Funzioni iniettive

Una funzione $f$ è una relazione tra due insiemi, un insieme di partenza, $A$ , e un insieme di arrivo $B$ .

In generale una funzione associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B: $\forall a \in A \quad \exists ! b \in B: f(a) = b$ .

In tal caso, $b$ prende il nome di immagine di $a$ . Tuttavia, non è detto che l'intero insieme B sia coperto dalla funzione $f$ . Ossia non è detto che il codominio di $f$ sia uguale a B.

L'iniettività è una proprietà delle funzioni che riguarda il modo in cui esse associano gli elementi del dominio alle loro immagini. Una funzione iniettiva è una funzione per cui gli elementi di $B$ che sono immagini di elementi di $A$ lo sono di al più un solo elemento del dominio.

La proprietà di iniettività è una proprietà generale delle funzioni. In questa lezione, tuttavia, ci concentreremo sulle funzioni reali, ossia sulle funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ .

Definizione

Definizione

Funzione iniettiva

Data una funzione:

f: A \rightarrow B

La funzione $f$ si dice iniettiva se ogni elemento $b \in B$ è l'immagine di al più un solo elemento $a \in A$ :

\nexists a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2: f(a_1) = f(a_2)

Non esistono due elementi distinti appartenenti ad $A$ , $a_1$ e $a_2$ , tali che $f(a_1) = f(a_2)$ .

Lo stesso concetto può essere riscritto come:

\forall a_1, a_2 \in A: f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2

Ossia, presi due elementi di $A$ , $a_1$ e $a_2$ , tali per cui $f(a_1) = f(a_2)$ , ne consegue che essi sono uguali: $a_1 = a_2$ .

La chiave della definizione di funzione iniettiva sta nell'espressione "al più". Infatti, con questo si intende che possono esistere elementi di $B$ che non sono immagini di elementi di $A$ ; tuttavia, non vi sono elementi di $B$ che sono immagini di più di un elemento di $A$ .

In soldoni, se una funzione è iniettiva significa che:

A due elementi distinti del dominio della funzione $f$ corrisponderanno sempre due elementi distinti del suo codominio.
Non è necessario che l'insieme di arrivo $B$ coincida con il codominio della funzione $f$ .

Per meglio chiarire il concetto possiamo osservare la figura seguente:

Come è possibile osservare, ad ogni elemento dell'insieme di $A$ è associato uno e un solo elemento dell'insieme $B$ . Tuttavia vi sono alcuni elementi di $B$ , evidenziati in rosso, che non sono immagini di elementi di $A$ .

Esempio di funzione iniettiva

Un esempio di funzione iniettiva è la funzione:

f(x) = 3 \cdot x + 2

Per dimostrarlo, assegniamo un valore arbitrario alla funzione che chiameremo $y_0$ . Proviamo a trovare quei valori di $x$ che, assegnati alla funzione, danno come valore $y_0$ :

y_0 = 3 \cdot x + 2 \quad \rightarrow \quad x = \frac{y_0}{3} - 2

Quindi, $y_0$ è immagine di un un solo valore di $x$ . Se esistesse un valore $x_1$ che restituisce come risultato $y_0$ ne consegue che esso deve essere necessariamente uguale al valore $x$ trovato sopra.

**Figura 2:** Esempio di funzione iniettiva

Anche graficamente possiamo riconoscere che questa è una funzione iniettiva. Basta notare, infatti, che tracciando una linea orizzontale sul grafico, quest'ultima interseca la nostra funzione in un unico punto. Tracciare una riga orizzontale significa, sostanzialmente, fissare un valore di $y$ , che nella figura precedente è indicato con $y_0$ .

Esempio di funzione non iniettiva

Un esempio di funzione non iniettiva è la seguente:

f(x) = x^2 - 2

Seguendo lo stesso procedimento di prima, scegliamo un valore di $y$ e troviamo la $x$ di cui esso è immagine. Poniamo, ad esempio, $y_0 = 2$ . Sostituiamo questo valore ad $f(x)$ e risolviamo l'equazione:

2 = x^2 - 2 \rightarrow 4 = x^2 \rightarrow x = \pm 2

In altre parole, esistono due valori di $x$ che danno come risultato $2$ : $x'_0 = -2$ e $x''_0 = 2$ . Motivo per cui la funzione non è iniettiva.

Questo risultato lo si può dimostrare anche graficamente, come nel caso precedente:

**Figura 3:** Esempio di funzione non iniettiva

Tracciando una linea orizzontale e, quindi, fissando un valore di $y$ , essa intersecherà la nostra funzione in due punti distinti a cui corrispondono due valori distinti di $x$ . Motivo per cui la funzione non è iniettiva.

Metodi di verifica

In generale, come abbiamo visto negli esempi, esistono due modi per verificare che una funzione assegnata non sia iniettiva:

Metodo Algebrico: Basta trovare due (o più) valori $x_1$ e $x_2$ appartenenti al dominio della funzione tali per cui il valore della funzione sia uguale, ossia $f(x_1) = f(x_2)$ .
Metodo Grafico: Tracciando sul grafico della funzione una retta parallela all'asse delle ascisse, basta verificare che essa intersechi il grafico della funzione in esame in due o più punti.

In sintesi

In questa lezione abbiamo visto il concetto di funzioni iniettive, una categoria di funzioni per le quali ogni valore del codominio è immagine di uno e un solo valore del dominio.

Nella prossima lezione vedremo una categoria ortogonale a quella delle funzioni iniettive: le funzioni suriettive.

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