Misura degli angoli in Gradi
Misurare un angolo significa assegnare un valore numerico tale che ne identifichi l'ampiezza.
Storicamente i primi a introdurre una misurazione degli angoli furono i Babilonesi che oltre 4000 anni fa inventarono il grado sessagesimale. Un grado rappresenta la trecentosessantesima parte di un angolo giro.
Per misurare frazioni più piccole di un grado si utilizzano primi e secondi. Infatti, un primo è un sessantesimo di grado, mentre un secondo è un sessantesimo di primo.
Questa lezione rappresenta il punto di partenza nello studio della goniometria e della trigonometria. Vedremo come misurare gli angoli in gradi sessagesimali e come convertirli in forma normale.
Misura degli angoli in Gradi
Il più antico sistema di misura degli angoli risale agli antichi Babilonesi (circa 2000 a.c.). Diversamente da noi, che utilizziamo un sistema di numerazione decimale, cioè in base 10, i babilonesi usavano un sistema di numerazione Sessagesimale ossia in base 60.
Nel calendario babilonese, ad esempio, l'anno solare veniva suddiviso in 360 giorni che è un multiplo di 60. Allo stesso modo suddividevano l'angolo giro in 360 gradi.
Sebbene oggi non utilizziamo un sistema numerico sessagesimale, è rimasta comunque in uso la misura degli angoli in gradi.
Un grado sessagesimale è definito come la
A sua volta un grado è composto da 60 primi indicati attraverso un apice:
Analogamente un primo è suddiviso in 60 secondi d'angolo indicati attraverso due apici:
Sono proprio queste suddivisioni successive in 60 parti che danno il nome al sistema di misura.
Prendiamo, ad esempio, un angolo
Angolo espresso in Gradi Sessagesimali
Un'angolo è espresso in Gradi Sessagesimali quando è espresso come una terna di numeri:
Dove:
- Il primo numero,
, rappresenta i gradi ed un grado è la trecentosessantesima parte di un angolo giro; - Il secondo numero,
, rappresenta i primi dove un primo è la sessantesima parte di un grado; - Il terzo numero,
, rappresenta i secondi dove un secondo è la sessantesima parte di un primo.
Forma normale di un angolo
Abbiamo visto che un angolo in gradi sessagesimali è espresso da una terna di numeri.
Un possibile esempio è il seguente:
Dove abbiamo
Un altro esempio è il seguente:
In questo caso abbiamo
Da ciò ne ricaviamo che il numero di primi non è 92 ma 93. Quindi possiamo riscrivere l'angolo come:
Analogamente, il numero di primi è maggiore di 60 e poiché 60 primi equivalgono ad un grado possiamo riscrivere i primi come:
Quindi 93 primi sono pari ad un grado e 33 primi. L'angolo, pertanto non misura
I due angoli sono uguali, soltanto che abbiamo riscritto il primo in maniera tale che il numero di primi e di secondi non superi il valore di 60. In altre parole, abbiamo riportato l'angolo in Forma Normale:
Forma Normale di un Angolo espresso in Gradi
Un angolo espresso in gradi sessagesimali:
si dice che è in Forma Normale se vengono rispettate le seguenti condizioni:
- Il numero di gradi è un numero intero:
; - Il numero di primi è un numero intero compreso tra
e : ; - Il numero di secondi è un numero reale compreso tra
incluso e escluso: .
In base a questa definizione l'angolo che segue è in forma normale:
Mentre quello che segue non è in forma normale:
Convertire un angolo in forma normale
Vediamo, adesso, come convertire un angolo espresso in gradi in forma normale.
Prendiamo un esempio:
In questo caso abbiamo che:
- Il numero di primi è maggiore di 59;
- Il numero di secondi non è compreso tra 0 e 60 escluso.
Vogliamo riportare questo angolo in forma normale.
Per prima cosa, dividiamo il numero di secondi per 60 ricavando quoziente e resto:
In questo caso abbiamo che il quoziente è pari a
Si applica lo stesso procedimento anche ai primi. Quindi si divide il numero di primi per 60 ricavando quoziente e resto:
Il resto è pari a
Procedimento di conversione di un angolo in forma normale
Per convertire un angolo espresso in gradi sessagesimali in forma normale bisogna seguire i seguenti passaggi:
- Se il numero di secondi è maggiore o uguale a 60, bisogna dividere tale numero per 60 e ricavare quoziente e resto. Il resto sarà il nuovo numero di secondi. Il quoziente deve essere sommato al numero di primi;
- Se il nuovo numero di primi è maggiore di 59, bisogna dividere tale numero per 60 e ricavare quoziente e resto. Il resto sarà il nuovo numero di primi. Il quoziente deve essere sommato al numero di gradi.
Operazioni tra angoli espressi in gradi
La misura in gradi sessagesimali, sebbene sia in uso da oltre quattromila anni, ha lo svantaggio di essere macchinosa da utilizzare. Sommare e sottrarre due angoli espressi in gradi non è un'operazione banale.
Somma di due angoli espressi in gradi
Per capire come sommare due angoli espressi in gradi sessagesimali partiamo da un esempio per poi ricavare la regola generale.
Supponiamo di voler sommare due angoli
Per prima cosa dobbiamo sommare i secondi, per cui abbiamo che:
Il risultato che abbiamo ottenuto è di
Quindi abbiamo ottenuto 1 primo e 11 secondi. Questo primo in eccesso va usato come riporto nella somma dei primi.
Adesso dobbiamo sommare tra di loro i primi facendo attenzione, però, a sommare anche il riporto. Per cui l'operazione diventa:
Abbiamo ottenuto 66 primi. Anche in questo caso il risultato non può essere maggiore o uguale a 60. Per cui il risultato è composto da un grado ed un numero di primi pari a 60 meno il valore ottenuto:
Adesso possiamo sommare i gradi tenendo conto anche del riporto che abbiamo ottenuto sommando i primi. Per cui:
Il risultato finale sarà:
Come si può notare dall'esempio, sommare due angoli espressi in gradi sessagesimali è un'operazione non complessa ma abbastanza macchinosa. Il procedimento generale è il seguente:
Procedimento di somma di due angoli espressi in gradi
Dati due angoli espressi in gradi sessagesimali (gradi, primi e secondi) in forma normale:
Per calcolare l'angolo
bisogna:
- Sommare dapprima i secondi:
- Se il risultato è maggiore o uguale a
bisogna sottrarre al risultato e aggiungere successivamente 1 primo alla somma dei primi:
- Si sommano i primi (sommando eventualmente 1 in base al punto precedente):
- Se il risultato è maggiore o uguale a
bisogna sottrarre al risultato e aggiungere successivamente 1 grado alla somma dei gradi:
- Si sommano i gradi (sommando eventualmente 1 in base al punto precedente):
Differenza di due angoli espressi in gradi
Proviamo, adesso, a calcolare la differenza tra due angoli espressi in gradi. Usiamo gli stessi angoli dell'esempio precedente:
Supponiamo di voler sottrarre due angoli
Per prima cosa dobbiamo sottrarre i secondi, per cui abbiamo che:
Tuttavia, in questo caso il minuendo è minore del sottraendo:
Possiamo in questo caso prendere in prestito un primo e sommare
A questo punto dobbiamo sottrarre i primi ma anche in questo caso il minuendo è minore del sottraendo:
Infine possiamo sottrarre anche i gradi:
Il risultato finale sarà:
Misura di un angolo in Gradi decimali
Un metodo alternativo per misurare gli angoli sfruttando sempre i gradi è quello di usare i Gradi decimali.
In questo modo, piuttosto che esprimere un angolo come una terna di numeri, gradi, primi e secondi, si esprime l'angolo come un numero reale con tanto di parte frazionaria. Un grado sarà sempre la trecentosessantesima parte di un angolo giro, ma non si usano più primi e secondi ma numeri decimali con virgola.
Ad esempio, un angolo espresso in gradi decimali è il seguente:
Gradi decimali
Un grado decimale è un trecentosessantesimo dell'angolo giro dove però i sottomultipli sono espressi in forma decimale. Per cui un grado decimale è un numero reale.
Conversione da Gradi decimali a Gradi sessagesimali
Proviamo a convertire un angolo espresso in gradi decimali a gradi, primi e secondi.
Preso l'angolo:
vogliamo convertirlo in forma normale con gradi, primi e secondi.
Per prima cosa prendiamo la parte intera che rappresenterà il numero di gradi:
Poi prendiamo la parte frazionaria e la moltiplichiamo per 60:
Il risultato che abbiamo ottenuto è
Del risultato precedente prendiamo la parte frazionaria e la moltiplichiamo per 60:
Tale risultato rappresenta il numero di secondi:
Conversione da Gradi sessagesimali a Gradi decimali
Adesso proviamo, con un esempio, ad effettuare l'operazione inversa:
Preso l'angolo in forma normale:
vogliamo esprimerlo in gradi decimali.
Per prima cosa dividiamo i secondi per 60 ottenendo un numero reale minore di 1:
Questo numero rappresenta la parte frazionaria dei primi, per cui l'angolo diventa:
Adesso dividiamo il numero dei primi per 60 ottenendo un altro numero reale minore di 1:
Questo valore rappresenta la parte frazionaria dell'angolo. Per cui il risultato finale sarà:
In Sintesi
In questa lezione abbiamo visto che un angolo può essere espresso in gradi sessagesimali come una terna di numeri:
dove:
- Il primo numero rappresenta i gradi ed un grado è la trecentosessantesima parte di un angolo giro;
- Il secondo numero rappresenta i primi ed un primo è la sessantesima parte di un grado;
- Il terzo numero rappresenta i secondi ed un secondo è la sessantesima parte di un primo.
Usare la notazione sessagesimale rende le operazioni tra angoli abbastanza macchinose. Per questo motivo spesso si usano i gradi decimali dove i sottomultipli del grado sono rappresentati da numeri con virgola.
In ogni caso, per sopperire alle problematiche dovute all'uso dei gradi si utilizza un altro modo per misurare gli angoli che vedremo nella prossima lezione: i radianti.