Potenze con esponente reale

In questa lezione esamineremo gli esponenziali, ossia estenderemo il concetto di potenza di un numero reale al caso in cui l'esponente sia esso stesso un numero reale. Prima, però, ricapitoliamo sotto quali condizioni sono definite le potenze con esponente intero o razionale.

Potenze con esponente intero o razionale

Nelle precedenti lezioni abbiamo definito dapprima le potenze di un numero reale con esponente intero: $a^x \quad a \in \mathbb{R} \quad x \in \mathbb{Z}$ . Nella tabella seguente riportiamo le condizioni di esistenza per una potenza con esponente intero:

**Tabella 1:** Condizioni di esistenza delle potenze con esponente intero
Esponente intero	Condizioni di esistenza di $a^x$	Esempio
$x > 0$	$a^x$ esiste $\forall a \in \mathbb{R}$	$(-\sqrt{5})^4 = \sqrt{625} = 25$
$x = 0$	$a^x$ esiste solo se $a$ è diversa da $0$ ossia: $\forall a \in \mathbb{R} \wedge a \neq 0$	$\pi^0 = 1$
$x < 0$	$a^x$ esiste solo se $a$ è diversa da $0$ ossia: $\forall a \in \mathbb{R} \wedge a \neq 0$	$\left( - \frac{4}{3} \right)^{-2} = \left( - \frac{3}{4} \right) ^ 2 = \frac{9}{16}$

Nel caso in cui $x = 0$ la potenza esiste solo se $a \neq 0$ in quanto $0^0$ non ha senso e non si definisce. Nel caso in cui, invece, $x < 0$ , la potenza non si può definire per $a = 0$ in quanto accadrebbe che $0 ^ x = 1 / {0 ^ {-x}} = 1 / 0$ e avremmo, così, una divisione per $0$ che non è definita.

Sempre nelle lezioni precedenti abbiamo, poi, esteso il concetto di potenze al caso in cui l'esponente sia un numero razionale: $x \in \mathbb{Q}$ , ossia un numero esprimibile come frazione. In tal caso la potenza viene definita come:

a ^ {\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a ^ x}

Nella tabella seguente riportiamo le condizioni di esistenza per una potenza con esponente razionale:

**Tabella 2:** Condizioni di esistenza delle potenze con esponente razionale
Esponente razionale	Condizioni di esistenza di $a^x$	Esempio
$x > 0$	$a^x$ esiste $\forall a \in \mathbb{R}^+_0$ ossia per ogni $a \geq 0$	$6 ^ \frac{3}{4} = \sqrt[4]{6^3}$
$x = 0$	$a^x$ esiste solo se $a$ è diversa da $0$ ossia: $\forall a \in \mathbb{R} \wedge a \neq 0$	$\pi^0 = 1$
$x < 0$	$a^x$ esiste solo se $\forall a \in \mathbb{R}^+$ ossia per ogni $a > 0$	$\left( \sqrt{\pi} \right)^{-1/2} = \frac{1}{\left( \sqrt{\pi} \right)^2} = \frac{1}{\pi}$

Base negativa

Nelle tabelle riportate sopra si può vedere che introducendo l'esponente razionale la base non può essere negativa, a differenza del caso con esponente intero.

La motivazione sta nel fatto che non possiamo definire potenze con base negativa ed esponente razionale in quanto possono verificarsi casi non accettabili. Per capirlo, supponiamo di poter avere potenze con basi negative e partiamo dal numero $-64$ . Questo numero può essere riscritto come:

-64 = (-4) ^ 3

Ma sfruttando le proprietà delle potenze, possiamo riscrivere l'esponente come $3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2$ , per cui:

-64 = (-4) ^ 3 = \left( \left( \left( -4 \right) ^ 3 \right) ^ \frac{1}{2} \right) ^ 2 = \left( \left( \left( -4 \right) ^ 3 \right) ^ 2 \right) ^ \frac{1}{2} = \sqrt{(-4) ^ 6} = \sqrt{4 ^ 6} = 64

In pratica abbiamo ottenuto un risultato paradossale! Ottenendo, cioè, che $-64 = 64$ .

Per questo motivo, le potenze con base negativa possono essere definite solo se l'esponente è un numero intero.

Potenze con esponente reale

A questo punto passiamo a definire le potenze di un numero reale con esponente reale. Per poterlo fare, dobbiamo dapprima applicare gli stessi vincoli indicati sopra, ossia dobbiamo imporre che la base $a$ sia maggiore di $0$ .

Detto questo, ci domandiamo: ha senso parlare di potenza di un numero reale con esponente reale, ossia con esponente reale ma non razionale? Ad esempio, la scrittura $5 ^ \pi$ ha significato?

Partiamo dal numero reale $\pi$ . Sappiamo che è un numero irrazionale per cui valgono le seguenti affermazioni:

Non può essere espresso come una frazione tra due numeri interi.
La sua espansione decimale (in pratica il numero di cifre dopo la virgola) è infinita e non periodica

In particolare, partendo dalla seconda affermazione possiamo creare due successioni infinite di numeri decimali finiti, cioè due successioni di numeri razionali. Creiamo queste due successioni in maniera tale che gli elementi che le compongono approssimano $\pi$ , rispettivamente, per difetto e per eccesso con un numero crescente di cifre decimali dopo la virgola:

Successione di approssimazioni per difetto:

\left\{ d_n \right\} = \left\{3.1, \quad 3.14, \quad 3.141, \quad 3.1415, \quad 3.14159, \quad 3.141592, \quad \dots \right\}

Successione di approssimazioni per eccesso:

\left\{ e_n \right\} = \left\{3.2, \quad 3.15, \quad 3.142, \quad 3.1416, \quad 3.14160, \quad 3.141593, \quad \dots \right\}

Per come sono costruite queste due successioni possiamo affermare che:

\forall x \in \left\{ d_n \right\}, y \in \left\{ e_n \right\} \quad x &lt; y

Ossia, tutti gli elementi di $\left\{ d_n \right\}$ sono inferiori a tutti gli elementi di $\left\{ e_n \right\}$ .

La successione $\left\{ d_n \right\}$ è crescente, ossia gli elementi successivi sono maggiori dei precedenti.
La successione $\left\{ e_n \right\}$ è decrescente, ossia gli elementi successivi sono minori dei precedenti.

Adesso, a partire dalle due successioni definite sopra, definiamo due nuove successioni. Esse sono composte dalle potenze aventi come base il numero $5$ e come esponenti razionali i numeri appartenenti alle due successioni di approssimazioni di $\pi$ per difetto e per eccesso. In questo modo otteniamo:

Successione con esponenti approssimati per difetto:

\left\{ a_n \right\} = \left\{5^{3.1}, \quad 5^{3.14}, \quad 5^{3.141}, \quad 5^{3.1415}, \quad 5^{3.14159}, \quad 5^{3.141592}, \quad \dots \right\}

Successione con esponenti approssimati per eccesso:

\left\{ b_n \right\} = \left\{5^{3.2}, \quad 5^{3.15}, \quad 5^{3.142}, \quad 5^{3.1416}, \quad 5^{3.14160}, \quad 5^{3.141593}, \quad \dots \right\}

Anche per queste due successioni possiamo affermare che tutti gli elementi di $\left\{ a_n \right\}$ sono minori di $\left\{ b_n \right\}$ . Anzi, si può dimostrare che esiste uno e un solo numero reale che è contemporaneamente maggiore di tutti gli elementi di $\left\{ a_n \right\}$ e minore di tutti gli elementi di $\left\{ b_n \right\}$ . Indichiamo questo numero con $5^\pi$ ed esso rappresenta il risultato ricercato:

5^{3.1} &lt; 5^{3.14} &lt; 5^{3.141} &lt; \dots &lt; 5^\pi &lt; \dots &lt; 5^{3.142} &lt; 5^{3.15} &lt; 5^{3.2}

Ovviamente, $5^\pi$ è anch'esso un numero irrazionale quindi non è esprimibile come una frazione e la sua espansione decimale è infinita non periodica.

Possiamo osservare questo risultato anche graficamente. Infatti, se disegnamo sulla retta dei numeri reali i punti corrispondenti alla successione $\left\{ a_n \right\}$ (nella figura evidenziati in blu) composta dalle potenze di $5$ elevato alle approssimazioni per difetto di $\pi$ , vediamo che, al crescere dell'indice, essi si avvicinano da sinistra al punto $5^\pi$ in rosso. Analogamente, i punti (evidenziati in verde) della successione $\left\{ b_n \right\}$ composta dalle potenze di $5$ elevato alle approssimazioni per eccesso di $\pi$ , si avvicinano da destra al punto $5^\pi$ al crescere dell'indice.

**Figura 1:** Rappresentazione grafica della potenza di 5 elevato a pi greco

Questo esempio, appena illustrato, ci consente di definire le potenze con esponente reale.

Definizione di potenza di un numero reale con esponente reale

Definizione

La potenza di un numero reale $a > 1$ con esponente reale $x \in \mathbb{R}$ è quell'unico numero reale, indicato come $a^x$ tale che:

è maggiore di tutte le potenze di $a$ con esponenti razionali tali che approssimano per difetto il numero $x$ ;
è minore di tutte le potenze di $a$ con esponenti razionali tali che approssimano per eccesso il numero $x$ .

Da notare che abbiamo imposto che $a > 1$ . Infatti, se la base è compresa tra $0$ e $1$ la definizione va modificata.

In tal caso bisogna tenere conto che, avendo la base compresa tra $0$ e $1$ , il valore delle potenze al crescere dell'esponente tende a decrescere. Ad esempio, se al posto di $5^\pi$ , nell'esempio precedente, ci fosse stato $\left(\frac{1}{5}\right)^5$ la sucessione $\left\{ a_n \right\}$ composta dalle potenze con approssimazioni per difetto come esponente tende a decrescere:

\left(\frac{1}{5}\right)^{3.1} &gt; \left(\frac{1}{5}\right)^{3.14} &gt; \left(\frac{1}{5}\right)^{3.141} &gt; \left(\frac{1}{5}\right)^{3.1415} &gt; \left(\frac{1}{5}\right)^{3.14159} &gt; \left(\frac{1}{5}\right)^{3.141592} &gt; \dots

Analogamente, la successione $\left\{ b_n \right\}$ tende a crescere. Inoltre, in questo caso, il valore ricercato $\left(\frac{1}{5}\right)^5$ risulta maggiore di tutti gli elementi di $\left\{ b_n \right\}$ e minore di tutti gli elementi di $\left\{ a_n \right\}$ , in maniera opposta a quanto succedeva nell'esempio.

Per questo motivo, nel caso in cui la base $a$ è compresa tra $0$ e $1$ si modifica la definizione:

Definizione

La potenza di un numero reale $0 < a < 1$ con esponente reale $x \in \mathbb{R}$ è quell'unico numero reale, indicato come $a^x$ tale che:

è maggiore di tutte le potenze di $a$ con esponenti razionali tali che approssimano per eccesso il numero $x$ ;
è minore di tutte le potenze di $a$ con esponenti razionali tali che approssimano per difetto il numero $x$ .

Definizione dei casi particolari

Si definiscono, inoltre, alcuni casi particolari per le potenze con esponente reale:

$1 ^ x = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$ ;
$0 ^ x = 0 \quad \forall x > 0$ ;
$a ^ 0 = 1 \quad \forall a > 0$ ;
$a ^ {-x} = \left( \frac{1}{a} \right) ^ x = \frac{1}{a ^ x} \quad \forall a > 0, x > 0$ ;

Viceversa, non viene definita la potenza con esponente reale in questi casi:

Non si definisce la potenza con esponente reale se l'esponente $x$ e minore o uguale a $0$
Non si definisce la potenza con esponente reale se la base $a$ è un numero reale negativo.

A partire dalla definizione e dai vincoli imposti, essendo $a$ un numero sempre positivo il valore della potenza $a^x$ è sempre un numero positivo per qualunque esponente reale $x$ :

\forall a &gt; 0 \rightarrow a^x &gt; 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}

Riassumendo

In questa lezione abbiamo esteso il concetto di potenza di un numero reale al caso in cui l'esponente sia esso stesso un numero reale. Abbiamo visto sotto quali vincoli essa si definisce, in particolare si impone che la base $a$ deve essere un numero reale positivo.

Nella prossima lezione vedremo meglio quali sono le sue proprietà.

Indice del capitolo Lezione Successiva