Proprietà del logaritmo

In questa lezione vediamo le proprietà fondamentali dei logaritmi e le loro applicazioni. Le proprietà sono tre e valgono qualunque sia la base $a$ purchè $a > 0$ e $a \neq 1$ . Queste proprietà derivano direttamente dalle proprietà delle potenze:

Logaritmo di un prodotto
Logaritmo di un quoziente
Logaritmo di una potenza

Logaritmo di un prodotto

Definizione

Fissata una base $a \in \mathbb{R}$ con $a > 0$ e $a \neq 1$ , il logaritmo in base $a$ del prodotto di due numeri reali positivi $b$ e $c$ è uguale alla somma dei logaritmi in base $a$ dei due fattori:

\forall b, c \in \mathbb{R}^+ \quad \log_{a} \left( b \cdot c \right) = \log_{a} b + \log_{a} c

Questa proprietà può essere dimostrata in modo molto semplice. Poniamo:

x = \log_{a} b, \quad y = \log_{a} c

Dalla definizione di logaritmo abbiamo che:

a^x = b, \quad a^y = c

Se consideriamo il prodotto di $a^x$ per $a^y$ abbiamo che:

a^x \cdot a^y = b \cdot c

Dato che le due potenze $a^x$ e $a^y$ hanno stessa base possiamo utilizzare la proprietà del prodotto di due potenze con stessa base:

a ^ {x + y} = b \cdot c

Adesso, dato che sia a sinistra che a destra del segno di uguaglianza abbiamo due valori reali positivi, possiamo applicare il logaritmo in base $a$ ad entrambe i lati:

x + y = \log_{a} \left( b \cdot c \right)

Ma all'inizio della dimostrazione abbiamo posto che $x = \log_{a} b$ e $y = \log_{a} c$ , per cui possiamo sostituirli nell'espressione:

\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} \left( b \cdot c \right)

In questo modo abbiamo dimostrato la proprietà del logaritmo di un prodotto.

Esempio

Verifichiamo la seguente uguaglianza:

\log_{2} \left( 32 \cdot 64 \right) = \log_{2} 32 + \log_{2} 64

Al primo membro abbiamo il logaritmo in base $2$ del prodotto $32 \cdot 64$ . Entrambe i fattori del prodotto sono potenze di $2$ , in particolare $32 = 2^5$ mentre $64 = 2^6$ . Pertanto il primo membro può essere riscritto come $\log_{2} \left( 2 ^ {11} \right)$ il cui valore è l'esponente del $2$ ossia $11$ .

Al secondo membro abbiamo la somma di $\log_{2} 32 = 5$ e $\log_{2} 64 = 6$ , pertanto il risultato è $11$ e l'uguaglianza è verificata.

Logaritmo di un quoziente

Definizione

Fissata una base $a \in \mathbb{R}$ con $a > 0$ e $a \neq 1$ , il logaritmo in base $a$ del quoziente di due numeri reali positivi $b$ e $c$ è uguale alla differenza fra il logaritmo in base $a$ del dividendo e il logaritmo in base $a$ del divisore:

\forall b, c \in \mathbb{R}^+ \quad \log_{a} \left( \frac{b}{c} \right) = \log_{a} b - \log_{a} c

Questa proprietà può essere dimostrata in modo molto semplice analogamente al caso del prodotto. Poniamo, come prima:

x = \log_{a} b, \quad y = \log_{a} c

Dalla definizione di logaritmo abbiamo che:

a^x = b, \quad a^y = c

Se consideriamo il quoziente tra $a^x$ e $a^y$ abbiamo che:

\frac{a^x}{a^y} = \frac{b}{c}

Dato che le due potenze $a^x$ e $a^y$ hanno stessa base possiamo utilizzare la proprietà del quoziente di due potenze con stessa base:

a ^ {x - y} = \frac{b}{c}

Adesso, dato che sia a sinistra che a destra del segno di uguaglianza abbiamo due valori reali positivi, possiamo applicare il logaritmo in base $a$ ad entrambe i lati:

x - y = \log_{a} \left( \frac{b}{c} \right)

Ma all'inizio della dimostrazione abbiamo posto che $x = \log_{a} b$ e $y = \log_{a} c$ , per cui possiamo sostituirli nell'espressione:

\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \left( \frac{b}{c} \right)

In questo modo abbiamo dimostrato la proprietà del logaritmo di un quoziente.

Esempio

Verifichiamo la seguente uguaglianza:

\log_{3} \left( \frac{81}{243} \right) = \log_{3} 81 - \log_{3} 243

Al primo membro abbiamo il logaritmo della frazione $\frac{81}{243}$ in cui sia il numeratore che il denominatore sono potenze di $3$ . In particolare $81 = 3^4$ mentre $243 = 3^5$ per cui, applicando le proprietà delle potenze, abbiamo che la frazione può essere riscritta come $\frac{1}{3}$ . A questo punto abbiamo che $\log_{3} \left( \frac{1}{3} \right) = \log_{3} 3^{-1} = -1$ .

Al secondo membro abbiamo la differenza tra due logaritmi: $\log_{3} 81 = 4$ e $\log_{3} 243 = 5$ . Per cui il secondo membro può essere riscritto come $4 - 5 = -1$ e l'uguaglianza è verificata.

Logaritmo di una potenza

Definizione

Il logaritmo in base $a$ , con $a > 0$ e $a \neq 1$ , di una potenza di un numero reale positivo $b > 0$ con esponente reale $k$ è pari al prodotto tra $k$ e il logaritmo in base $a$ del numero $b$ :

\forall a, b, k \in \mathbb{R}: \quad a &gt; 0, \quad a \neq 1, \quad b &gt; 0 \quad \log_{a} b^k = k \cdot \log_{a} b

Proviamo a dimostrare questa proprietà. Poniamo dapprima:

x = \log_{a} b \quad \rightarrow \quad a^x = b

Elevando entrambe i membri dell'uguaglianza a $k$ :

\left( a^x \right) ^ k = b^k

Da cui applicando la proprietà delle potenze di potenze:

a ^ {x \cdot k} = b^k

Entrambe i membri dell'uguaglianza sono numeri reali positivi in base ai vincoli imposti sopra. Per tal motivo possiamo applicare il logaritmo in base $a$ ad ambo i membri:

\log_{a} \left( a ^ {x \cdot k} \right) = \log_{a} \left( b^k \right) \rightarrow k \cdot x = \log_{a} \left( b ^ k \right)

Ma abbiamo posto che $x = \log_{a} b$ , per cui sostituendo ad $x$ al primo membro abbiamo che:

k \cdot \log_{a} b = \log_{a} \left( b ^ k \right)

E in questo modo la proprietà è dimostrata.

Esempio

Verifichiamo l'uguaglianza:

\log_{2} 16^4 = 4 \cdot \log_{2} 16

Al primo membro abbiamo come argomento del logaritmo $16^4$ che può essere riscritto come ${2^4}^4 = 2^{4\cdot4} = 2^{16}$ . Per cui il primo membro diventa $\log_{2} 2^{16} = 16$ .

Al secondo membro abbiamo, invece, $4 \cdot \log_{2} 16 = 4 \cdot \log_{2} 2^4 = 4 \cdot 4 = 16$ e l'uguaglianza è così verificata.

Logaritmo di una radice

Un caso particolare del logaritmo di una potenza è il logaritmo di una radice:

\log_{a} \sqrt[n]{b}

Anche in questo caso possiamo applicare il logaritmo di una potenza in quanto la radice può essere riscritta in questo modo: $\sqrt[n]{b} = b^{\frac{1}{n}}$ . Per cui:

\log_{a} \sqrt[n]{b} = \log_{a} b^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \log_{a} b

Ad esempio:

\log_{10} \sqrt{57} = \frac{1}{2} \cdot \log_{10} 57

Riassumendo

In questa lezione abbiamo visto le tre proprietà fondamentali del logaritmo:

Logaritmo di un prodotto: $\log_{a} \left( b \cdot c \right) = \log_{a} b + \log_{a} c$
Logaritmo di un quoziente: $\log_{a} \left( \frac{b}{c} \right) = \log_{a} b - \log_{a} c$
Logaritmo di una potenza: $\log_{a} \left( b^k \right) = k \cdot \log_{a} b$

Nella prossima lezione applicheremo tali proprietà per ricavare la formula di cambiamento di base del logaritmo

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