Il decimo criterio di divisibilità è il seguente:
Divisibilità per 13
Un numero naturale è divisibile per 13 se e solo se il numero ottenuto eliminando l'ultima cifra del numero e sommando il quadruplo dell'ultima cifra è divisibile per 13. Se il numero ottenuto è negativo basta ignorare il segno.
Ad esempio, il numero 2054 è divisibile per 13. Infatti:
- Eliminiamo l'ultima cifra: 205
- Sommiamo il quadruplo dell'ultima cifra:
- Riapplichiamo il procedimento:
è uguale a , quindi è divisibile per 13. Di conseguenza, anche 2054 è divisibile per 13.
Il numero 2055 non è divisibile per 13. Infatti:
- Eliminiamo l'ultima cifra: 205
- Sommiamo il quadruplo dell'ultima cifra:
- Riapplichiamo il procedimento:
non è divisibile per 13, quindi anche 2055 non è divisibile per 13.
Divisibilità per 17
L'undicesimo criterio di divisibilità è il seguente:
Divisibilità per 17
Un numero naturale è divisibile per 17 se e solo se il numero ottenuto eliminando l'ultima cifra del numero e sottraendo il quintuplo dell'ultima cifra è divisibile per 17.
Ad esempio, il numero 9214 è divisibile per 17. Infatti:
- Eliminiamo l'ultima cifra: 921
- Sottraiamo il quintuplo dell'ultima cifra:
- Riapplichiamo il procedimento:
- Riapplichiamo il procedimento:
- Ignoriamo il segno: 17 è divisibile per 17, quindi anche 9214 è divisibile per 17.
Divisibilità per 23
L'ultimo criterio di divisibilità che andremo a vedere è il seguente:
Divisibilità per 23
Un numero naturale è divisibile per 23 se e solo se il numero ottenuto eliminando l'ultima cifra del numero e sommando l'ultima cifra moltiplicata per 7 è divisibile per 23.
Ad esempio, il numero 34868 è divisibile per 23. Infatti:
- Eliminiamo l'ultima cifra: 3486
- Sommiamo l'ultima cifra moltiplicata per 7:
- Riapplichiamo il procedimento:
- Riapplichiamo il procedimento:
- Riapplichiamo il procedimento:
- 23 è divisibile per 23, quindi anche 34868 è divisibile per 23.