Equazioni esponenziali

Un'equazione esponenziale è una qualunque equazione che contiene almeno una potenza dove nell'esponente appare l'incognita.

Definizione

Definizione

Equazione Esponenziale

In generale, un'equazione con l'incognita $x \in \mathbb{R}$ è esponenziale se tale incognita appare nell'esponente di almeno una potenza.

In base a questa definizione, un'esempio di equazione esponenziale è il seguente:

3^x = 27

Mentre la seguente non è un'equazione esponenziale:

x ^ {\sqrt{2}} = 16

Le equazioni esponenziali sono equazioni trascendenti in quanto non sono riconducibili a equazioni polinomiali o algebriche. Per questo motivo non esiste un metodo generale di risoluzione, ma è possibile risolverle analiticamente in alcuni casi.

Equazioni esponenziali elementari

Definizione

Un'equazione esponenziale elementare è un'equazione nella forma:

a^x = b

Dove $a \in \mathbb{R}$ , $a > 0$ e $b \in \mathbb{R}$ sono due numeri reali.

Proviamo ad esaminare questo tipo di equazioni:

In primo luogo abbiamo imposto che $a > 0$ altrimenti la potenza non sarebbe definita.
Escludiamo il caso in cui $a=1$ . In tal caso, infatti, l'equazione avrebbe senso solo se $b = 1$ e, in tal caso, avrebbe infinite soluzioni dato che $1$ elevato a qualunque numero reale dà come risultato sempre $1$ .

Detto questo, dobbiamo discriminare due casi:

Se $b \leq 0$ l'equazione è impossibile e non ha soluzione in quanto nessuna $x \in \mathbb{R}$ usata come esponente di $a$ dà come risultato un numero minore o uguale di zero.
Se $b > 0$ , invece, l'equazione ha una e una sola soluzione. Infatti, dato che la funzione esponenziale è biunivoca, ne risulta che fissato $b > 0$ ne consegue che:

\exists ! x \in \mathbb{R}: \quad a^x = b

In generale, per risolvere questo tipo di equazioni elementari abbiamo bisogno dei logaritmi che affronteremo in una prossima lezione. Nel frattempo, senza conoscere i logaritmi, possiamo cercare di risolvere equazioni esponenziali elementari cercando di riportare $b$ ad una potenza di $a$ . Chiariamo con un esempio:

3^{2 \cdot x} = 27

Questa equazione elementare può essere risolta notando che $27 = 3^3$ . Per cui può essere riscritta come:

3^{2 \cdot x} = 3^3

Affinché due potenze siano uguali anche gli esponenti devono essere uguali, per cui imponiamo che:

2 \cdot x = 3 \quad \rightarrow \quad x = \frac{3}{2}

e l'equazione è risolta.

Più avanti, quando studieremo i logaritmi, vedremo altre tecniche per risolvere le equazioni esponenziali.

In sintesi

In questa lezione abbiamo definito le equazioni esponenziali e abbiamo visto quale sia la forma più elementare di equazione esponenziale che siamo in grado, con ciò che abbiamo studiato sinora, di risolvere. Più avanti, quando studieremo anche i logaritmi, vedremo altre tecniche di risoluzione.

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