Funzioni suriettive

Una funzione è una relazione tra un insieme di partenza, $A$ , e un insieme di arrivo $B$ che associa uno e un solo elemento di $B$ ad ogni elemento di $A$ . Se, inoltre, ogni elemento di $B$ è immagine di almeno un elemento di $A$ la funzione si dice Suriettiva.

Definizione

Definizione

Funzione suriettiva

Data una funzione:

f: A \rightarrow B

La funzione $f$ si dice suriettiva se ogni elemento $b \in B$ è l'immagine di almeno un elemento $a \in A$ :

\forall b \in B \quad \exists a \in A: f(a) = b

In altri termini, preso un qualunque elemento $b \in B$ esisterà sempre almeno un elemento di $A$ tale per cui $b$ è sua immagine.

La chiave della definizione di funzione iniettiva sta nell'espressione "almeno". In sostanza si sta dicendo che ad un elemento $b$ di $B$ possono corrispondere più di un elemento di $A$ , tuttavia $B$ corrisponde all'intero codominio della funzione.

Ovviamente il fatto che una certa funzione sia suriettiva o meno dipende da come scegliamo l'insieme di arrivo $B$ . Ad esempio, se scegliamo la funzione reale:

f(x) = x^2

essa potrà essere o meno suriettiva a seconda di come definiamo l'insieme di arrivo $B$ . Se, infatti, poniamo $B = \mathbb{R}$ , ossia $B$ coincide con l'intero insieme dei numeri reali, la funzione non sarà suriettiva in quanto nessun numero negativo è il quadrato di un numero reale. Invece, se limitiamo $B = \mathbb{R}^{+}_{0}$ , ossia facciamo coincidere $B$ con l'insieme dei numeri reali, incluso lo $0$ , allora la funzione è suriettiva, in quanto $B$ coincide esattamente con il suo codominio.

In generale, tuttavia, è bene tenere presente che quando si parla di funzioni suriettive, di solito, si sottintende che l'insieme di arrivo $B$ coincida con $\mathbb{R}$ quando non specificato. Per cui, quando si dice che una funzione non è suriettiva, significa, in soldoni, che il suo codominio non coincide con l'insieme dei numeri reali.

Per meglio chiarire il concetto possiamo osservare la figura seguente:

Come è possibile osservare, tutti gli elementi di $B$ sono immagini di almeno un elemento di $A$ . In qualche caso un elemento di $B$ è immagine di un solo elemento, in altri casi è immagine di più di un elemento. In ogni caso, tuttavia, gli elementi di $B$ sono sempre immagini di un elemento di $A$ per cui $B$ coincide con il codominio della funzione

In sintesi

In questa lezione abbiamo visto il concetto di funzioni suriettive, una categoria di funzioni per le quali l'insieme di arrivo coincide con il codominio della funzione.

Nella prossima lezione fonderemo insieme i due concetti introducendo le funzioni biunivoche.

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