Definizione di Logaritmo

In questa lezione iniziamo lo studio dei logaritmi e vedremo come le loro proprietà discendono direttamente dalle proprietà delle potenze.

Definizione

Prendiamo un'equazione esponenziale del tipo:

a^x = b

Con $a \in \mathbb{R}$ , $b \in \mathbb{R}$ e $x \in \mathbb{R}$ .

Se poniamo che:

$a$ sia positiva: $a > 0$
$a$ sia diversa da $1$ : $a \neq 1$
$b$ sia maggiore di $0$ : $b > 0$

Sotto tali condizioni abbiamo che questa equazione ammette una e una sola soluzione in $x$ .

Ad esempio, prendiamo l'equazione:

2 ^ x = 8

è facile capire come la soluzione sia $x = 3$ .

La soluzione di un'equazione di questo tipo prende il nome di logaritmo e la si indica con:

x = \log_{a}\left(b\right)

Definizione

Definizione di logaritmo

Dati due numeri $a$ e $b$ appartenenti a $\mathbb{R}$ tali che $a > 0, a \neq 1$ e $b > 0$ , si chiama logaritmo in base $a$ di $b$ l'esponente $x \in \mathbb{R}$ da assegnare ad $a$ per ottenere $b$ .

\forall a, b \in \mathbb{R}: a &gt; 0, a \neq 1, b &gt; 0

\log_{a}\left(b\right) = x \overset{def}{\Leftrightarrow} a^x = b

Il numero $a$ prende il nome di base del logaritmo, mentre $b$ prende il nome di argomento del logaritmo.

Una prima osservazione importante è che dati due numeri reali positivi uguali $b = c$ anche il loro logaritmo nella stessa base è uguale:

\forall b, c \in \mathbb{R}^+ \quad b = c \leftrightarrow \log_{a} b = \log_{a} c

Osservazioni

Nella definizione di logaritmo abbiamo imposto volutamente che $a > 0$ e $a \neq 1$ . La motivazione sta nel fatto che se $a = 1$ o $a \leq 0$ il logaritmo non è definibile. Infatti:

Se $a = 0$ l'espressione $\log_{0} b$ :
- non ha soluzione se $b \neq 0$ , in quanto $\nexists x \in \mathbb{R}: 0^x = b$ , cioè non esiste nessun numero reale $x$ tale per cui $0^x$ dia come risultato un numero diverso da 0.
- ammette infinite soluzioni reali positive (escluso lo $0$ ) se $b = 0$ , in quanto $\forall x \in \mathbb{R}^+ \quad 0^x = 0$ , ossia $0$ elevato a qualunque numero reale positivo dà come risultato sempre $0$ . Abbiamo specificato che l'insieme infinito delle soluzioni è composto dai numeri reali maggiori di $0$ , in quanto i numeri reali negativi non possono essere inclusi. Infatti, $0 ^ x$ con $x < 0$ non ha senso.
Se $a = 1$ l'espressione $\log_{1} b$ :
- non ha soluzione se $b \neq 1$ , in quanto $\nexists x \in \mathbb{R}: 1^x = b$ , cioè non esiste nessun numero reale $x$ tale per cui $1^x$ dia come risultato un numero diverso da 1.
- ammette infinite soluzioni se $b = 1$ , in quanto $\forall x \in \mathbb{R} \quad 1^x = 1$ , ossia $1$ elevato a qualunque numero reale dà come risultato sempre $1$ .
Se $a < 0$ l'elevamento a potenza $a ^ x$ non è definito per tutti i numeri reali x. L'elevamento a potenza in questo caso può essere definito solo se l'esponente è un numero naturale e in generale se l'esponente è un numero razionale esprimibile come frazione con denominatore dispari. In caso contrario il risultato di un'elevamento a potenza non è un numero reale.
Dato che abbiamo imposto che $a$ sia positivo ne consegue che la potenza $a^x$ è positiva per ogni $x \in \mathbb{R}$ . Di conseguenza, dato che $b = a^x$ , ne consegue che il logaritmo è definito esclusivamente per $b > 0$ .

Risultati notevoli

Partendo dalla definizione di logaritmo e ponendo che $a > 0$ , $a \neq 1$ e $b > 0$ possiamo ricavare dei risultati notevoli:

$\log_{a} 1 = 0$ : Questo risultato immediato può essere ricavato dal fatto che, indipendentemente dalla base, qualunque numero reale elevato a $0$ dà come risultato $1$ :

\forall a \in \mathbb{R}^{+} \quad a ^ 0 = 1 \quad \rightarrow \quad \log_{a} 1 = 0

$\log_{a} a = 1$ : Anche questo risultato è abbastanza immediato in quanto per ottenere come argomento la base stessa l'unico esponente possibile è $1$ :

\forall a \in \mathbb{R}^{+} \quad a ^ 1 = a \quad \rightarrow \quad \log_{a} a = 1

$a^{\log_{a} b} = b$ : Questo risultato deriva direttamente dalla definizione di logaritmo. Infatti il risultato di $\log_{a} b$ è proprio quel valore che, usato come esponente per $a$ , dà come risultato $b$

Monotonicità del logaritmo

Una delle proprietà fondamentali del logaritmo è la sua monotonicità. In particolare, prendendo due argomenti $b_1 > 0$ e $b_2 > 0$ tali che $b_2 > b_1$ abbiamo che, fissata la base $a$ :

Se $0 < a < 1$ al crescere di $b$ il risultato del logaritmo decresce:

\log_{a} b_1 &gt; \log_{a} b_2

Se $a > 1$ al crescere di $b$ il risultato del logaritmo aumenta:

\log_{a} b_1 &lt; \log_{a} b_2

Prendiamo un esempio:

$\log_{10} 10 < \log_{10} 20$ , in quanto la base $10$ è maggiore di $1$ . Infatti $\log_{10} 10 = 1$ e $\log_{10} 20 \approx 1.3010$ .
$\log_{1/2} 10 > \log_{1/2} 20$ , in quanto la base $\frac{1}{2}$ è compresa tra $0$ e $1$ esclusi. Infatti $\log_{1/2} 10 \approx -3.3219$ e $\log_{1/2} 20 \approx -4.3219$ .

Esempi

Proviamo ad applicare la definizione riportata sopra per risolvere alcuni semplici esempi.

Esempio 1

Prendiamo:

\log_{2}\left(1024\right)

Dato che $1024$ è una potenza di $2$ , in particolare $2^{10}$ , il risultato è abbastanza immediato: $10$ .

Esempio 2

Prendiamo:

\log_{7} \left(1\right)

In questo caso basta ricordarsi che l'unico esponente da assegnare ad una potenza per ottenere $1$ è lo $0$ , per cui il risultato è proprio $0$ indipendentemente dalla base.

Esempio 3

Prendiamo:

\log_{5} \left(\frac{1}{25}\right)

Osserviamo che l'argomento del logaritmo in questo caso può essere scritto come:

\frac{1}{5 ^ 2}

Quindi l'argomento è una frazione dove al denominatore abbiamo una potenza di $5$ , la base del nostro logaritmo. A questo punto, bisogna ricordare che per ottenere come risultato di una potenza una frazione è necessario che l'esponente sia negativo, per cui la soluzione è $-2$ .

Esempio 4

Prendiamo:

\log_{4} \left( \sqrt{64} \right)

Come argomento del logaritmo abbiamo $\sqrt{64}$ che può essere riscritto come $\sqrt{4 ^ 3}$ . Ma la radice quadrata può essere riscritta come una potenza con esponente pari a $\frac{1}{2}$ per cui l'argomento diventa $4 ^ {\frac{3}{2}}$ e dato che la base del logaritmo è proprio $4$ il risultato è: $\frac{3}{2}$ .

Riassumendo

In questa lezione abbiamo visto la definizione di logaritmo e alcuni risultati notevoli che conseguono direttamente da essa. Nella prossima lezione mostrerò le proprietà fondamentali del logaritmo e ne darò la dimostrazione.

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