Proprietà delle potenze con esponente reale

Nella lezione precedente abbiamo definito le Potenze di un numero reale con esponente reale. In particolar modo abbiamo visto sotto quali vincoli esse siano definite e lo abbiamo fatto estendendo il concetto di potenza di un numero reale con esponente intero o razionale.

Adesso, in questa lezione, vedremo che le cinque proprietà delle potenze già definite per il caso con esponente intero o razionale possono essere anch'esse estese al caso con esponente reale.

Proprietà delle potenze con esponente reale

Anche per le potenze con esponente reale si può dimostrare che le cinque proprietà valide per il caso con esponente intero o razionale continuano a valere.

Nella tabella di seguito riassumiamo le cinque proprietà, tenendo presente che:

a, b \in \mathbb{R}^+ \quad x, y \in \mathbb{R}

**Tabella 1:** Proprietà delle potenze con esponente reale
Proprietà	Definizione	Esempio
1. Prodotto di potenze con base uguale	$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$	$5^\pi \cdot 5^\pi = 5^{2\cdot\pi}$
2. Quoziente di potenze con base uguale	$a^x / a^y = a^{x-y}$	$4^{2.7} / 4^{3.7} = 4^{2.7 - 3.7} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$
3. Potenza di potenza	$(a^x)^y = a ^ {x \cdot y}$	$(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 5^2 = 25$
4. Prodotto di potenze con esponente uguale	$a^x \cdot b^x = \left( a \cdot b \right) ^ x$	$5^\pi \cdot 4^\pi = (5 \cdot 4)^\pi$
5. Quoziente di potenze con esponente uguale	$\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$	$5^\pi / 4^\pi = \left( \frac{5}{4} \right) ^\pi$

Monotonicità della potenza con esponente reale

Un'altra importante proprietà della potenza con esponente reale è la sua monotonicità. In particolare, prendendo due esponente $x_1 \in \mathbb{R}$ e $x_2 \in \mathbb{R}$ tali che $x_1 < x_2$ abbiamo che:

Per una base $a > 0$ al crescere dell'esponente il valore della potenza $a^x$ cresce per cui:

a^{x_1} &lt; a^{x_2}

Viceversa, per una base $a$ compresa tra $0$ e $1$ , $0 < a < 1$ , al crescere dell'esponente il valore della potenza $a^x$ decresce per cui:

a^{x_1} &gt; a^{x_2}

Per comprendere meglio, consideriamo due esponenti: $3$ e $\pi$ . Dato che $3 < \pi$ risulta che:

3^3 &lt; 3^\pi

In quanto la base $3$ è maggiore di $1$ . Viceversa, risulta che:

\left(\frac{1}{3}\right)^3 &gt; \left(\frac{1}{3}\right)^\pi

in quanto la base $\frac{1}{3}$ è compresa tra $0$ e $1$ .

Riassumendo

In questa lezione abbiamo esteso le cinque proprietà delle potenze al caso in cui l'esponente è un numero reale qualsiasi. Abbiamo visto inoltre l'importante proprietà di monotonicità delle potenze con esponente reale.

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