Resistenza Elettrica e Resistori

La Resistenza Elettrica è la proprietà di un materiale di opporsi al flusso di cariche che lo attraversa, quindi è la proprietà di opporsi alla corrente. Essa lega in maniera proporzionale la corrente alla tensione ed è alla base della caratteristica del Resistore: uno dei fondamentali componenti elettronici.

In questa lezione vedremo le due leggi di Ohm che descrivono la resistenza elettrica dei materiali. A partire da tali leggi, definiremo il comportamento e la relazione caratteristica dei resistori.

Un resistore è un componente lineare passivo, in quanto non è in grado di erogare potenza al circuito. Un resistore può, infatti, soltanto assorbire potenza e dissiparla sotto forma di calore per Effetto Joule.

A partire da un resistore definiremo anche cos'è un corto circuito ed un circuito aperto.

Le Leggi di Ohm

Un qualsiasi campione di materiale attraversato da una corrente si oppone al suo passaggio. Questo comportamento dei materiali prende il nome di Resistenza Elettrica.

Supponiamo di avere un bipolo realizzato attraverso un campione di un certo materiale. Attraverso di esso facciamo fluire una corrente di intensità $i$ e misuriamo la differenza di potenziale $v$ che si manifesta ai suoi capi:

Il fisico tedesco Georg Simon Ohm dimostrò sperimentalmente che vi è una proporzionalità diretta tra la corrente che attraversa il campione e la differenza di potenziale misurata ai suoi capi. In altre parole, maggiore è la corrente maggiore sarà la differenza di potenziale:

\begin{equation} v \propto i \end{equation}

Ohm battezzò la proporzionalità tra le due grandezze Resistenza e la indicò con il simbolo $R$ . In generale la resistenza può avere un valore variabile. Esistono, tuttavia, dei componenti circuitali per cui la resistenza è un valore costante. Essi prendono il nome di Resistori.

Grazie ai suoi esperimenti, Ohm scoprì la prima legge fisica che porta il suo nome:

Definizione

Prima Legge di Ohm

La differenza di potenziale ai capi di un resistore è direttamente proporzionale alla corrente che lo attraversa:

\begin{equation} v = R \cdot i \end{equation}

La costante di proporzionalità $R$ , che risulta essere sempre positiva $R > 0$ , prende il nome di Resistenza. Nel S.I. si misura in Ohm: $[\Omega]$ .

Un $\Omega$ equivale ad un volt fratto un ampere:

[\Omega] = \frac{[\mathrm{V}]}{[\mathrm{A}]}

Il valore $R$ di resistenza di un resistore dipende dal tipo di materiale utilizzato per realizzarlo e, soprattutto, dalla sua forma geometrica.

Per semplificare, supponiamo di prendere un campione di materiale di forma cilindrica come rappresentato nella figura seguente:

**Figura 2:** Sezione cilindrica di un conduttore - Seconda Legge di Ohm

Il campione ha una lunghezza pari ad $\ell$ ed una sezione di area $A$ . Se applichiamo agli estremi di questo campione una differenza di potenziale, esso sarà attraversato da una corrente longitudinale $i$ .

Il fisico Ohm dimostrò che la resistenza di un campione di materiale cilindrico è direttamente proporzionale alla lunghezza del campione e inversamente proporzionale all'area della sua sezione:

\begin{equation} R \propto \frac{\ell}{A} \end{equation}

Per tal motivo, introdusse una nuova grandezza che dipende dal tipo di materiale impiegato ma è indipendente dalla sua forma: la Resistività.

La resistività si indica con $\rho$ e si misura in Ohm per metro: $[\Omega] \cdot [\mathrm{m}]$ . Tale grandezza dipende esclusivamente dalle caratteristiche fisiche del materiale.

Possiamo, quindi, enunciare la seconda legge di Ohm in modo semplificato:

Definizione

Seconda Legge di Ohm

Un campione di materiale omogeneo di forma cilindrica, di lunghezza $\ell$ e sezione trasversale con area $A$ , attraversato da una corrente in direzione longitudinale, esibisce un valore di resistenza esprimibile come:

\begin{equation} R = \rho \cdot \frac{\ell}{A} \end{equation}

dove $\rho$ rappresenta la resistività del materiale. Nel S.I. la resistività si misura in Ohm per metro:

[\Omega] \cdot [\mathrm{m}]

Nota: La seconda legge di Ohm sopra riportata è una versione semplificata. In realtà la resistività di un materiale ha una forte dipendenza dalla temperatura del campione di materiale. Per il momento possiamo, però, trascurare questo dettaglio.

Materiali con un basso valore di resistività lasciano fluire facilmente la corrente attraverso di essi. Tali materiali prendono il nome di Conduttori. Viceversa, materiali con alta resistività si oppongono al flusso di corrente e prendono il nome di Isolanti.

Esempi di ottimi conduttori sono il rame, adoperato nella realizzazione di cavi elettrici, l'alluminio, l'oro e l'argento utilizzati spesso nella realizzazione dei contatti dei componenti elettronici.

Esempi di isolanti, invece, sono la gomma, utilizzata spesso come guaina dei cavi, la mica e la carta.

Esiste, poi, un'ulteriore categoria di materiali a metà strada tra i conduttori e gli isolanti. Essi prendono il nome di Semiconduttori. Tale tipo di materiali è molto adoperato in elettronica per la realizzazione di componenti come i transistor. Esempi di semiconduttori sono il silicio e il germanio.

Di seguito è riportata una tabella con i valori tipici di resistività di alcuni materiali adoperati nella realizzazione di dispositivi elettrici ed elettronici:

**Tabella 1:** Esempi di materiali usati in elettronica e loro resistività a temperatura ambiente
Materiale	Resistività: $\Omega \cdot m$	Impiego
Argento	$1.59 \times 10^{-8}$	Conduttore
Rame	$1.68 \times 10^{-8}$	Conduttore
Oro	$2.44 \times 10^{-8}$	Conduttore
Alluminio	$2.65 \times 10^{-8}$	Conduttore
Germanio	$4.6 \times 10^{-1}$	Semiconduttore
Silicio	$2.3 \times 10^{3}$	Semiconduttore
Carta	$10^{10}$	Isolante
Mica	$5 \times 10^{11}$	Isolante
Vetro	$10^{15}$	Isolante
Teflon	$10^{25}$	Isolante

Resistori ideali

Un resistore ideale rappresenta un bipolo per cui la resistenza è un valore costante. In particolare esso è caratterizzato da una relazione lineare di proporzionalità diretta tra la corrente che scorre in esso e la tensione ai suoi capi. La relazione del resistore ideale è quella della prima legge di Ohm:

\begin{equation} v = R \cdot i \label{eq:legge-di-ohm} \end{equation}

In questa relazione i versi di tensione e corrente sono concordi: la corrente entra nel morsetto a potenziale maggiore ed esce dal morsetto a potenziale inferiore.

Negli schemi circuitali un resistore viene generalmente indicato con il seguente simbolo che prende il nome di simbolo americano o statunitense:

**Figura 3:** Simbolo di un Resistore - Versione Americana

Spesso, tuttavia, può capitare di avere a che fare con schematici con simboli europei in cui i resistori sono indicati con quest'altro simbolo:

**Figura 4:** Simbolo di un Resistore - Versione Europea

Graficamente, la relazione caratteristica corrente-tensione di un resistore può essere rappresentata in questo modo:

**Figura 5:** Caratteristica corrente-tensione di un Resistore Ideale

Si tratta, appunto, di una retta che passa per l'origine e ha come coefficiente angolare il valore della resistenza $R$ . Per cui, da ciò possiamo intuire che più e forte l'intensità della corrente che scorre attraverso un resistore, maggiore sarà la caduta di potenziale ai suoi capi. Viceversa, maggiore è la differenza di potenziale applicata ad un resistore, maggiore sarà la corrente che lo attraversa.

Essendo di natura lineare, un resistore che rispetta la legge di Ohm prende il nome di resistore lineare. Nella realtà resistori di questo tipo non esistono. Tuttavia i resistori approssimano questo comportamento se vengono rispettati alcuni vincoli di corrente, tensione e temperatura. Per questo motivo, diciamo che la caratteristica di sopra descrive il comportamento di un Resistore Ideale. Dato, invece, che un resistore reale, in certe condizioni, non rispetta la legge di ohm, diciamo che un resistore reale presenta delle non-idealità.

In generale, per circuiti semplici che non lavorano ad alte frequenze o con alte potenze, non c'è necessità di preoccuparsi delle non-idealità di un resistore reale.

La Conduttanza

La relazione caratteristica di un resistore può essere invertita e riscritta in questo modo:

\begin{equation} i = \frac{1}{R} \cdot v = Gv \label{eq:conduttanza} \end{equation}

In questo modo, si esprime la corrente in funzione della tensione applicata ai capi del resistore. La costante $G$ , pari all'inverso della resistenza $R$ , prende il nome di Conduttanza. Essa può essere vista come la capacità di un qualunque bipolo di condurre la corrente elettrica. Graficamente, la relazione tensione-corrente di un resistore può essere rappresentata in questo modo:

**Figura 6:** Caratteristica tensione-corrente di un Resistore Ideale

La conduttanza si misura, nel S.I., in siemens $\left[\mathrm{S}\right]$ , dal nome dell'ingegnere Ernst Werner Von Siemens che fondò l'azienda omonima Siemens. Il siemens è così definito:

[\mathrm{S}] = \frac{[\mathrm{A}]}{[\mathrm{V}]}

Oltre al siemens, a volte la conduttanza viene misurata in mho, che sta per ohm scritto al contrario, e si indica con $\left[ \Omega^{-1} \right]$ . il mho è del tutto equivalente al siemens.

Esempio

Proviamo a chiarire le idee con un esempio: un tostapane.

L'elemento fondamentale di un tostapane è un resistore che, riscaldandosi, riesce ad abbrustolire le fette di pane con cui entra in contatto.

Supponendo che un tostapane venga alimentato con una tensione di 220 volt e assorbe una corrente di 1.5 ampere, vogliamo sapere il valore del resistore interno del tostapane. Supponiamo, inoltre, per semplicità che la tensione applicata al tostapane sia una tensione continua. Nella realtà i tostapane sono alimentati con la tensione alternata fornita dalle compagnie elettriche.

Possiamo riscrivere la prima legge di Ohm in questo modo:

v(t) = R \cdot i(t) \quad \rightarrow \quad R = \frac{v(t)}{i(t)}

Nel caso del tostapane, corrente e tensione sono costanti, per cui l'espressione diventa:

R = \frac{V}{I} = \frac{220}{1.5} = 146.667 \Omega

Quindi la resistenza interna del tostapane vale circa 146.67 Ohm.

Legge di Joule

Avendo definito la relazione caratteristica di un resistore lineare ideale, possiamo ricavare la potenza assorbita dal resistore stesso. Infatti, ricordando che la potenza istantanea assorbita da un bipolo è:

p(t) = v(t) \cdot i(t)

Ne ricaviamo che, se sostituiamo l'equazione $\ref{eq:legge-di-ohm}$ al posto della tensione otteniamo:

p(t) = R \cdot i^2(t)

Se, invece, sostituiamo l'equazione $\ref{eq:conduttanza}$ al posto della corrente otteniamo:

p(t) = \frac{1}{R} \cdot v^2(t)

Tali risultati prendono il nome di Legge di Joule per i resistori:

Definizione

Legge di Joule per i Resistori

La potenza istantanea assorbita da un resistore lineare è data dalla relazione:

\begin{equation} p(t) = R \cdot i^2(t) = \frac{1}{R} \cdot v^2(t) \label{eq:legge-di-joule} \end{equation}

Osservando la relazione, si può comprendere che la potenza $p(t)$ assorbita è sempre positiva. Infatti, la costante $R$ che esprime la resistenza è una quantità sempre positiva. Inoltre corrente e tensione sono elevate al quadrato per cui risulteranno sempre positive.

La conseguenza è che un resistore lineare può solo assorbire la potenza dal resto del circuito e mai erogarla. Motivo per cui si dice che il resistore è un elemento passivo. Un resistore dissiperà la potenza sotto forma di calore:

Definizione

Effetto Joule

Un resistore lineare non è in grado di erogare potenza al resto del circuito. Può solo assorbire potenza.

Il resistore dissipa la potenza sotto forma di calore. Questo comportamento prende il nome di Effetto Joule.

La legge $\ref{eq:legge-di-joule}$ prende il nome di Legge di Joule dal nome del fisico inglese James Prescott Joule. Il fenomeno, secondo il quale un resistore dissipa la potenza sotto forma di calore, prende il nome di Effetto Joule.

Esempio

Un ferro da stiro utilizza, al suo interno, un resistore per riscaldare l'acqua e trasformarla in vapore acqueo. Inoltre, riscalda anche la piastra di metallo che entra in contatto con i vestiti per appianare le pieghe.

Supponiamo che un ferro da stiro sia alimentato da una tensione di 110 volt. Sempre per semplicità, supponiamo che la tensione applicata al ferro sia costante anche se nella realtà i ferri da stiro lavorano con correnti alternate. Inoltre, il ferro da stiro ha al suo interno un resistore di 44 Ohm.

Vogliamo calcolare la potenza erogata dal ferro da stiro alla sua resistenza interna.

Applicando la legge di Joule abbiamo che la potenza istantanea è data dalla relazione:

p(t) = \frac{1}{R} \cdot v^2(t)

Poiché in questo caso la tensione è costante, potenza istantanea e potenza media sono equivalenti. Per cui possiamo scrivere:

P = \frac{1}{R} \cdot V^2

Sostituendo i dati del problema nell'espressione otteniamo:

P = \frac{1}{44} \cdot (110)^2 = 275 \quad W

Quindi, il ferro da stiro eroga una potenza di 275 Watt che la sua resistenza interna trasforma in calore.

Resistori Reali

Un resistore, nella realtà, non presenta un valore di resistenza $R$ costante. Infatti, l'aumento della temperatura a causa dell'effetto Joule modifica la resistività del resistore stesso. In particolare, all'aumentare della temperatura la resistività aumenta.

I resistori reali, in generale, hanno associato un intervallo di funzionamento entro il quale si comportano quasi come un resistore ideale lineare. Tale intervallo di funzionamento è specificato, di solito, come la potenza massima che il componente è in grado di dissipare: $P_{max}$ . In tal caso è semplice calcolare la tensione massima che è possibile applicare a tali resistori. Infatti, se il valore del resistore è $R$ dobbiamo avere che:

\frac{v^2}{R} &lt; P_{max}

Per cui la tensione massima diventa:

\begin{equation} \label{eq:max_v_power} |v| &lt; \sqrt{P_{max} \cdot R} \end{equation}

Da un punto di vista grafico, la relazione caratteristica di un resistore reale può essere rappresentata in questo modo:

**Figura 7:** Caratteristica tensione-corrente di un Resistore Reale

Come si può osservare in figura, il resistore reale conserva la caratteristica lineare soltanto all'interno di un certo intervallo di tensioni.

Analogamente, si può ricavare anche la corrente massima che può scorrere all'interno di un resistore:

R \cdot i^2 &lt; P_{max}

da cui otteniamo:

\begin{equation} \label{eq:max_i_power} |i| &lt; \sqrt{\frac{P_{max}}{R}} \end{equation}

Definizione

Potenza Massima dissipabile da un resistore reale

Ogni resistore reale di resistenza $R$ ha una potenza massima dissipabile: $P_{max}$ .

A partire da tale valore si può ricavare la massima tensione applicabile:

\begin{equation} |v| &lt; \sqrt{P_{max} \cdot R} \end{equation}

E la massima corrente che può scorrere nel resistore:

\begin{equation} |i| &lt; \sqrt{\frac{P_{max}}{R}} \end{equation}

In commercio, tra i resistori più comuni esistono quelli da un quarto di Watt, ossia in grado di dissipare al massimo 0.25 W. Supponiamo, ad esempio, di avere un resistore da un quarto di Watt di valore $1k\Omega$ . Vogliamo calcolare la massima tensione applicabile ai suoi capi e la massima corrente che può attraversarlo. Applicando la formula $\ref{eq:max_v_power}$ otteniamo:

|v| &lt; \sqrt{P_{max} \cdot R} = \sqrt{0.25 \cdot 1000}

|v| &lt; \sqrt{250} \approx 15.81 \text{v}

Dunque, la massima tensione che possiamo applicare a tale resistore deve essere compresa nell'intervallo:

-15.81v \leq v \leq 15.81 \text{v}

Analogamente, applicando la formula $\ref{eq:max_i_power}$ otteniamo:

|i| &lt; \sqrt{\frac{P_{max}}{R}} = \sqrt{\frac{0.25}{1000}}

|i| &lt; \sqrt{2.5 \times 10^{-4}} \approx 15 \text{mA}

Dunque, la corrente massima che può attraversare il resistore è di circa 15 milliampere.

Se, malauguratamente, tali limiti dovessero essere superati, il resistore non avrebbe più un comportamento lineare. Anzi, al crescere della tensione o della corrente in valore assoluto si rischia la modifica permanente dei parametri del resistore fino alla sua completa rottura: il resistore si brucia.

Esistono alcuni componenti resistivi progettati per lavorare in questo modo: i fusibili. Lo scopo di un fusibile, infatti, è quello di rompersi nel caso in cui vengono superati certi limiti di tensione o corrente, in maniera tale da proteggere il resto del circuito a valle da un possibile sovraccarico.

Definizione

Fusibile

Un fusibile è un componente a bassa resistenza progettato per rompersi automaticamente al superamento di prefissati valori di tensione o corrente.

Il simbolo tipico di un fusibile è il seguente:

Resistori variabili

Abbiamo visto che un resistore ideale ha una resistenza costante. Tuttavia, è possibile definire anche dei resistori a resistenza variabile. Tali resistori hanno una resistenza che può variare in base a determinati fenomeni esterni. Un esempio è il fotoresistore che diminuisce la propria resistenza in base all'intensità della luce che lo colpisce.

In generale, il simbolo circuitale usato per indicare un resistore variabile è il seguente:

**Figura 9:** Simbolo di un Generico Resistore Variabile

Con questo simbolo si indica un generico resistore variabile senza specificarne la natura. Esistono simboli specifici, invece, per indicare particolari resistori variabili.

Potenziometri

Una particolare tipo di resistore variabile è il potenziometro.

Un potenziometro è un resistore dotato di una manopola o di un cursore (slider) ed ha tre terminali come nella figura seguente:

**Figura 10:** Simbolo di un Potenziometro

Tra il primo terminale a e l'ultimo terminale c esso presenta la massima resistenza disponibile, ossia il fondo scala.Tra il terminale b e il terminale c invece, esso presenta una resistenza che varia tra il fondo scala e il valore minimo. Tale valore può essere modificato girando la manopola oppure scorrendo il cursore.

Il nome deriva appunto dal fatto che modificando la resistenza si è in grado di modificare la potenza fornita al resto del circuito. Un esempio applicativo di potenziometro è il controllo del volume audio di uno stereo. Girando la manopola si aumenta o diminuisce la resistenza così che la potenza erogata verso gli altoparlanti diminuisce o aumenta.

Corto circuito e Circuito Aperto

A partire dalla definizione di un resistore si possono definire due ulteriori componenti circuitali ideali.

Infatti, nella relazione caratteristica di un resistore possiamo far tendere il valore della resistenza a 0. In tal caso, il valore della tensione ai capi del resistore sarà pari a 0 indipendentemente dal valore di corrente:

v = Ri \quad \xrightarrow{R=0} \quad v = 0

In tale circostanza, il valore della corrente può essere qualsiasi e dipende dal resto del circuito. Un resistore a resistenza nulla prende il nome di Corto Circuito:

Definizione

Corto Circuito

Un corto circuito è un resistore a resistenza nulla. La sua relazione caratteristica è:

v = 0

La corrente che attraversa un corto circuito ha un valore che dipende dal resto del circuito.

Un corto circuito può essere approssimato nella realtà da un segmento di conduttore, ad esempio un filo di rame. Tale filo avrà comunque una sua resistenza interna ma con un valore tale da poter essere trascurata nella maggior parte dei casi.

Negli schematici, un corto circuito viene rappresentato semplicemente con un filo che collega due morsetti:

**Figura 11:** Simbolo di un Corto Circuito

Allo stesso modo, possiamo far tendere la resistenza di un resistore all'infinito. In tal caso la corrente che lo attraversa è pari a 0:

i = \lim_{R \to +\infty} \frac{v}{R} = 0

Un resistore con resistenza infinita prende il nome di Circuito aperto e la tensione ai suoi capi può assumere un valore qualunque che dipende dal resto del circuito:

Definizione

Circuito Aperto

Un circuito aperto è un resistore con una resistenza che tende all'infinito. La sua relazione caratteristica è:

i = 0

La tensione ai capi di un circuito aperto può assumere un valore qualsiasi che dipende dal resto del circuito.

Negli schematici un circuito aperto è rappresentato semplicemente come due morsetti non collegati a null'altro:

**Figura 12:** Simbolo di un Circuito Aperto

Interruttori

I componenti circuitali ideali di corto circuito e circuito aperto ci consentono di modellare un'altra categoria di componenti circuitali fondamentali nello studio dei circuiti: gli interruttori e i deviatori.

Un semplice interruttore può essere visto come un componente con due stati: aperto o chiuso Un interruttore può essere modellato come un circuito aperto quando è aperto oppure come un corto circuito quando è chiuso.

Nella figura è riportato il simbolo adoperato per gli interruttori SPST (Single Pole Single Throw), ossia ad un polo e ad una via:

**Figura 13:** Simbolo di un Interruttore a Singolo Polo ed una via (SPST)

Nella realtà, un interruttore chiuso avrà sicuramente una resistenza interna, in molti casi trascurabile, ma non uguale a zero. Invece quando aperto, potrebbero verificarsi fenomeni di scarica elettrica non trascurabili.

Esistono interruttori più complessi che vedremo più avanti.

Riassumendo

In questa lezione siamo partiti dalle due leggi di Ohm per arrivare a definire uno dei componenti circuitali fondamentali: il Resistore.

Abbiamo visto che la caratteristica fondamentale di un resistore che lega la tensione alla corrente è una relazione di proporzionalità lineare. La costante di proporzionalità prende il nome di Resistenza e si misura in Ohm.

Nella realtà, i resistori approssimano questo comportamento lineare entro un certo intervallo di tensioni e correnti. Infatti, dissipando calore per effetto Joule, un resistore reale aumenta la propria temperatura e modifica la propria resistività fino ad arrivare ad un punto di rottura. Per questo motivo, nel progetto di circuiti reali bisogna prestare attenzione ai valori massimi che è possibile applicare ad un resistore.

Un resistore può avere una resistenza fissa, ossia con un valore che non muta nel tempo, o variabile come ad esempio i potenziometri.

Di particolare importanza nello studio dei circuiti sono il circuito aperto, ossia un resistore a resistenza infinita, e il corto circuito ossia un resistore a resistenza nulla. A partire da questi due componenti ideali, è possibile definire l'interruttore.

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