Multipli e Divisori di un Numero

Multipli di un Numero

Un concetto fondamentale in matematica è quello di multiplo di un numero. Formalmente:

Definizione

Multiplo di un numero

Dato un numero naturale, $a \in \mathbb{N}$ , si dice che un numero naturale $b \in \mathbb{N}$ è un multiplo di $a$ se esiste un numero naturale $k \in \mathbb{N}$ tale che:

b = a \cdot k

Ad esempio il numero 8 è un multiplo di 4, perché:

8 = 4 \cdot 2

In generale, preso un numero naturale $a$ , di esso esistono infiniti multipli.

Per capire come sia possibile, basta considerare tutti i numeri naturali e moltiplicarli per $a$ . Ad esempio, i multipli di 4 sono:

4 \cdot 0 = 0, \quad 4 \cdot 1 = 4, \quad 4 \cdot 2 = 8, \quad 4 \cdot 3 = 12, \quad 4 \cdot 4 = 16, \quad \ldots

Solo il numero 0 ha un solo multiplo, che è 0 stesso. Infatti, per ogni numero naturale $a$ vale:

a \cdot 0 = 0

A partire dal concetto di multiplo possiamo definire i due concetti di numero pari e numero dispari.

Definizione

Numero pari

Un numero naturale $a$ è un numero pari se esso è un multiplo di 2. In altre parole, esiste un numero naturale $k$ tale che:

a = 2 \cdot k

All'inverso, possiamo definire l'insieme dei numeri pari come:

\mathbb{P} = \{ a \in \mathbb{N} \mid a = 2 \cdot k, \quad k \in \mathbb{N} \}

Definizione

Numero dispari

Un numero naturale $a$ è un numero dispari se esso non è un multiplo di 2.

In altre parole, esiste un numero naturale $k$ tale che:

a = 2 \cdot k + 1

Divisori di un Numero

Allo stesso modo, possiamo definire il concetto di divisore di un numero. Formalmente:

Definizione

Divisore di un numero

Siano $a$ e $b$ due numeri naturali con $b \neq 0$ . Si dice che $b$ è un divisore o sottomultiplo di $a$ se esiste un numero naturale $k$ tale che:

a = b \cdot k \quad k \in \mathbb{N}

Più informalmente, possiamo dire che $b$ è un divisore di $a$ se dividendo $a$ per $b$ il resto della divisione è 0.

Ad esempio, il numero 4 è un divisore di 8, perché dividendo 8 per 4 otteniamo 2, che è un numero naturale ed il resto della divisione è 0.

Invece, il numero 3 non è un divisore di 8, perché dividendo 8 per 3 otteniamo 2 con resto 2.

Un'importante proprietà dei divisori è che ogni numero naturale ha un numero finito di divisori.

Inoltre, nella definizione di divisore abbiamo escluso il numero 0, perché non ha senso dividere per 0.

Se $b$ è un divisore di $a$ , possiamo utilizzare varie espressioni equivalenti:

$a$ è un multiplo di $b$ ;
$b$ divide $a$ ;
$a$ è divisibile per $b$ .

Abbiamo detto che se $b$ è un divisore di $a$ , allora nella divisione di $a$ per $b$ il resto è 0. Da ciò deriva un'importante conseguenza:

Definizione

Divisori e Quozienti

Se $b$ è un divisore di $a$ , allora anche il quoziente $q$ della divisione di $a$ per $b$ è a sua volta un divisore di $a$ .

In altre parole, se $b$ è un divisore di $a$ :

a : b = q

allora $q$ è un divisore di $a$ .

Dalla definizione di divisore risulta che il metodo per capire se un numero è divisore di un altro è quello di effettuare la divisione e controllare se il resto è 0.

Tuttavia, esistono alcuni metodi per capire se un numero è divisore di un altro senza effettuare la divisione: i criteri di divisibilità che vedremo nella prossima lezione.

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