Equazioni logaritmiche

In questa lezione vedremo cosa sono le equazioni logaritmiche e quando è possibile risolverle.

Equazioni logaritmiche elementari

Definizione

Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita appare nell'argomento di almeno un logaritmo.

In generale, le equazioni logaritmiche sono equazioni trascendentali. Esse possono essere di varia forma e non esiste un metodo generale per risolverle analiticamente. Tuttavia, in questa lezione ci occuperemo di equazioni logaritmiche in alcune forme particolari per cui esistono metodi di risoluzione.

La più semplice forma è quella di una equazione logaritmica elementare:

Definizione

Un'equazione logaritmica elementare è un'equazione nella forma:

\log_{a} A(x) = b

Dove $b \in \mathbb{R}$ è un numero reale, mentre $A(x)$ è una funzione a valori reali nell'incognita reale $x$ :

A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

Per poter risolvere questo tipo di equazioni bisogna imporre dapprima il vincolo di esistenza del logaritmo. In particolare dobbiamo imporre $A(x) > 0$ affinché l'espressione $\log_{a} A(x)$ abbia senso.

Fatto questo, risolviamo l'equazione applicando la definizione di logaritmo e riconducendo l'equazione alla scrittura seguente:

\log_{a} A(x) = b \rightarrow A(x) = a^b

Risolta l'equazione di sopra, se la soluzione (o le soluzioni) trovata per la $x$ soddisfa anche il vincolo $A(x) > 0$ allora essa è una soluzione ammissibile.

Ricapitolando, per risolvere un'equazione logaritmica elementare $\log_{a} A(x) = b$ bisogna risolvere il sistema:

\begin{cases} A(x) &gt; 0 \\ A(x) = a^b \end{cases}

Esempio di equazione logaritmica elementare

Adesso proviamo a risolvere un'equazione logaritmica elementare:

2 \cdot \log_{5} (x - 2) = 3

Per prima cosa, imponiamo che l'argomento del logaritmo sia maggiore di $0$ , per cui:

x - 2 &gt; 0 \rightarrow x &gt; 2

Quindi l'eventuale soluzione deve essere maggiore di $2$ per essere ammissibile. Adesso trasformiamo l'equazione in questo modo:

\log_{5} (x - 2) = \frac{3}{2}

Dopodichè, applichiamo la definizione di logaritmo:

x - 2 = 5 ^ {\frac{3}{2}} \rightarrow x = \sqrt{125} + 2 \rightarrow x \approx 13.18034

La soluzione appena trovata è maggiore di $2$ per cui è una soluzione ammissibile.

Equazioni logaritmiche con base uguale

Una seconda forma di equazione logaritmica facilmente risolvibile è quella con logaritmi con base identica:

Definizione

Un'equazione logaritmica con logaritmi nella stessa base è un'equazione riconducibile alla forma:

\log_{a} A(x) = \log_{a} B(x)

dove i logaritmi hanno la stessa base $a$ e le espressioni $A(x)$ e $B(x)$ sono due funzioni a valori reali nell'incognita reale $x$ :

A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad B: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

Per poter risolvere un'equazione di questo tipo bisogna tener presente due cose:

Dobbiamo imporre dei vincoli su $A(x)$ e $B(x)$ affinchè le due espressioni $\log_{a} A(x)$ e $\log_{a} B(x)$ abbiano senso. In particolare dobbiamo imporre sia che $A(x) > 0$ e che $B(x) > 0$ .
Imposti i vincoli di esistenza, applichiamo la condizione di uguaglianza dei logaritmi. In particolare, affinchè $\log_{a} A(X)$ sia uguale a $\log_{a} B(x)$ gli argomenti dei due logaritmi devono essere uguali. Per cui dobbiamo risolvere l'equazione $A(x) = B(x)$ .

Ricapitolando, per risolvere l'equazione descritta prima, dobbiamo risolvere il seguente sistema:

\begin{cases} A(x) &gt; 0 \\ B(x) &gt; 0 \\ A(x) = B(x) \end{cases}

Esempio di equazione logaritmica con logaritmi nella stessa base

Proviamo a risolvere la seguente equazione:

\log_{10} (x) + \log_{10} (x + 2) = \log_{10} (3)

Per prima cosa osserviamo gli argomenti dei vari logaritmi in cui compare l'incognita $x$ . Prima di passare a risolvere l'equazione dobbiamo imporre dei vincoli per garantire l'esistenza dei logaritmi, per cui:

Per il primo logaritmo dobbiamo imporre: $x > 0$ .
Per il secondo logaritmo dobbiamo imporre: $x + 2 > 0 \rightarrow x > -2$ .

Di conseguenza, unendo i due vincoli, abbiamo che i risultati dell'equazione devono soddisfare il vincolo $x > 0$ .

Passiamo a questo punto a risolvere l'equazione vera e propria. Per prima cosa sfruttiamo la proprietà dei logaritmi applicati ad un prodotto:

\log_{10} (x) + \log_{10} (x + 2) = \log_{10} (3) \rightarrow \log_{10} \left( x \cdot (x+2) \right) = \log_{10} (3)

Abbiamo ricondotto l'equazione alla forma $\log_{a} A(x) = \log_{a} B(x)$ . Adesso imponiamo che i due argomenti siano uguali:

x \cdot (x + 2) = 3 \rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0

Per concludere risolviamo l'equazione di secondo grado appena trovata:

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-3)}}{2}

Da cui otteniamo le due possibili soluzioni:

x_1 = -3, \quad x_2 = 1

Tuttavia, $x_1 = -3$ non soddisfa il vincolo di esistenza trovato all'inizio, per cui non è una soluzione ammissibile. Ne consegue che l'equazione dell'esempio ammette una sola soluzione:

x = 1

Ricapitolando

In questa lezione abbiamo definito le equazioni logaritmiche e abbiamo visto il modo con cui risolvere le equazioni nella forma elementare:

\log_{a} A(x) = b

e nella forma:

\log_{a} A(x) = \log_{a} B(x)

Nella prossima lezione vedremo un'altra forma di equazioni logaritmiche che è possibile risolvere con il metodo di sostituzione.

Esercizi Base

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