Resistori in Parallelo e Partitore di Corrente

In questa lezione studieremo il comportamento di due o più resistori in parallelo. In particolare, due resistori sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi.

Vedremo che due o più resistori in parallelo possono essere sostituiti da un resistore con un valore di resistenza equivalente. Questa resistenza equivalente è pari al prodotto dei singoli valori di resistenza fratto la loro somma.

Inoltre, erogando una corrente ad uno dei nodi a cui i resistori sono collegati, vedremo che essa verrà divisa tra i resistori stessi in maniera proporzionale al valore delle loro resistenze. Per questo motivo, questa configurazione circuitale prende il nome di Partitore di Corrente.

Due Resistori in Parallelo

Partiamo dal caso più semplice e consideriamo il circuito riportato nella figura che segue:

In questo circuito abbiamo un generatore di tensione che applica una tensione $v_g(t)$ tra i due nodi $n_1$ e $n_2$ . Allo stesso tempo, ai due nodi sono collegati due resistori in parallelo $R_1$ ed $R_2$ .

Applicando la Legge di Kirchhoff delle Tensioni è facile comprendere che la tensione ai capi dei due resistori è identica ed è pari alla tensione generata dal generatore $v_g(t)$ . Per cui risulta che:

v_g(t) = v_1(t) = R_1 \cdot i_1(t)

v_g(t) = v_2(t) = R_2 \cdot i_2(t)

Da queste due equazioni possiamo ricavare l'espressione delle due correnti $i_1(t)$ e $i_2(t)$ :

i_1(t) = \frac{v_g(t)}{R_1}

i_2(t) = \frac{v_g(t)}{R_2}

A questo punto, se applichiamo la Legge di Kirchhoff delle Correnti al nodo $n_1$ risulta che la corrente erogata dal generatore di tensione è pari alla somma delle correnti che scorrono nei due resistori:

i_g(t) = i_1(t) + i_2(t) \quad \Rightarrow

i_g(t) = \frac{v_g(t)}{R_1} + \frac{v_g(t)}{R_2} \quad \Rightarrow

\begin{equation} \label{current_division} i_g(t) = v_g(t) \cdot \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) \end{equation}

L'equazione $\ref{current_division}$ che abbiamo appena trovato può essere riscritta in questo modo:

i_g(t) = \frac{v_g(t)}{R_{eq}}

dove $R_{eq}$ è la resistenza equivalente dei due resistori in parallelo. Infatti i due resistori in parallelo possono essere sostituiti da un unico resistore equivalente la cui resistenza rispetta la seguente equazione:

\begin{equation} \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \end{equation}

Risolvendo questa equazione possiamo trovare l'espressione della resistenza equivalente:

\frac{1}{R_{eq}} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2} \quad \Rightarrow

\begin{equation} R_{eq} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \end{equation}

Definizione

Due Resistori in Parallelo

La Resistenza Equivalente di due resistori in parallelo, $R_1$ e $R_2$ , è pari al prodotto delle loro resistenze fratto la loro somma:

R_{eq} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}

Un caso particolare è quello in cui i due resistori hanno identico valore di resistenza:

R_1 = R_2 = R

In tal caso, l'espressione della resistenza equivalente si semplifica in:

R_{eq} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} \quad \Rightarrow

\begin{equation} R_{eq} = \frac{R}{2} \end{equation}

Generalizzazione al caso di più Resistori

Proviamo, adesso, ad analizzare il caso di più resistori in parallelo. Prendiamo il circuito in figura:

In questo circuito abbiamo $n$ resistori, con resistenza pari a $R_i$ , collegati in parallelo tra di loro. Essi sono collegati in parallelo anche ad un generatore di tensione che eroga una tensione pari a $v_g(t)$ .

Ripercorrendo i passi fatti per il caso di due soli resistori, applicando la LKT sappiamo che la tensione ai capi di ciascun resistore è identica ed è pari a quella generata dal generatore:

v_g(t) = v_1(t) = v_2(t) = \cdots = v_n(t) \quad \forall k \in \{ 1, \dots, n \}

Inoltre applicando la legge di ohm, possiamo ricavare le singole correnti:

v_g(t) = v_i(t) = i_k(t) \cdot R_k \quad \forall k \in \{ 1, \dots, n \} \quad \Rightarrow

\begin{equation} \label{single_r_c} i_k(t) = \frac{v_g(t)}{R_k} \quad \forall k \in \{ 1, \dots, n \} \end{equation}

Da cui, la corrente di ogni resistore è pari alla tensione, che è uguale per tutti, fratto la loro resistenza $R_i$ . A questo punto, se applichiamo la LKC al nodo $n_1$ sappiamo che la corrente erogata dal generatore è pari alla somma di tutte le correnti che fluiscono all'interno dei singoli resistori. Per cui abbiamo che:

\begin{equation} \label{global_c} i_g(t) = i_1(t) + i_2(t) + \cdots + i_n(t) \end{equation}

Sostituendo le espressioni delle correnti $\ref{single_r_c}$ nell'equazione della corrente totale $\ref{global_c}$ otteniamo:

i_g(t) = \frac{v_g(t)}{R_1} + \frac{v_g(t)}{R_2} + \cdots + \frac{v_g(t)}{R_n} \quad \Rightarrow

\begin{equation} \label{global_current_equation} i_g(t) = v_g(t) \cdot \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} \right) \end{equation}

Dall'equazione $\ref{global_current_equation}$ otteniamo l'espressione della resistenza equivalente $R_{eq}$ :

\begin{equation} \label{equivalent_resistance} \frac{1}{R_{eq}} = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} \right) \end{equation}

Definizione

Resistenza Equivalente di più resistori in parallelo

L'inverso della Resistenza Equivalente di più resistori in parallelo è pari alla somma dell'inverso delle singole resistenze individuali

\frac{1}{R_{eq}} = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} \right)

Interessante è il caso in cui tutti i resistori hanno uguale valore di resistenza:

R = R_1 = R_2 = \cdots = R_n

In tal caso, l'equazione $\ref{equivalent_resistance}$ diventa:

\frac{1}{R_{eq}} = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} \right) \quad \Rightarrow

\frac{1}{R_{eq}} = \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \cdots + \frac{1}{R} \right) \quad \Rightarrow

\frac{1}{R_{eq}} = \frac{N}{R} \quad \Rightarrow

\begin{equation} R_{eq} = \frac{R}{N} \end{equation}

Conduttanza equivalente

Quando si ha a che fare con resistori in parallelo è spesso più conveniente ragionare in termini di conduttanza e conduttanza equivalente. Infatti, ricordando che la conduttanza è l'inverso della resistenza:

G = \frac{1}{R}

Possiamo ottenere la conduttanza equivalente a partire dall'equazione $\ref{equivalent_resistance}$ in questo modo:

\begin{equation} G_{eq} = G_1 + G_2 + \cdots + G_n \end{equation}

dove i termini valgono:

G_{eq} = \frac{1}{R_{eq}}, \quad G_k = \frac{1}{R_k} \quad \forall k \in \{1, \dots, n\}

Per cui:

Definizione

Conduttanza Equivalente di più resistori in parallelo

La conduttanza equivalente di più resistori in parallelo è pari alla somma delle conduttanze individuali dei singoli resistori:

G_{eq} = G_1 + G_2 + \cdots + G_n

Partitore di Corrente

Adesso che abbiamo ricavato l'espressione della resistenza equivalente di più resistori in parallelo proviamo a determinare la corrente che scorre in essi.

Ripartiamo dal caso di due resistori in parallelo, $R_1$ e $R_2$ :

**Figura 3:** Partitore di Corrente con due resistori in parallelo

La tensione ai capi dei due resistori è identica, in base alla LKT, ed è uguale alla tensione generata dal generatore: $v_g(t)$ . Applicando la LKC sappiamo che la corrente erogata dal generatore è pari alla somma delle singole correnti che fluiscono nei due resistori:

i_g(t) = i_1(t) + i_2(t)

Tuttavia, possiamo sostituire al posto dei due resistori un unico resistore che ha una resistenza pari a quella equivalente:

**Figura 4:** Resistore equivalente ai due resistori in serie

Applicando la legge di ohm al resistore equivalente otteniamo che:

\begin{equation} \label{test-eq} v_g(t) = R_{eq} \cdot i_g(t) \end{equation}

Le singole correnti che, invece, fluiscono nei singoli resistori valgono:

i_1(t) = \frac{v_g(t)}{R_1}, \quad i_2(t) = \frac{v_g(t)}{R_2}

Combinando l'equazione $\ref{test-eq}$ con le equazioni di sopra, otteniamo:

i_1(t) = \frac{v_g(t)}{R_1} = \frac{R_{eq}}{R_1} \cdot i_g(t) \quad \Rightarrow

i_1(t) = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \cdot \frac{1}{R_1} \cdot i_g(t) \quad \Rightarrow

i_1(t) = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot i_g(t)

Analogamente, per la corrente del secondo resistore otteniamo:

i_2(t) = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot i_g(t)

Osservando bene le due equazioni, possiamo notare che la corrente totale erogata dal generatore viene ripartita tra i due resistori in maniera proporzionale al valore delle loro resistenze.

Per questo motivo, questa configurazione circuitale prende anche il nome di partitore di corrente:

Definizione

Partitore di Corrente: caso di due resistenze in parallelo.

Una corrente, $i$ , erogata in ingresso a due resistori in parallelo, $R_1$ e $R_2$ , viene ripartita tra i due resistori in maniera proporzionale al valore delle loro resistenze:

i_1 = i \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}

i_2 = i \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}

Caso interessante è quello in cui i due resistori hanno identica resistenza:

R = R_1 = R_2

In tal caso, sostituendo questo valore alle equazioni delle due correnti, otteniamo:

i_R = i \cdot \frac{R}{R + R} = i \cdot \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \cdot i

In altre parole, la corrente viene dimezzata in maniera equa tra i due resistori.

**Figura 5:** Partitore di Corrente con due resistori in parallelo di uguale resistenza

Analisi del Partitore di Corrente

Proviamo, ora, ad analizzare nel dettaglio le caratteristiche matematiche del partitore di corrente. Riprendiamo il caso di due resistori, $R_1$ ed $R_2$ , ed analizziamo la corrente che scorre in essi:

i_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot i

i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot i

Supponiamo che la resistenza $R_2$ sia maggiore della resistenza $R_1$ . In tal caso, dalle due espressioni risulta che la corrente $i_1$ è maggiore della corrente che scorre nel secondo resistore $i_2$ :

R_2 &gt; R_1 \quad \Rightarrow \quad i_1 &gt; i_2

Detto in altre parole:

Definizione

Partitore di Corrente: relazione tra le correnti

In un partitore di corrente, nel resistore a resistenza più bassa scorre la corrente maggiore.

In base a questo, possiamo considerare due casi estremi:

Un resistore in parallelo ad un circuito aperto;
Un resistore in parallelo ad un corto circuito.

Partiamo dal primo caso. Osserviamo il circuito in figura:

**Figura 6:** Resistore in parallelo ad un circuito aperto

In tal caso abbiamo un circuito aperto in parallelo al resistore $R_1$ . La resistenza di un circuito aperto tende all'infinito, per cui $R_2 \rightarrow +\infty$ . Quindi, applicando il limite a $R_2$ nelle due espressioni, otteniamo:

i_1 = i \cdot \lim_{R_2 \rightarrow +\infty} \frac{R_2}{R_1 + R_2} \quad \Rightarrow \quad i_1 = i

i_2 = i \cdot \lim_{R_2 \rightarrow +\infty} \frac{R_1}{R_1 + R_2} \quad \Rightarrow \quad i_2 = 0

Come si poteva intuire, il partitore di corrente degenera, in questo caso, e si tratta di una corrente che scorre attraverso un singolo resistore.

Analizziamo, ora, il secondo caso estremo, molto più interessante del primo. Osserviamo il circuito in figura:

In questo caso, abbiamo un resistore in parallelo ad un corto circuito. La resistenza del corto circuito vale $R=0$ , per cui, applicando la formula del partitore di corrente, otteniamo:

i_2 = i \cdot \frac{R_1}{R_1 + 0} = i

i_1 = i \cdot \frac{0}{R_1 + 0} = 0

In parole povere, se un resistore è in parallelo ad un corto circuito, attraverso di esso non scorrerà alcuna corrente. La corrente $i$ fluirà esclusivamente attraverso il corto circuito.

Questo risultato può essere generalizzato, in quanto se qualunque circuito comunque complesso è posto in parallelo ad un corto circuito, attraverso di esso non scorrerà alcuna corrente ed è come se fosse effettivamente staccato dal resto del circuito. "Cortocircuitare" una porzione di circuito significa, effettivamente, estrometterlo.

**Figura 8:** Ramo di un circuito corto-circuitato

Definizione

"Cortocircuitare" un ramo di un circuito

Mettendo un qualsiasi ramo di un circuito in parallelo ad un corto circuito ha l'effetto di non far scorrere alcuna corrente nel suddetto ramo.

Generalizzazione del Partitore di corrente

Proviamo a generalizzare, ora, il partitore di corrente al caso di più resistori in parallelo. In tal caso conviene lavorare con la conduttanza.

**Figura 9:** Partitore di Corrente con più di due resistori

Ricordando che la differenza di potenziale ai capi dei resistori è sempre uguale a quella del generatore, $v_g(t)$ , applicando la legge di ohm al singolo resistore k-esimo abbiamo che:

v_g(t) = R_k \cdot i_k(t)

Questa equazione può essere riscritta in questo modo:

i_k(t) = \frac{v_g(t)}{R_k} = G_k \cdot v_g(t)

Inoltre, sappiamo che la relazione che lega $v_g(t)$ alla corrente erogata dal generatore $i(t)$ è pari a:

v_g(t) = \frac{v_g(t)}{G_{eq}}

Per cui, sostituendo x in y otteniamo:

i_i(t) = \frac{G_k}{G_{eq}} \cdot i(t) \quad \Rightarrow

i_k(t) = \frac{G_k}{G_1 + G_2 + \cdots + G_n} \cdot i(t) \quad \forall k \in \{1, \dots, n\}

Quindi, in maniera duale al caso del partitore di tensione, abbiamo che:

Definizione

Partitore di Corrente

Una corrente, $i$ , erogata in ingresso a $n$ resistori in parallelo, $R_k$ , viene divisa tra i resistori in maniera proporzionale al rapporto tra la singola conduttanza e la somma di tutte le conduttanze:

i_k = \frac{G_k}{(G_1 + G_2 + \cdots + G_n)} \cdot i \quad \forall k \in \{1, \dots, n\}

In sintesi

In questa lezione abbiamo visto cosa accade quando due o più resistori sono posti in parallelo. Da un punto di vista elettrico, due o più resistori in parallelo sono equivalenti ad un unico resistore con un valore di resistenza equivalente pari al prodotto delle singole resistenze fratto la loro somma.

Inoltre, abbiamo determinato come una corrente, entrante in uno dei nodi a cui sono collegati i resistori, si ripartisca nei singoli resistori in maniera proporzionale al valore delle loro resistenze. La configurazione di due o più resistori in serie prende il nome di Partitore di Corrente. Inoltre, abbiamo visto che la corrente maggiore scorrerà nel resistore a resistenza inferiore.

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