Introduzione alla Scomposizione in Fattori dei Polinomi

A questo punto della sezione di Matematica abbiamo studiato le fondamenta del calcolo letterale: monomi e polinomi. Abbiamo visto quali sono le operazioni che è possibile effettuare su di essi: somma algebrica, prodotto e divisione.

Adesso passiamo ad un altro concetto fondamentale: la scomposizione in fattori dei polinomi. Questo concetto è molto importante in quanto ci permette di semplificare espressioni e risolvere equazioni.

Scomporre in Fattori, o semplicemente Fattorizzare, un polinomio significa riscriverlo come prodotto di polinomi di grado inferiore. Il procedimento di fattorizzazione può continuare fino al punto in cui i singoli fattori non sono più riducibili.

Questa lezione introduttiva ci serve per chiarire e definire i concetti fondamentali che ci serviranno successivamente per analizzare le tecniche di fattorizzazione.

Fattorizzazione di un Polinomio

L'operazione di scomporre un polinomio in fattori, chiamata anche fattorizzazione, consiste nel riscrivere il polinomio di partenza come prodotto di polinomi di grado inferiore.

Per comprender meglio il concetto, prendiamo un esempio:

x^4 - 1

Il polinomio di sopra è un polinomio di quarto grado. Osservando bene, tuttavia, possiamo notare che il polinomio in questione è il risultato di un prodotto di una somma di due monomi per loro differenza, ossia il risultato di un prodotto notevole.

Motivo per cui possiamo riscrivere il polinomio di sopra in questo modo:

x^4 - 1 \quad = \quad (x^2 + 1) \cdot (x^2 - 1)

Come si può osservare, abbiamo riscritto il polinomio come il prodotto di due polinomi, in questo caso binommi, di secondo grado quindi di grado inferiore.

Possiamo spingerci oltre e continuare il procedimento. Infatti, se prendiamo il secondo binomio $x^2 - 1$ possiamo notare che anche esso può essere considerato come il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza. Questo ci permette di riscrivere il binomio in questo modo:

x^2 - 1 \quad = \quad (x + 1) \cdot (x - 1)

Combinando i due risultati ottenuti, abbiamo che il polinomio di partenza può essere riscritto nel modo seguente:

x^4 - 1 = (x^2 + 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)

Abbiamo riscritto il polinomio come prodotto di ben tre binomi di grado inferiore. A questo punto ci dobbiamo fermare in quanto non è possibile proseguire con la fattorizzazione. In particolare, il binomio $x^2 + 1$ non è fattorizzabile.

Quest'ultima affermazione può essere verificata molto semplicemente con il teorema di Ruffini. Essendo un binomio di secondo grado, infatti, dobbiamo trovare un binomio di primo grado in grado di dividerlo quindi un binomio nella forma $x + a$ . Secondo il teorema di Ruffini un binomio di questo tipo esiste soltanto se sostituendo l'opposto di $a$ al posto della variabile $x$ il risultato è zero. In altre parole il binomio $x-a$ divide $x^2 + 1$ se e soltanto se:

P(-a) = 0 \quad \Rightarrow \quad (-a)^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 + 1 = 0

Purtroppo non esiste nessun numero reale, $a \in \mathbb{R}$ , tale per cui $a^2 + 1 = 0$ . Per questo motivo il binomio $x^2 + 1$ non è fattorizzabile.

A questo punto il procedimento si ferma. I polinomi in cui abbiamo scomposto il polinomio di partenza prendono il nome di fattori e questi ultimi non sono più riducibili.

Possiamo, quindi, formalizzare alcune definizioni:

Definizione

Polinomio riducibile

Un polinomio in una o più variabili è riducibile se può essere scomposto nel prodotto di polinomi di grado inferiore.

Definizione

Polinomio irriducibile

Un polinomio in una o più variabili è irriducibile se non è riducibile nel prodotto di polinomi di grado inferiore.

Definizione

Fattorizzazione di un polinomio

La fattorizzazione di un polinomio è la scrittura di un polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore non riducibili. Tali polinomi che compongono il prodotto prendono il nome di fattori.

La scomposizione in fattori di un polinomio presenta molte affinità con la fattorizzazione di un numero naturale. In particolare, come la scomposizione in fattori di un numero naturale è unica, anche la fattorizzazione di un polinomio è unica a meno dell'ordine dei fattori.

Esempi

Vediamo qualche esempio nel dettaglio.

Esempio

Esempio di polinomio riducibile

Prendiamo il polinomio che segue:

x^2 - 4x + 4

Questo polinomio è riducibile. Infatti, se osserviamo attentamente, notiamo che esso può essere considerato come il risultato di un quadrato di un binomio. In particolare, il polinomio di sopra è il quadrato del binomio $x - 2$ :

(x - 2)^2 \quad = \quad x^2 - 4x + 4

Quindi il polinomio può essere ridotto in:

x^2 - 4x + 4 \quad = \quad (x-2) \cdot (x-2)

Esempio

Esempi di polinomi irriducibili

I seguenti polinomi non sono riducibili:

x^2 + 36

Questo polinomio non è riducibile in quanto non esiste nessun binomio di primo grado che lo divide.

x + 5

Questo polinomio già è di primo grado quindi non è riducibile.

Consiglio

Caso particolare di un monomio

Tecnicamente, se prendiamo un monomio, che è sempre un polinomio, esso potrebbe essere riscritto come il prodotto dei suoi fattori. Ad esempio, se prendiamo il monomio:

yx^3

Lo potremmo riscrivere come:

yx^3 \quad = \quad y \cdot x \cdot x \cdot x

Tuttavia per convenzione si considerano i monomi come irriducibili. Questo perché, in generale, non ha senso scomporre un monomio in fattori.

Esempi in più variabili

Finora abbiamo visto esempi in una singola variabile. Proviamo, adesso, ad esaminare il caso in cui nei polinomi appaiano più variabili.

Esempio

Esempio di polinomio riducibile in più variabili

Prendiamo il polinomio:

a^3 \cdot x^2 - a^3 \cdot y^2

La prima cosa da osservare è che i termini del polinomio hanno un fattore comune, ossia $a^3$ . Possiamo sfruttare la proprietà distributiva della moltiplicazione per riscrivere il polinomio di sopra in questo modo:

a^3 \cdot x^2 - a^3 \cdot y^2 \quad = \quad a^3 \cdot (x^2 - y^2)

Dei due polinomi in cui abbiamo scomposto il polinomio di partenza, il primo è un monomio di terzo grado non riducibile, mentre il secondo è un binomio di secondo grado. Quest'ultimo è riducibile in quanto può essere visto come il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza. In particolare, il binomio può essere riscritto in questo modo:

x^2 - y^2 \quad = \quad (x+y) \cdot (x-y)

Quindi il polinomio di partenza può essere riscritto come:

a^3 \cdot x^2 - a^3 \cdot y^2 \quad = \quad a^3 \cdot (x+y) \cdot (x-y)

Esempio

Esempio di polinomio riducibile in più variabili

Prendiamo il polinomio:

x^2 + 2xy + y^2

Questo polinomio è riducibile in quanto può essere considerato come il quadrato di un binomio. In particolare, il polinomio di sopra è il quadrato del binomio $x + y$ :

x^2 + 2xy + y^2 \quad = \quad (x + y) \cdot (x + y)

Verifica della fattorizzazione

Possiamo anche lavorare in senso inverso e verificare se un polinomio è stato già ridotto in fattori. In particolare, se abbiamo un polinomio in cui sono presenti dei fattori, possiamo verificare se questi ultimi sono irriducibili o meno. Vediamo qualche esempio.

Esempio

Esempio di verifica di fattorizzazione

Prendiamo il polinomio:

x^3 \cdot (1 + x^2)

Questo polinomio è già scomposto in fattori. Infatti i due fattori che lo compongono sono:

$x^3$ : monomio di terzo grado irriducibile;
$1 + x^2$ : binomio di secondo grado irriducibile.

Esempio

Esempio di verifica di fattorizzazione

Prendiamo il polinomio:

3x \cdot (x + 1) - 3y

Ad un primo sguardo disattento potrebbe sembrare che il polinomio sia stato scomposto in fattori. In realtà il polinomio di sopra non rappresenta una fattorizzazione. Infatti, se osserviamo bene, il polinomio di sopra è il risultato di una sottrazione tra polinomi e non è un prodotto.

Espandendo il polinomio di sopra otteniamo:

3x \cdot (x + 1) - 3y \quad = \quad 3x^2 + 3x - 3y

Questo polinomio non è riducibile in quanto non è il prodotto di due polinomi di grado inferiore.

Metodi per la fattorizzazione

In generale, non esiste un metodo unico per fattorizzare un polinomio che possa essere usato in ogni situazione. Tuttavia, esistono alcuni metodi che possono essere utilizzati per fattorizzare alcuni tipi di polinomi. Questi metodi possono essere a loro volta combinati mano a mano che si procede con la fattorizzazione.

Nelle prossime lezioni li analizzeremo nel dettaglio. Per ora vediamo quali sono i metodi che andremo ad analizzare:

Raccoglimento a Fattor Comune: questo metodo può essere utilizzato quando i termini del polinomio hanno un fattore comune;
Raccoglimento Parziale: questo metodo può essere utilizzato quando i termini del polinomio hanno un fattore comune parziale;
Prodotti Notevoli: questo metodo può essere utilizzato quando il polinomio è il risultato di un prodotto notevole;

In Sintesi

Questa lezione rappresenta il punto di partenza nello studio della fattorizzazione dei polinomi algebrici. Siamo partiti dal concetto di riducibilità, ossia la proprietà che hanno alcuni polinomi di essere riscritti o ridotti nel prodotto di polinomi con grado inferiore.

A loro volta, i fattori potrebbero essere riducibili e quindi scomposti ulteriormente, oppure irriducibili e quindi non riscrivibili come prodotto di polinomi di grado inferiore. Quando un polinomio è stato scomposto nel prodotto di polinomi irriducibili, la scomposizione prende il nome di fattorizzazione e i singoli polinomi prendono il nome di fattori.

La scomposizione in fattori rappresenta un passaggio fondamentale nello studio del calcolo letterale e, più in generale, dell'algebra. Infatti, il concetto di scomposizione ritorna spesso in tutti gli ambiti della matematica e aiuta a semplificare espressioni ed equazioni.

Come abbiamo visto, non esiste una tecnica generica di scomposizione. Ne esistono varie e possono essere combinate tra di loro. Nelle prossime lezioni vedremo quali sono i metodi più comuni per scomporre un polinomio in fattori. Partiremo dal Raccoglimento a Fattor Comune chiamato anche Raccoglimento Totale.

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