Massimo Comun Divisore

Per arrivare alla definizione di Massimo Comun Divisore (MCD) partiamo da un esempio semplice.

Prendiamo i due numeri $30$ e $45$ :

I divisori di $30$ sono: $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $10$ , $15$ , $30$ .
I divisori di $45$ sono: $1$ , $3$ , $5$ , $9$ , $15$ , $45$ .

Osservando bene, notiamo che i due numeri in questione hanno dei divisori in comune. Questi sono: $1$ , $3$ , $5$ e $15$ . Tra questi, il più grande è $15$ come mostra la figura che segue:

Quindi possiamo dire che il Massimo Comun Divisore (MCD) di $30$ e $45$ è $15$ .

Definizione

Massimo Comun Divisore (MCD)

Dati due o più numeri naturali, tutti diversi da zero, il Massimo Comun Divisore (MCD) è il più grande numero naturale che divide tutti i numeri dati.

Matematicamente, il MCD si indica con:

\text{MCD}(a, b)

nel caso di due numeri, e con:

\text{MCD}(a_1, a_2, \ldots, a_n)

nel caso di $n$ numeri.

Come è indicato nella definizione, affinché il MCD è definito, i numeri devono essere naturali e diversi da zero. Quindi non ha senso calcolare il MCD di numeri tra i quali ci sia uno zero.

Inoltre, la definizione può essere estesa a più di due numeri. Ad esempio, prendiamo i numeri $30$ , $45$ e $75$ :

I divisori di $30$ sono: $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $10$ , $15$ , $30$ .
I divisori di $45$ sono: $1$ , $3$ , $5$ , $9$ , $15$ , $45$ .
I divisori di $75$ sono: $1$ , $3$ , $5$ , $15$ , $25$ , $75$ .

I divisori in comune sono: $1$ , $3$ , $5$ e $15$ . Tra questi, il più grande è $15$ . Quindi possiamo dire che il Massimo Comun Divisore (MCD) di $30$ , $45$ e $75$ è $15$ :

\text{MCD}(30, 45, 75) = 15

Metodo per il calcolo del MCD

Dato che il MCD è il più grande numero che divide i numeri dati, possiamo calcolarlo in modo banale cercando i divisori di ciascun numero e prendendo il più grande tra quelli in comune. Tuttavia, questo metodo è piuttosto lungo e tedioso, soprattutto se i numeri sono grandi.

Per questo motivo, esistono dei metodi più rapidi per calcolare il MCD. In questa lezione vedremo il Metodo della Scomposizione in Fattori Primi. Nella prossima lezione vedremo il Metodo di Euclide.

Partiamo da un semplice esempio. Riprendiamo i numeri $30$ e $45$ . Di questi due numeri, effettuiamo la scomposizione in fattori primi:

\begin{array}{r|l} 30 &amp; 2 \\ 15 &amp; 3 \\ 5 &amp; 5 \\ 1 &amp; \end{array}

La scomposizione in fattori primi di $30$ è quindi:

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

Allo stesso modo, scomponiamo $45$ :

\begin{array}{r|l} 45 &amp; 3 \\ 15 &amp; 3 \\ 5 &amp; 5 \\ 1 &amp; \end{array}

La scomposizione in fattori primi di $45$ è quindi:

45 = 3^2 \cdot 5

Una volta scomposti i numeri in fattori primi, per calcolare il MCD, dobbiamo prendere i fattori comuni con l'esponente più basso:

\begin{array}{rclclclc} 30 &amp; = &amp; 2 &amp; \cdot &amp; \color{red}{3} &amp; \cdot &amp; 5 \\ 45 &amp; = &amp; &amp; &amp; 3^2 &amp; \cdot &amp; \color{red}{5} \end{array}

I due fattori primi in comune sono $3$ e $5$ . L'esponente più basso di $3$ è $1$ e quello di $5$ è $1$ . Quindi il MCD è:

\text{MCD}(30, 45) = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15

In questo caso, il MCD è $15$ .

Ricapitolando:

Definizione

Metodo della Scomposizione in Fattori Primi per il calcolo del MCD

Dati due o più numeri naturali, il Massimo Comun Divisore (MCD) si calcola:

Scomponendo i numeri in fattori primi;
Prendendo i fattori comuni con l'esponente più basso.
Moltiplicando tali fattori tra loro.

Vediamo ora un altro esempio:

Esempio

Calcoliamo il MCD di $36$ e $120$ .

Scomponiamo i due numeri in fattori primi:

\begin{array}{r|l} 36 &amp; 2 \\ 18 &amp; 2 \\ 9 &amp; 3 \\ 3 &amp; 3 \\ 1 &amp; \end{array}

La scomposizione in fattori primi di $36$ è quindi:

36 = 2^2 \cdot 3^2

Scomponiamo ora $120$ :

\begin{array}{r|l} 120 &amp; 2 \\ 60 &amp; 2 \\ 30 &amp; 2 \\ 15 &amp; 3 \\ 5 &amp; 5 \\ 1 &amp; \end{array}

La scomposizione in fattori primi di $120$ è quindi:

120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1

Ora prendiamo i fattori comuni con l'esponente più basso:

\begin{array}{rclclclc} 36 &amp; = &amp; \color{red}{2^2} &amp; \cdot &amp; 3^2 &amp; &amp; \\ 120 &amp; = &amp; 2^3 &amp; \cdot &amp; \color{red}{3^1} &amp; \cdot &amp; 5^1 \end{array}

I due fattori primi in comune sono $2$ e $3$ . L'esponente più basso di $2$ è $2$ e quello di $3$ è $1$ . Quindi il MCD è:

\text{MCD}(36, 120) = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12

Numeri Coprimi

Quando il MCD di due numeri è $1$ , ciò significa che non hanno divisori in comune (escluso $1$ che divide tutti i numeri). In altre parole, i due numeri non hanno fattori primi in comune.

In questo caso si dice che i due numeri sono Coprimi.

Definizione

Numeri Coprimi o Relativamente Primi

Due numeri naturali $a$ e $b$ sono Coprimi o Relativamente Primi tra loro se il loro Massimo Comun Divisore (MCD) è $1$ :

\text{MCD}(a, b) = 1

Ad esempio, i numeri $8$ e $15$ sono coprimi perché il loro MCD è $1$ :

\begin{array}{r|l} 8 &amp; 2 \\ 4 &amp; 2 \\ 2 &amp; 2 \\ 1 &amp; \end{array}

La scomposizione in fattori primi di $8$ è quindi:

8 = 2^3

\begin{array}{r|l} 15 &amp; 3 \\ 5 &amp; 5 \\ 1 &amp; \end{array}

La scomposizione in fattori primi di $15$ è quindi:

15 = 3^1 \cdot 5^1

I due numeri non hanno fattori primi in comune, escluso $1$ . Quindi il MCD è:

\text{MCD}(8, 15) = 1

Quindi $8$ e $15$ sono coprimi.

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