Misura degli Angoli in Radianti

Misurare gli angoli in gradi sessagesimali, come abbiamo visto nella lezione precedente, ha la sua utilità in applicazioni di natura principalmente pratica.

In Matematica, Fisica ed Ingegneria conviene, invece, misurare gli angoli in un altro modo: in radianti.

In questa lezione vedremo come si misura un angolo in radianti e come convertire gli angoli misurati in gradi sessagesimali in radianti e viceversa.

I Radianti

Per poter definire il concetto di Radiante, consideriamo due circonferenze. La prima circonferenze ha centro nel punto $O$ e raggio $r$ , mentre la seconda ha centro in $O'$ e raggio $r'$ .

Adesso, prendiamo due angoli della stessa ampiezza, $\alpha$ , che hanno origine nei due centri $O$ e $O'$ . I lati di questi angoli intersecano le due circonferenze in due coppie di punti, $A$ e $B$ per la circonferenza di centro $O$ e $A'$ e $B'$ per la circonferenza di centro $O'$ . Il risultato è mostrato in figura:

**Figura 1:** Due Archi di Circonferenza sottesi dallo stesso angolo

Come si può osservare in figura, la coppia di punti $A$ e $B$ e la coppia $A'$ e $B'$ individuano due archi di circonferenza, rispettivamente $AB$ e $A'B'$ .

Poiché tra l'angolo al centro di una circonferenza e l'arco che esso determina esiste una relazione di proporzionalità, possiamo scrivere:

\frac{l}{\alpha^\circ} = \frac{2\pi r}{360^\circ}

Ossia, la lunghezza dell'arco $AB$ fratto la misura dell'angolo $\alpha$ in gradi è uguale alla lunghezza della circonferenza di raggio $r$ fratto 360°.

Lo stesso vale per il secondo arco $A'B'$ :

\frac{l'}{\alpha^\circ} = \frac{2\pi r'}{360^\circ}

Da queste due equazioni otteniamo:

l = \frac{\alpha^\circ \pi}{180^\circ} r \quad l' = \frac{\alpha^\circ \pi}{180^\circ} r'

Dividendo membro a membro otteniamo:

\frac{l}{l'} = \frac{r}{r'}

da cui:

\frac{l}{r} = \frac{l'}{r'}

In altre parole, gli archi sono proporzionali ai raggi delle circonferenze a cui appartengono. Inoltre il rapporto fra la lunghezza dell'arco ed il raggio della circonferenza non varia al variare del raggio ma dipende solo dall'ampiezza dell'angolo $\alpha$ .

La conseguenza è che se ogni volta che misuriamo un arco $l$ usiamo come unità di misura lo stesso raggio della circonferenza di appartenenza, otteniamo un numero che non dipende dalla specifica circonferenza ma solo dall'ampiezza dell'angolo $\alpha$ .

Quindi, all'inverso, possiamo usare questa misura di arco come misura dell'angolo che lo sottende. Questa misura prende il nome di misura in radianti:

\alpha = \frac{l}{r}

Possiamo, quindi, definire i radianti in questo modo:

Definizione

Radiante

Data una circonferenza, un Radiante è l'angolo al centro che sottende un arco di circonferenza la cui lunghezza è uguale al raggio della circonferenza stessa.

L'unità di misura dei radianti viene tipicamente indicata con $\text{rad}$ ma spesso si tende ad omettere l'indicazione dell'unità di misura e si indica semplicemente l'angolo in radianti con il valore:

\alpha = 2.3 \, \text{rad}

\alpha = 2.3

Misure di Angoli Notevoli

Proviamo, ora, a determinare la misura in radianti di alcuni angoli notevoli.

Per quanto riguarda l'angolo giro, ossia un angolo di 360°, abbiamo che esso descrive un arco che copre l'intera circonferenza, per cui:

\alpha_{giro} = \frac{l_{giro}}{r} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi

Un angolo piatto, invece, descrive una semicirconferenza, per cui esso sarà la metà di quello giro:

\alpha_{piatto} = \frac{l_{piatto}}{r} = \frac{\pi r}{r} = \pi

Un angolo retto è la metà di un angolo piatto, per cui:

\alpha_{retto} = \frac{l_{retto}}{r} = \frac{\pi r}{2r} = \frac{\pi}{2}

Infine, un angolo di 45° misura la metà di un angolo retto per cui:

\alpha_{45^\circ} = \frac{l_{45^\circ}}{r} = \frac{\pi r}{4r} = \frac{\pi}{4}

Ovviamente, un angolo nullo misurerà zero radianti.

Ricapitolando, abbiamo ottenuto:

**Tabella 1:** Misure in radianti di alcuni angoli
Angolo	Gradi	Radianti
nullo	$0^\circ$	$0$
retto	$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
piatto	$180^\circ$	$\pi$
giro	$360^\circ$	$2\pi$
45°	$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$

Da Gradi a Radianti e Viceversa

Abbiamo visto le misure di alcuni angoli notevoli in radianti. Ora ci domandiamo: come possiamo convertire un angolo misurato in gradi in radianti e viceversa?

Per farlo, basta considerare che ad un angolo giro corrispondono 360° e $2\pi$ radianti. Quindi, possiamo sfruttare questa informazione per ottenere la seguente proporzione:

\frac{\alpha^\circ}{360^\circ} = \frac{\alpha_{\text{rad}}}{2\pi}

Da cui otteniamo due formule di conversione:

Da gradi a radianti:

$\alpha_{\text{rad}} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
Da radianti a gradi:

$\alpha^\circ = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$

Da queste due formule possiamo ottenere la misura di qualsiasi angolo in gradi o in radianti.

Ad esempio, possiamo ricavare la misura in gradi di un radiante:

\alpha^\circ = 1 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ

Possiamo anche calcolare la misura in radianti di un grado:

\alpha_{\text{rad}} = 1 \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.0175

Nella figura e nella tabella che seguono sono riportate le misure di alcuni angoli notevoli sia in gradi che in radianti.

**Figura 3:** Misura in Radianti di alcuni Angoli Notevoli

**Tabella 2:** Misure in radianti di alcuni angoli notevoli
Gradi	Radianti
$0^\circ$	$0$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$
$135^\circ$	$\frac{3\pi}{4}$
$150^\circ$	$\frac{5\pi}{6}$
$180^\circ$	$\pi$
$210^\circ$	$\frac{7\pi}{6}$
$225^\circ$	$\frac{5\pi}{4}$
$240^\circ$	$\frac{4\pi}{3}$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$300^\circ$	$\frac{5\pi}{3}$
$315^\circ$	$\frac{7\pi}{4}$
$330^\circ$	$\frac{11\pi}{6}$
$360^\circ$	$2\pi$

Definizione

Conversione tra Gradi e Radianti

Dato un angolo $\alpha$ espresso in gradi, la sua misura in radianti è data da:

\alpha_{\text{rad}} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}

Dato un angolo $\alpha$ espresso in radianti, la sua misura in gradi è data da:

\alpha^\circ = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}

Lunghezza di un arco di circonferenza

Il fatto che gli angoli possano essere misurati in radianti ha anche delle conseguenze pratiche. Infatti, se consideriamo un angolo $\alpha$ espresso in radianti, la lunghezza dell'arco di circonferenza che esso sottende può essere ricavata direttamente dalla definizione:

\alpha = \frac{l}{r} \quad \Rightarrow \quad l = \alpha \cdot r

Quindi, la lunghezza dell'arco di circonferenza è uguale al prodotto tra l'ampiezza dell'angolo in radianti e il raggio della circonferenza.

**Figura 4:** Lunghezza di un'arco di Circonferenza dato l'angolo in radianti e il raggio

Area di un settore circolare

Allo stesso modo, possiamo calcolare facilmente l'area di un settore circolare sotteso da un angolo $\alpha$ espresso in radianti.

Per ottenere la formula, basta esprimere la proporzione tra l'area del settore circolare e l'area dell'intera circonferenza:

\frac{A_{\text{settore}}}{A_{\text{circonferenza}}} = \frac{\alpha}{2\pi}

Da cui otteniamo:

A_{\text{settore}} = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot A_{\text{circonferenza}} = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\alpha}{2} r^2

Ma ricordando che:

\alpha = \frac{l}{r}

otteniamo:

A_{\text{settore}} = \frac{1}{2} lr

**Figura 5:** Area di un settore circolare dato l'angolo in radianti e il raggio

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto:

La definizione di radiante e la sua relazione con gli angoli in gradi.
La misura in radianti di alcuni angoli notevoli.
Le formule di conversione tra gradi e radianti.
La formula per calcolare la lunghezza di un arco di circonferenza sotteso da un angolo espresso in radianti.
La formula per calcolare l'area di un settore circolare sotteso da un angolo espresso in radianti.

A partire dalla definizione di radianti possiamo incominciare lo studio delle funzioni goniometriche.

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