Raccoglimento Totale

Il Raccoglimento Totale, chiamato anche Raccoglimento a Fattore Comune, rappresenta una tecnica di fattorizzazione di polinomi ed espressioni letterali. Sfruttando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione è possibile scomporre un polinomio in fattori trovando un fattore comune a tutti i termini del polinomio.

Questa rappresenta la prima tecnica di fattorizzazione che studieremo. In questa lezione vedremo come applicare il metodo del raccoglimento totale quando il fattore comune è un monomio. Inoltre vedremo come applicare il metodo quando il fattore comune è un polinomio.

Raccoglimento totale per un polinomio

La tecnica del Raccoglimento Totale, chiamata spesso anche Raccoglimento a Fattor Comune, è una tecnica che permette di scomporre un polinomio in fattori sfruttando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

L'idea di base è che se in tutti i termini di un polinomio è presente uno stesso fattore algebrico comune, allora è possibile raccoglierlo o metterlo in evidenza.

Per chiarire meglio partiamo dalla scrittura che segue:

A \cdot B + A \cdot C

In tal caso abbiamo che i due termini del polinomio hanno in comune il fattore $A$ . Sfruttando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione possiamo riscrivere il polinomio mettendo in evidenza $A$ in questo modo:

A \cdot B + A \cdot C = A \cdot (B + C)

Sopra abbiamo parlato di fattore algebrico, quindi $A$ può essere un'espressione algebrica di qualunque tipo, ad esempio un monomio, un polinomio o addirittura un semplice numero.

Vediamo un esempio pratico quando $A$ è un monomio:

xy + xz^3 + xz^2

In tal caso la presenza di un fattore comune è abbastanza evidente. Infatti tutti i termini del polinomio hanno in comune il fattore $x$ . Possiamo quindi riscrivere il polinomio in questo modo:

xy + xz^3 + xz^2 =

= x \cdot y + x \cdot z^3 + x \cdot z^2

= x \cdot (y + z^3 + z^2)

In altri casi la presenza di un fattore comune può non essere così esplicita. Vediamo un esempio pratico quando $A$ è sempre un monomio:

x^3y^3 + x^2z^2 + x^4y

A prima vista può sembrare che i termini del polinomio non abbiano nulla in comune. In realtà se osserviamo meglio possiamo notare che tutti i termini hanno in comune il fattore $x^2$ . Possiamo quindi riscrivere il polinomio in questo modo:

x^3y^3 + x^2z^2 + x^4y =

= x^2 \cdot xy^3 + x^2 \cdot z^2 + x^2 \cdot x^2y

= x^2 \cdot (xy^3 + z^2 + x^2y)

Osservando attentamente possiamo notare che il monomio $x^2$ , ossia il nostro fattore comune, rappresenta un divisore di tutti i termini del polinomio: nella pratica si tratta proprio del massimo comun divisore dei termini del polinomio. Infatti, possiamo sfruttare questa proprietà per formalizzare il metodo del raccoglimento totale.

Prima però di procedere con la formalizzazione del metodo ricapitoliamo il tutto dando la definizione del metodo:

Definizione

Raccoglimento Totale o Raccoglimento a Fattor Comune

Il Raccoglimento Totale è una tecnica che permette di scomporre un polinomio in fattori sfruttando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Sia dato un polinomio composto dai seguenti termini:

AB_1 + AB_2 + AB_3 + \dots + AB_n

Dove $A$ e $B_1, B_2, B_3, \dots, B_n$ sono espressioni algebriche. Dato che il fattore $A$ è comune a tutti i termini del polinomio, possiamo riscrivere il polinomio in questo modo:

A \cdot ( B_1 + B_2 + B_3 + \dots + B_n )

Il fattore $A$ prende il nome di fattore comune o fattore algebrico comune.

Quando si riscrive il polinomio nella forma di sopra si dice che il fattore $A$ è stato messo in evidenza.

Adesso entriamo nel dettaglio e studiamo singolarmente il metodo per i due possibili casi:

Il fattore comune è un monomio;
Il fattore comune è un polinomio.

Raccoglimento Totale con fattore comune monomio

Quando il polinomio da scomporre in fattori è composto semplicemente dalla somma di monomi possiamo affermare che il fattore comune è un monomio. Non è necessario che il polinomio sia in forma normale, l'importante è che sia composto dalla somma di monomi.

Questa affermazione è vera anche nel caso in cui non esista un monomio che divida tutti i termini del polinomio, in quanto tutti i termini saranno sempre e comunque divisibili per $1$ che è un monomio di grado zero.

Detto questo, in tal caso il metodo del raccoglimento totale si può semplificare. Infatti, per trovare il fattore comune basta cercare il massimo comun divisore dei termini del polinomio e dividere tutti i termini per tale fattore comune. In tal caso il metodo si compone di tre passaggi:

Trovare il massimo comun divisore dei termini del polinomio;
Dividere tutti i termini del polinomio per il massimo comun divisore;
Mettere in evidenza il massimo comun divisore.

Applichiamo il metodo ad un esempio pratico:

12a^2b^3 + 30a^3b + 6ab

Questo polinomio è composto da tre termini, ognuno di essi è un monomio. Quindi il fattore comune è un monomio. Cerchiamo, quindi, il loro massimo comun divisore.

Per prima cosa cerchiamo il massimo comun divisore dei coefficienti numerici dei monomi. In tal caso il massimo comun divisore è $6$ .

Successivamente, applicando il metodo che abbiamo visto nella lezione sul massimo comun divisore tra monomi, cerchiamo il massimo comun divisore delle parti letterali dei monomi. Prendiamo le lettere comuni che appaiono in tutti i monomi con l'esponente inferiore con cui appaiono. Per cui il massimo comun divisore delle parti letterali è $ab$ .

Il fattore comune sarà pertanto:

6ab

Adesso dividiamo tutti i termini del polinomio per il fattore comune trovato:

\frac{12a^2b^3}{6ab} = 2ab^2

\frac{30a^3b}{6ab} = 5a^2

\frac{6ab}{6ab} = 1

Adesso mettiamo in evidenza il fattore comune:

6ab \cdot (2ab^2 + 5a^2 + 1)

I due fattori che abbiamo trovato sono:

6ab \quad \quad (2ab^2 + 5a^2 + 1)

Entrambe questi fattori sono irriducibili.

Ricapitolando:

Definizione

Raccoglimento a Fattor Comune di un polinomio composto da una somma di monomi

Sia dato un polinomio composto da una somma di monomi:

M_1 + M_2 + M_3 + \dots + M_n

Dove $M_1, M_2, M_3, \dots, M_n$ sono monomi.

Per raccogliere a fattor comune il polinomio si procede nel seguente modo:

Si trova il massimo comun divisore dei termini del polinomio:

Questo fattore comune è un monomio che indichiamo con $F$ .
Si divide ogni termine del polinomio per il fattore comune $F$ :

Siano $N_1, N_2, N_3, \dots, N_n$ i termini del polinomio divisi per $F$ :

$N_i = \frac{M_i}{F}$
Si mette in evidenza il fattore comune $F$ :

Il polinomio si riscrive nella forma:

$F \cdot (N_1 + N_2 + N_3 + \dots + N_n)$

Attenzione però: non sempre il raccoglimento a fattore comune è applicabile. Infatti potrebbe verificarsi il caso in cui il MCD dei termini del polinomio è pari a 1.

Nota

Raccoglimento a Fattor Comune non applicabile

Non sempre un polinomio può essere scomposto usando il Raccoglimento Totale. Prendiamo l'esempio che segue:

3x^2 + 5y - 7z^3

In tal caso il massimo comun divisore dei termini del polinomio è 1. Quindi non è possibile scomporre il polinomio in fattori usando il Raccoglimento Totale.

In altri casi, invece, potrebbe esistere il MCD soltanto dei coefficienti numerici. Ad esempio:

2x^2 + 4y + 6z

In tal caso il MCD dei coefficienti numerici è 2. Quindi il polinomio può essere scomposto in fattori usando il Raccoglimento Totale, ma il fattore comune sarà soltanto il numero 2:

2 \cdot (x^2 + 2y + 3z)

In tal caso non si tratta di una vera e propria scomposizione in fattori dato che $2$ è un polinomio degenere di grado 0.

Esempi

Vediamo qualche esempio:

Esempio

Vogliamo scomporre in fattori il polinomio:

18a^3y -4a^4y^3 + 10a^5y^2

Il polinomio in questione è composto da tre termini, ognuno di essi è un monomio. Quindi il fattore comune è un monomio. Applichiamo i passaggi descritti sopra:

Massimo comun divisore dei monomi:

Troviamo prima il MCD dei coefficienti numerici:

$\text{MCD} \quad \left\{ 18, -4, 10 \right\} \quad = \quad 2$

Troviamo poi il MCD delle parti letterali:

$\text{MCD} \quad \left\{ \quad a^3y, \quad a^4y^3, \quad a^5y^2 \quad \right\} \quad = \quad a^3y$

Quindi il monomio MCD dei termini del polinomio è:

$2a^3y$
Dividere tutti i termini del polinomio per il fattore comune trovato:

$\frac{18a^3y}{2a^3y} = 9$

$\frac{-4a^4y^3}{2a^3y} = -2ay^2$

$\frac{10a^5y^2}{2a^3y} = 5a^2$
Mettere in evidenza il fattore comune:

$2a^3y \cdot (9 - 2ay^2 + 5a^2)$

Esempio

Vogliamo scomporre in fattori il polinomio:

4x^2y^5 - 12xy^6 -6xy^5

Il polinomio in questione è composto da tre termini, ognuno di essi è un monomio. Quindi il fattore comune è un monomio. Applichiamo i passaggi descritti sopra:

Massimo comun divisore dei monomi:

Troviamo prima il MCD dei coefficienti numerici:

$\text{MCD} \quad \left\{ 4, -12, -6 \right\} \quad = \quad 2$

Troviamo poi il MCD delle parti letterali:

$\text{MCD} \quad \left\{ \quad x^2y^5, \quad xy^6, \quad xy^5 \quad \right\} \quad = \quad xy^5$

Quindi il monomio MCD dei termini del polinomio è:

$2xy^5$
Dividere tutti i termini del polinomio per il fattore comune trovato:

$\frac{4x^2y^5}{2xy^5} = 2x$

$\frac{-12xy^6}{2xy^5} = -6y$

$\frac{-6xy^5}{2xy^5} = -3$
Mettere in evidenza il fattore comune:

$2xy^5 \cdot (2x - 6y - 3)$

Raccoglimento Totale con fattore comune polinomio

Il raccoglimento totale può essere applicato anche nel caso in cui il fattore comune sia un polinomio. In tal caso non è applicabile il metodo visto sopra.

Questo si verifica spesso quando utilizziamo il metodo di scomposizione chiamato Raccoglimento Parziale che vedremo nella prossima lezione.

Per comprendere come si applica in questo caso esaminiamo l'esempio che segue:

4 (x -1)^2 + 2y^2 (x -1)^4 - 6z^3 (x -1)^3

In questo polinomio, che non è composto dalla somma di monomi, è presente in tutti i termini un fattore comune che è il polinomio $(x -1)$ . Per poter applicare il raccoglimento totale ci conviene imporre una uguaglianza:

A = (x -1)

In questo modo possiamo riscrivere il polinomio in una forma più semplice:

4A^2 + 2y^2 A^4 - 6z^3 A^3

Adesso risulta più semplice applicare il metodo del raccoglimento totale. Infatti, possiamo procedere nel seguente modo:

Massimo comun divisore dei monomi:

Troviamo prima il MCD dei coefficienti numerici:

$\text{MCD} \quad \left\{ 4, 2, -6 \right\} \quad = \quad 2$

Troviamo poi il MCD delle parti letterali:

$\text{MCD} \quad \left\{ \quad A^2, \quad y^2A^4, \quad z^3A^3 \quad \right\} \quad = \quad A^2$

Quindi il monomio MCD dei termini del polinomio è:

$2A^2$
Dividere tutti i termini del polinomio per il fattore comune trovato:

$\frac{4A^2}{2A^2} = 2$

$\frac{2y^2A^4}{2A^2} = y^2A^2$

$\frac{-6z^3A^3}{2A^2} = -3z^3A$
Mettere in evidenza il fattore comune:

$2A^2 \cdot (2 + y^2A^2 - 3z^3A)$
Sostituire il fattore comune con la sua espressione originale:

$2(x -1)^2 \cdot \left(2 + y^2(x -1)^2 - 3z^3(x -1) \right)$

Ci capiterà spesso di applicare il raccoglimento parziale e di trovare un fattore comune che è un polinomio, soprattutto come passaggio finale del raccoglimento parziale che vedremo nella prossima lezione.

Non è necessario, tuttavia, imporre sempre l'uguaglianza. Infatti, una volta che si è presa dimestichezza con il metodo, è possibile applicarlo direttamente.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo studiato la prima fondamentale tecnica per la scomposizione in fattori di un polinomio: il metodo del Raccoglimento Totale.

In pratica abbiamo visto che si tratta di trovare un fattore comune a tutti i termini del polinomio e, successivamente, di metterlo in evidenza riscrivendo così il polinomio di partenza.

Applicando questa tecnica è possibile scomporre in fattori un polinomio composto dalla somma di monomi. In tal caso il fattore comune è un monomio. Questo monomio rappresenta il massimo comun divisore dei termini del polinomio. Tuttavia potrebbe capitare che tale monomio sia soltanto il numero 1, in tal caso il raccoglimento totale non è applicabile.

Il raccoglimento totale può essere applicato anche nel caso in cui il fattore comune sia un polinomio. In questo caso, attraverso una riscrittura del polinomio, è possibile applicare il metodo come se il fattore comune fosse un monomio.

Il metodo del raccoglimento totale non è l'unica tecnica di fattorizzazione. Ne esistono molte altre e nella prossima lezione ci concentreremo sul Raccoglimento Parziale.

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