Equazioni logaritmiche con il metodo di sostituzione

In questa lezione vediamo come risolvere un altro caso particolare di equazioni logaritmiche utilizzando il metodo di sostituzione.

Metodo di sostituzione

Nella lezione precedente abbiamo visto cosa sono le equazioni logaritmiche. Abbiamo visto che non esiste un metodo generico per risolverle. Tuttavia, quando si presentano in forme particolari è possibile usare delle tecniche ad-hoc per ottenere la soluzione.

In questa lezione vedremo il metodo di sostituzione che si applica alle equazioni logaritmiche con base e argomento uguali.

Definizione

Un'equazione logaritmica con base e argomento uguali è un'equazione in cui i logaritmi si presentano sempre nella stessa forma e con la stessa base:

F\left(\log_{a} A(x)\right) = G\left(\log_{a} A(x)\right)

dove $a \in \mathbb{R}$ e $A(x)$ , $F(x)$ e $G(x)$ sono funzioni a valori reali nell'incognita reale $x$ :

A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

Per risolvere un'equazione di questo tipo bisogna seguire i seguenti passaggi:

Bisogna imporre il vincolo di esistenza del logaritmo: $A(x) > 0$ .
A questo punto sostituiamo il logaritmo con una variabile ausiliaria. In pratica si impone l'eguaglianza $\log_ {a} A(x) = t$ e si sostituisce $t$ nell'equazione che diventa:

F(t) = G(t)

Si risolve l'equazione di sopra ottenendo una o più soluzioni per la variabile $t$ : $t = t_1, \dots, t_n$ .
Per ognuna delle soluzioni di $t$ trovate si sostituisce alla variabile $t$ l'espressione originaria ottenendo una o più equazioni logaritmiche elementari:

\begin{equation} \begin{aligned} \log_{a} A(x) &amp;= t_1 &amp;\rightarrow A(x) &amp;= a^{t_1} \\ \log_{a} A(x) &amp;= t_2 &amp;\rightarrow A(x) &amp;= a^{t_2} \\ \dots \\ \log_{a} A(x) &amp;= t_n &amp;\rightarrow A(x) &amp;= a^{t_n} \end{aligned} \end{equation}

Risolvendo ognuna di esse, si ottengono altrettante soluzioni per $x$ : $x_1, \dots, x_n$ .
Infine, si scremano le soluzioni ammissibili da quelle non ammissibili applicando ad esse il vincolo di esistenza trovato al primo passaggio.

Esempio

Per chiarire le idee, proviamo a risolvere la seguente equazione:

\left( \log_{2} (x + 5) \right) ^ 2 - 7 \cdot \log_{2} (x + 5) = - 10

Si può osservare facilmente che questa equazione presenta logaritmi nella stessa base, $2$ , e con lo stesso argomento $(x + 5)$ , per cui può essere risolta con il metodo di sostituzione.

Proviamo a seguire i passaggi descritti sopra. Per prima cosa si impone il vincolo di esistenza del logaritmo, $A(x) > 0$ . Nel nostro caso $A(x) = x + 5$ , per cui:

x + 5 &gt; 0 \quad \rightarrow \quad x &gt; -5

Quindi, le soluzioni che troveremo alla fine dovranno soddisfare il vincolo appena trovato.

A questo punto imponiamo l'uguaglianza:

\log_{2} (x + 5) = t

e sostituiamo la variabile $t$ nell'equazione originale:

t^2 - 7 \cdot t = -10 \quad \rightarrow \quad t^2 - 7 \cdot t + 10 = 0

L'equazione così espressa è una semplice equazione di secondo grado le cui soluzioni sono:

t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} \quad \rightarrow \quad t_1 = 2, \quad t_2 = 5

Dal risultato appena ottenuto, ricaviamo due equazioni logaritmiche elementari:

\begin{aligned} \log_{2} (x + 5) &amp;= 2\\ \log_{2} (x + 5) &amp;= 5 \end{aligned}

Applicando la definizione di logaritmo, otteniamo:

\begin{aligned} (x + 5) &amp;= 2^2 \rightarrow x + 5 = 4 \rightarrow x_1 = -1\\ (x + 5) &amp;= 2^5 \rightarrow x + 5 = 32 \rightarrow x_2 = 27 \end{aligned}

Le due soluzioni appena trovate, $-1$ e $27$ , sono maggiori di $-5$ per cui soddisfano il vincolo di esistenza e sono entrambe ammissibili.

Riepilogo

In questa lezione abbiamo visto un altro metodo per risolvere un caso particolare di equazione logaritmica: il metodo di sostituzione. Esso si applica al caso in cui i logaritmi che appaiono nell'equazione hanno stessa base e identico argomento, per cui l'equazione può essere riscritta sostituendo al logaritmo una variabile di supporto.

Lezione Precedente Indice del capitolo