Formula di cambiamento di base del logaritmo

La stragrande maggioranza delle calcolatrici in commercio (ed anche i linguaggi di programmazione per computer) forniscono il modo di calcolare il logaritmo esclusivamente in due basi:

Base $10$
Base $e \approx 2.71828$ chiamato anche Numero di Nepero

Anche su molti libri di testo si usa una notazione particolare per indicare i logaritmi in queste basi:

$\log x$ : per indicare il Logaritmo decimale o logaritmo in base $10$ . In questo caso si omette di specificare la base.
$\ln x$ : per indicare il Logaritmo naturale o logaritmo in base $e$

Analogamente le calcolatrici e i linguaggi di programmazione mettono a disposizione due funzioni, log e ln, per calcolare rispettivamente il logaritmo decimale e il logaritmo naturale. Il problema sorge nel momento in cui vogliamo calcolare il logaritmo in una base diversa da $10$ e da $e$ .

In questa lezione mostro come ricavare la formula di cambiamento di base del logaritmo che ci permette di usare, in generale, il logaritmo in una base arbitraria $a$ per calcolare il logaritmo in base $b$ .

Esempio

Per capire come calcolare, con l'ausilio di una calcolatrice, un logaritmo in una base $b$ utilizzando una base $a$ differente, partiamo da un esempio. Vogliamo trovare il valore di $x$ nella seguente espressione:

x = \log_{7} 83

Questo logaritmo è in base $7$ e le calcolatrici comuni non mettono a disposizione una funzione diretta per calcolarlo. Dobbiamo trovare un modo per ricondurre questo logaritmo alla base $10$ o, al massimo, alla base $e$ . Partiamo dalla definizione di logaritmo e riscriviamo l'espressione di sopra:

7^x = 83

Entrambe i membri dell'uguaglianza sono numeri reali positivi appartenenti a $\mathbb{R}$ , per cui possiamo applicare il logaritmo in base $10$ ad ambo i membri:

\log_{10} \left( 7 ^ x \right) = \log_{10} 83

Applicando la proprietà dei logaritmi di una potenza, riscriviamo il lato sinistro portando la $x$ fuori dal logaritmo:

x \cdot \log_{10} 7 = \log_{10} 83

Dato che $\log_{10} 7 \neq 0$ possiamo portare questo termine dall'altro lato dell'uguaglianza ricavando:

x = \frac{\log_{10} 83}{\log_{10} 7}

In questo modo abbiamo riscritto il logaritmo in base $7$ come quoziente di due logaritmi in base $10$ . Possiamo, a questo punto, usare una qualunque calcolatrice per ottenere il valore approssimato di $x$ :

x = \frac{\log_{10} 83}{\log_{10} 7} \approx \frac{1.91908}{0.84510} \approx 2.27083

Formula generale per il cambiamento di base

Il procedimento applicato nell'esempio precedente può essere generalizzato. Otteniamo, così:

Definizione

Formula Generale di Cambiamento di base per i logaritmi

\forall a, b, c \in \mathbb{R}^+ : \quad a \neq 1, \quad c \neq 1 \quad \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

La dimostrazione di questa formula è abbastanza semplice e segue gli stessi passaggi dell'esempio precedente.

Vogliamo trovare il valore di $x$ nella seguente equazione:

x = \log_{a} b

Applicando la definizione di logaritmo, trasformiamo l'espressione precedente in:

a^x = b

Avendo imposto $a > 0$ e $b > 0$ possiamo applicare il logaritmo in base $c$ ad ambo i lati dell'uguaglianza:

\log_{c} \left( a^x \right) = \log_{c} b

Applicando la proprietà dei logaritmi di una potenza al lato sinistro, possiamo portare la $x$ fuori dal logaritmo:

x \cdot \log_{c} a = \log_{c} b

Infine, possiamo portare il termine $\log_{c} a$ dall'altro lato dell'uguaglianza perchè abbiamo imposto $a \neq 1$ , per cui $\log_{c} a \neq 0$ :

x = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

Quindi:

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

Modulo di trasformazione

La formula del cambiamento di base può essere riscritta in questo modo:

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} = \frac{1}{\log_{c} a} \cdot \log_{c} b

Il fattore $\frac{1}{\log_{c} a}$ , una volta fissata la base di partenza $a$ e la base finale $c$ , rimane invariato e prende il nome di modulo di trasformazione da una base $a$ ad una base $c$ .

Ad esempio:

$\frac{1}{\log_{10} 2} \approx 3.32193$ è il modulo di trasformazione dalla base $10$ alla base $2$
$\frac{1}{\ln 2} \approx 1.44270$ è il modulo di trasformazione dalla base $e$ alla base $2$

Riassumendo

In questa lezione abbiamo visto come effettuare il cambio di base di un logaritmo attraverso la formula:

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

Abbiamo dimostrato questa formula e abbiamo visto come usarla con l'ausilio di una calcolatrice per calcolare i logaritmi con base arbitraria. Nella prossima lezione vedremo come applicare questa formula per calcolare a mano, senza usare una calcolatrice, i logaritmi in maniera approssimata. Dapprima calcoleremo i logaritmi in base $10$ a mano, poi passeremo ai logaritmi in base arbitraria.

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