Raccoglimento Parziale

Nella lezione precedente abbiamo visto il metodo del Raccoglimento Totale per scomporre un polinomio in fattori. Questo metodo non sempre è applicabile in maniera diretta, in quanto non sempre esiste un fattore comune a tutti i termini di un polinomio.

Tuttavia, è possibile applicare un metodo simile al raccoglimento totale, che prende il nome di Raccoglimento Parziale. Attraverso di esso è possibile lavorare a gruppi di termini, ossia mettere in evidenza fattori comuni a gruppi di termini.

Il raccoglimento parziale può essere applicato più volte, fino a quando non si ottiene un polinomio che può essere scomposto in fattori tramite il raccoglimento totale. In questa lezione vedremo come fare e studieremo qualche esempio di applicazione.

Raccoglimento Parziale per un Polinomio

Non sempre il metodo del Raccoglimento Totale, cioè del Raccoglimento a Fattor Comune, è applicabile ad un polinomio. Potrebbe, infatti, non esistere un fattore comune a tutti i termini del polinomio che può essere messo in evidenza.

Per capire il problema, analizziamo il polinomio che segue:

ac + bc + ad + bd

Nel polinomio di sopra non vi è alcun fattore comune a tutti i termini. Tuttavia, è possibile notare che i primi due termini hanno un fattore comune, cioè $c$ , mentre gli ultimi due termini hanno un fattore comune, cioè $d$ .

Possiamo, quindi, lavorare per gruppi e raccogliere i fattori comuni a ciascun gruppo. In questo caso, possiamo raccogliere il fattore $c$ dal primo e dal secondo termine e il fattore $d$ dal terzo e dal quarto termine. Il polinomio diventa:

ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)

Ora, possiamo notare che i due termini ottenuti hanno un fattore comune, cioè $(a + b)$ . A questo punto possiamo sfruttare il raccoglimento totale per raccogliere il fattore comune $(a + b)$ e ottenere il polinomio scomposto in fattori:

c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d)

Il procedimento che abbiamo appena visto prende il nome di Raccoglimento Parziale. Il nome deriva propria dal fatto che si raccoglie un fattore comune per gruppi di termini, cioè parzialmente.

In generale, il raccoglimento totale rappresenta il passo finale del raccoglimento parziale. Infatti, il raccoglimento parziale può essere applicato più volte, fino a quando non si ottiene un polinomio che può essere scomposto in fattori tramite il raccoglimento totale.

Vediamo un altro esempio:

4x^2 -8bx +3x -6b

Si nota subito che i termini del polinomio non hanno nessun fattore comune. Tuttavia, ragionando per gruppi e quindi parzialmente, notiamo che i primi due termini hanno il fattore $4x$ in comune, mentre gli ultimi due termini hanno il fattore $3$ in comune.

Raccogliendo, dapprima, $4x$ otteniamo:

4x^2 -8bx +3x -6b = 4x(x -2b) +3x -6b

Poi, raccogliendo $3$ otteniamo:

4x(x -2b) +3x -6b = 4x(x -2b) +3(x -2b)

A questo punto notiamo che i due termini ottenuti hanno il fattore comune $(x -2b)$ . Possiamo, quindi, raccogliere il fattore comune e ottenere il polinomio scomposto in fattori:

4x(x -2b) +3(x -2b) = (x -2b)(4x +3)

Ricapitolando:

Definizione

Raccoglimento Parziale

Il Raccoglimento Parziale è un metodo che permette di scomporre un polinomio in fattori, raccogliendo i fattori comuni a gruppi di termini.

Il raccoglimento parziale può essere applicato più volte, fino a quando non si ottiene un polinomio che può essere scomposto in fattori tramite il raccoglimento totale.

Volendo riassumere il procedimento, possiamo dire che il raccoglimento parziale si svolge in tre passi:

Consiglio

Procedimento del Raccoglimento Parziale

Raggruppare i termini del polinomio in gruppi, in modo che ciascun gruppo abbia un fattore comune.
Raccogliere il fattore comune da ciascun gruppo.
Ripetere i passi 1 e 2 fino a quando non si ottiene un polinomio che può essere scomposto in fattori tramite il raccoglimento totale.

Esempi

Proviamo ad esaminare degli esempi per chiarire meglio il concetto di raccoglimento parziale.

Esempio

Scomponiamo in fattori il seguente polinomio:

5xy -y -5x +1

Non vi sono fattori comuni a tutti i termini per cui applichiamo il raccoglimento parziale.

Tra i primi due termini vi è il fattore $y$ in comune che possiamo mettere in evidenza:

5xy -y -5x +1 = y(5x -1) -5x +1

Ora, osservando bene gli ultimi due termini notiamo che, a meno del segno invertito, essi rappresentano il binomio $(5x -1)$ . Possiamo, quindi, raccogliere il fattore comune numerico $-1$ :

y(5x -1) -5x +1 = y(5x -1) -1 \cdot (5x -1)

= y(5x -1) -(5x -1)

Adesso possiamo applicare il raccoglimento totale per raccogliere il fattore comune $(5x -1)$ :

y(5x -1) -(5x -1) = (5x -1)(y -1)

Il polinomio è scomposto in fattori.

Esempio

Scomponiamo in fattori il seguente polinomio:

x^2y^2 + 1 + x^2 + y^2

Non vi sono fattori comuni a tutti i termini per cui non possiamo applicare il raccoglimento totale. Tuttavia possiamo riordinare il polinomio in questo modo:

x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1

In questo modo abbiamo evidenziato il fatto che i primi due termini hanno il fattore $x^2$ in comune. Applicando il raccoglimento parziale mettiamo in evidenza $x^2$ ottenendo:

x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 = x^2(y^2 + 1) + y^2 + 1

Adesso possiamo mettere in evidenza il fattore comune $y^2 + 1$ usando il raccoglimento totale:

x^2(y^2 + 1) + y^2 + 1 = x^2(y^2 + 1) + 1 \cdot (y^2 + 1)

= (y^2 + 1)(x^2 + 1)

Il polinomio è scomposto in fattori.

In Sintesi

Questa lezione è stata dedicata al Raccoglimento Parziale. Questo metodo permette di scomporre un polinomio in fattori, raccogliendo i fattori comuni a gruppi di termini.

Il raccoglimento parziale può essere applicato più volte, fino a quando non si ottiene un polinomio che può essere scomposto in fattori tramite il raccoglimento totale.

Il procedimento del raccoglimento parziale si svolge in tre passi:

Raggruppare i termini del polinomio in gruppi, in modo che ciascun gruppo abbia un fattore comune;
Raccogliere il fattore comune da ciascun gruppo;
Ripetere i passi 1 e 2 fino a quando non si ottiene un polinomio che può essere scomposto in fattori tramite il raccoglimento totale.

Nella prossima lezione vedremo come scomporre i polinomi sfruttando i Prodotti Notevoli.

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