Circuiti Equivalenti

Questa lezione esplora il concetto fondamentale di bipolo equivalente, mostrando come semplificare i circuiti grazie a sostituzioni mirate.

Viene evidenziato come resistori in serie o in parallelo possano essere sostituiti da un singolo componente senza alterare il comportamento elettrico. L'obiettivo è facilitare l'analisi dei circuiti, riducendo la complessità dei calcoli.

Bipoli Equivalenti

Spesso, nell'analisi dei circuiti, è utile semplificare i circuiti elettrici sostituendo un insieme di bipoli con un singolo bipolo equivalente.

Per comprendere come fare questo, dobbiamo prima definire cosa intendiamo per bipolo equivalente:

Definizione

Bipoli Equivalenti

Dati due bipoli, A e B, descritti ciascuno da una relazione caratteristica (o legge di funzionamento):

A: \quad v = f_A(i)

B: \quad v = f_B(i)

I due bipoli sono equivalenti se:

f_A(i) = f_B(i) \quad \forall i

Prendiamo la figura seguente:

In questa figura abbiamo lo stesso circuito, che abbiamo rappresentato come un indistinto ovale etichettato con $\mathcal{C}$ . A questo circuito sono collegati, nel primo caso, un bipolo $A$ e, nel secondo caso, un bipolo $B$ . I due bipoli sono collegati agli stessi nodi o morsetti $a$ e $b$ .

Se i due bipoli hanno la stessa relazione caratteristica, cioè se $f_A(i) = f_B(i)$ , la conseguenza è che le leggi di kirchoff applicate sia ai nodi $a$ e $b$ che alla maglia tra i bipoli ed il resto del circuito, producono le stesse equazioni.

L'ulteriore conseguenze è che nei due casi abbiamo le stesse soluzioni. In altre parole, tutte le tensioni e correnti che si calcolano nel circuito $\mathcal{C}$ rimangono invariate.

Quindi, i due bipoli $A$ e $B$ possono essere scambiati l'uno con l'altro senza alterare il comportamento del circuito $\mathcal{C}$ .

Questa proprietà prende il nome di Equivalenza dal punto di vista Esterno. Il termine esterno si riferisce al fatto che se andiamo a misurare le grandezze elettriche ai morsetti $a$ e $b$ , non possiamo distinguere tra i due bipoli.

Definizione

Equivalenza dal punto di vista Esterno

Preso un qualunque circuito $\mathcal{C}$ , se due bipoli $A$ e $B$ sono equivalenti, allora il circuito $\mathcal{C}$ rimane invariato se sostituiamo il bipolo $A$ con il bipolo $B$ alla condizione che i due bipoli siano collegati agli stessi morsetti $a$ e $b$ .

Resistori in Serie

Un'applicazione pratica dell'equivalenza dei bipoli è la sostituzione di più resistori in serie con un singolo resistore equivalente.

Consideriamo il circuito di esempio mostrato in figura:

**Figura 2:** Esempio di Resistori in Serie

In questo esempio, abbiamo una porzione di circuito non rappresentata che abbiamo indicato con $\mathcal{C}$ . Questa porzione di circuito è collegata, tramite due morsetti $a$ e $b$ , a tre resistori $R_1$ , $R_2$ e $R_3$ in serie. La corrente che scorre attraverso i tre resistori è la stessa, quindi possiamo scrivere:

i_1 = i_2 = i_3 = i

Applicando, invece, la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia $M$ , otteniamo:

v = v_1 + v_2 + v_3

Ora, sfruttando la legge di Ohm, possiamo scrivere:

v = R_1 \cdot i + R_2 \cdot i + R_3 \cdot i

Raccogliendo i termini a fattor comune otteniamo:

v = (R_1 + R_2 + R_3) \cdot i

Se poniamo:

R_s = R_1 + R_2 + R_3

possiamo scrivere:

v = R_s \cdot i

Ma questa non è altro che la legge di Ohm applicata ad un resistore equivalente che ha come valore di resistenza $R_s$ .

Per questo, possiamo affermare che i tre resistori $R_1$ , $R_2$ e $R_3$ sono equivalenti ad un singolo resistore $R_s$ che ha come valore di resistenza la somma delle resistenze dei tre resistori.

Se sostituiamo i tre resistori con il resistore equivalente $R_s$ , il circuito rimane invariato dal punto di vista esterno. Infatti, se andiamo a misurare le tensioni e le correnti ai morsetti $a$ e $b$ , non possiamo distinguere tra i tre resistori ed il resistore equivalente:

**Figura 3:** Resistore Equivalente ai Resistori in Serie

Il circuito $\mathcal{C}$ , dopo la sostituzione, è rimasto invariato. Infatti, la corrente che scorre nel circuito è sempre la stessa e la tensione ai morsetti $a$ e $b$ è sempre la stessa.

Per cui, possiamo dire che:

Definizione

Resistore Equivalente a Resistori in Serie

Dati $N$ resistori $R_1$ , $R_2$ , ..., $R_N$ posti in serie, essi possono essere sostituiti con un resistore equivalente $R_s$ che ha come valore di resistenza la somma delle resistenze dei resistori:

R_s = \sum_{k=1}^{N} R_k

Un importante dettaglio da notare è che la resistenza equivalente $R_s$ è sempre maggiore della resistenza di ciascun resistore posto in serie.

Resistori in Parallelo

Applichiamo lo stesso ragionamento per i resistori in parallelo. Consideriamo il circuito di esempio mostrato in figura:

Anche qui abbiamo una porzione di circuito non rappresentata che abbiamo indicato con $\mathcal{C}$ . Questa porzione di circuito è collegata, tramite due morsetti $a$ e $b$ , a tre resistori $R_1$ , $R_2$ e $R_3$ in parallelo. La tensione ai morsetti $a$ e $b$ è la stessa tensione presente ai morsetti di ciascun resistore, quindi possiamo scrivere:

v_1 = v_2 = v_3 = v

Applicando, invece, la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo $b$ , otteniamo:

i = i_1 + i_2 + i_3

Applicando nuovamente la legge di Ohm, possiamo scrivere:

i = G_1 \cdot v + G_2 \cdot v + G_3 \cdot v

Dove $G_k = \frac{1}{R_k}$ è la conduttanza del resistore $R_k$ .

Raccogliendo i termini a fattor comune otteniamo:

i = (G_1 + G_2 + G_3) \cdot v

Se poniamo:

G_p = G_1 + G_2 + G_3

possiamo scrivere:

i = G_p \cdot v

Ma questa non è altro che la legge di Ohm applicata ad un resistore equivalente che ha come valore di conduttanza $G_p$ .

Per questo, possiamo affermare che i tre resistori $R_1$ , $R_2$ e $R_3$ sono equivalenti ad un singolo resistore $R_p$ che ha come valore di conduttanza la somma delle conduttanze dei tre resistori.

In generale, quindi, possiamo dire che:

Definizione

Resistore Equivalente a Resistori in Parallelo

Dati $N$ resistori $R_1$ , $R_2$ , ..., $R_N$ posti in parallelo, essi possono essere sostituiti con un resistore equivalente $R_p$ che ha come valore di conduttanza la somma delle conduttanze dei resistori:

G_p = \sum_{k=1}^{N} G_k

La stessa equazione può essere scritta in termini di resistenza equivalente $R_p$ :

\frac{1}{R_p} = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{R_k}

Facciamo qualche osservazione:

Consiglio

La Resistenza Equivalente è sempre minore della Resistenza di ciascun resistore

La resistenza equivalente $R_p$ è sempre minore della resistenza di ciascun resistore posto in parallelo.

Nel caso in cui abbiamo solo due resistori in parallelo, possiamo scrivere:

\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

Da cui otteniamo:

R_p = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}

Da questa equazione possiamo notare che:

Se $R_1 \ll R_2$ , allora $R_p \approx R_1$ .

In altri termini, se uno dei due resistori ha una resistenza molto piccola rispetto all'altro con resistenza molto grande, la resistenza equivalente è approssimativamente uguale alla resistenza del resistore con resistenza molto piccola.

Questa legge prende il nome di Legge di Resistenza Minima. Ossia la corrente preferisce il cammino a resistenza minore.
Se $R_1 = R_2$ , allora $R_p = \frac{R_1}{2}$ .

In questo caso, la resistenza equivalente è la metà della resistenza di ciascun resistore.

Nota

Attenzione al caso di più resistori in parallelo

Nel caso in cui abbiamo più di due resistori in parallelo, non possiamo generalizzare l'equazione vista prima:

R_p = \cancel{\frac{R_1 \cdot R_2 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3}} \quad \color{red}{\text{Non è valida!}} è

Infatti, questa equazione è valida solo per due resistori in parallelo. Per più resistori in parallelo, dobbiamo usare l'equazione generale:

\frac{1}{R_p} = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{R_k}

Definizione

Resistori in Parallelo di Uguale Valore

Dati $N$ resistori $R_1$ , $R_2$ , ..., $R_N$ posti in parallelo e di uguale valore $R$ , essi possono essere sostituiti con un resistore equivalente $R_p$ che ha come valore di resistenza:

R_p = \frac{R}{N}

Esempi

Proviamo a risolvere alcuni esercizi per calcolare la resistenza equivalente di circuiti elettrici.

Esempio

Consideriamo il circuito seguente:

Vogliamo calcolare la corrente $i$ erogata dal generatore di tensione.

Per calcolarla ci conviene sostituire le tre resistenze con una singola resistenza equivalente $R_s$ .

Per prima cosa, vediamo che le due resistenze da $50\,\Omega$ e $100\,\Omega$ sono in parallelo. Quindi, possiamo calcolare la resistenza equivalente $R_{p1}$ :

\frac{1}{R_{p1}} = \frac{1}{50} + \frac{1}{100}

R_{p1} = \frac{50 \cdot 100}{50 + 100} = \frac{5000}{150} = \frac{100}{3}\,\Omega

Questa resistenza è in serie con la resistenza da $25\,\Omega$ . Quindi, possiamo calcolare la resistenza equivalente $R_{s2}$ :

R_{s2} = R_{p1} + 25 = \frac{100}{3} + 25 = \frac{100}{3} + \frac{75}{3} = \frac{175}{3}\,\Omega \approx 58.33\,\Omega

Il circuito equivalente è quindi:

**Figura 6:** Circuito Equivalente del Problema di Esempio 1

La corrente $i$ erogata dal generatore di tensione è quindi:

i = \frac{V}{R_{s2}} = \frac{10}{\frac{175}{3}} = \frac{10 \cdot 3}{175} = \frac{30}{175} = \frac{6}{35}\,A \approx 0.1714\,A

Esempio

Troviamo la resistenza equivalente del circuito seguente:

Per prima cosa ci conviene sostituire alle due resistenze da $6\,\Omega$ e $3\,\Omega$ , che sono in parallelo, la resistenza equivalente $R_{p1}$ :

\frac{1}{R_{p1}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}

R_{p1} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\,\Omega

Il risultato è riportato in figura:

**Figura 8:** Problema di Esempio 2 - Passo 1

Adesso, sia le due resistenze da $2\,\Omega$ che le resistenze da $5\,\Omega$ e $1\,\Omega$ sono in serie. Quindi, possiamo calcolare la due resistenze equivalenti $R_{s1}$ e $R_{s2}$ :

R_{s1} = 2 + 2 = 4\,\Omega

R_{s2} = 5 + 1 = 6\,\Omega

Il circuito equivalente è quindi:

**Figura 9:** Problema di Esempio 2 - Passo 2

Le due resistenze da $4\,\Omega$ e $6\,\Omega$ sono in parallelo. Quindi, possiamo calcolare la resistenza equivalente $R_{p2}$ :

\frac{1}{R_{p2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}

R_{p2} = \frac{4 \cdot 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4\,\Omega

Il circuito equivalente è quindi:

**Figura 10:** Problema di Esempio 2 - Passo 3

Adesso, tutte le resistenze rimaste sono in serie. Quindi, possiamo calcolare la resistenza equivalente $R_s$ :

R_s = 4 + 2.4 + 8 = 14.4\,\Omega

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto il concetto di bipolo equivalente. In particolare, abbiamo visto che:

Due bipoli sono equivalenti se hanno la stessa relazione caratteristica.
Due bipoli equivalenti possono essere scambiati l'uno con l'altro senza alterare il comportamento del circuito.
La sostituzione di più resistori in serie con un singolo resistore equivalente è possibile e la resistenza equivalente è la somma delle resistenze dei resistori.
La sostituzione di più resistori in parallelo con un singolo resistore equivalente è possibile e la resistenza equivalente è data dalla somma delle conduttanze dei resistori.
La resistenza equivalente di più resistori in parallelo è sempre minore della resistenza di ciascun resistore.
La resistenza equivalente di più resistori in serie è sempre maggiore della resistenza di ciascun resistore.

Queste proprietà ci permettono di semplificare i circuiti elettrici e di calcolare le grandezze elettriche in modo più semplice e veloce.

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