Generatori ideali di Tensione e Generatori ideali di Corrente

Un generatore ideale di tensione è un dispositivo in grado di generare una tensione indipendente dal resto del circuito.

Analogamente, un generatore ideale di corrente è in grado di generare una corrente indipendente da come è composto il resto del circuito a cui esso è collegato.

Questi dispositivi sono importanti nell'ambito dei circuito in quanto possono erogare potenza essendo componenti attivi. Inoltre, essi sono chiamati anche generatori indipendenti in quanto la tensione o corrente che erogano non dipende da altri fattori esterni.

I generatori di tensione e i generatori di corrente reali riescono ad approssimare il comportamento di questi elementi ideali se vengono rispettati certi limiti.

Sebbene siano ideali, questi elementi sono utili per studiare le caratteristiche matematiche di un circuito. In questa lezione ci concentreremo sui generatori indipendenti ideali.

Introduzione

Come abbiamo visto nella lezione sulla potenza nei circuiti elettrici, esistono due tipi di elementi circuitali:

Gli elementi passivi, come i resistori, che non sono in grado di erogare potenza al circuito;
Gli elementi attivi che, invece, sono in grado di fornire potenza.

I più semplici elementi circuitali attivi che introdurremo in questa lezione sono i generatori indipendenti. Anche in questo caso, come nel caso dei resistori, si tratta di elementi ideali la cui controparte reale ne approssima il comportamento matematico.

Di generatori indipendenti ne esistono due tipi: di tensione e di corrente. In questa lezione li studieremo in dettaglio.

Generatore indipendente di Tensione

Definizione

Generatore indipendente di Tensione

Un Generatore indipendente di Tensione è un elemento attivo e ideale in grado di fornire una specifica tensione al resto del circuito ed è completamente indipendente dagli altri elementi.

Il simbolo adoperato per rappresentare un generatore di tensione è il seguente:

A volte, si usa anche il simbolo che segue, usato specialmente in ambito europeo:

**Figura 2:** Generatore di Tensione - Simbolo Europeo

La relazione caratteristica del generatore è descritta dalla formula seguente:

\begin{equation} \label{eq:independent_voltage_source} v(t) = v_g(t) \end{equation}

In questa relazione, la funzione $v_g(t)$ è una funzione nota del tempo. Se questa funzione è una costante a volte si usa il simbolo riportato in figura per rappresentare un generatore di tensione costante:

**Figura 3:** Generatore di Tensione Costante - Batteria

La caratteristica principale di un generatore di tensione è che esso fornisce al circuito la corrente necessaria affinché la tensione ai suoi capi rispetti la funzione $v_g(t)$ . Da ciò ne deriva il fatto che si tratti di un elemento ideale. Nella realtà, i generatori di tensione riescono a mantenere la tensione fintantoché non vengono superati certi limiti.

Esempi di generatori di tensione reali sono le batterie o gli alimentatori. Essi riescono a generare una tensione costante entro certi limiti specificati in termini di corrente massima erogabile o di potenza massima erogabile.

Generatore di Tensione applicato ad un carico

Nelle lezioni precedenti abbiamo studiato le leggi di kirchhoff ed i resistori. Proviamo a mettere insieme le conoscenze finora acquisite per analizzare il circuito che segue:

**Figura 4:** Generatore di Tensione costante collegato ad un resistore

In questo caso abbiamo un generatore di tensione costante i cui morsetti sono collegati ad un resistore di valore $R$ . Il generatore genera una tensione costante pari a $V_g$ . Vogliamo determinare la tensione ai capi del resistore e la corrente che fluisce in esso.

Per prima cosa, determiniamo le maglie e i nodi del circuito ed evidenziamo le grandezze relative al resistore:

**Figura 5:** Maglia e nodi del circuito

Il circuito è composto da una singola maglia, $M_1$ , e da due nodi: $n_1$ ed $n_2$ .

Successivamente, applichiamo la LKT alla singola maglia $M_1$ del circuito, ottenendo, così, la seguente equazione:

v_R(t) - v_g(t) = 0 \quad \Rightarrow

v_R(t) = v_g(t) \quad \Rightarrow

v_R(t) = V_g

quindi la tensione ai capi del resistore è esattamente quella fornita dal generatore, $V_g$ . Per quanto riguarda la corrente, $i_R(t)$ , possiamo ricavarla semplicemente applicando la legge di Ohm. Per cui otteniamo la seguente equazione:

v_R(t) = R \cdot i_R(t) \quad \Rightarrow

I_R = \frac{V_g}{R}

Applicando la LKC al nodo $n_1$ otteniamo che

i_g(t) = i_R(t) = I_R = \frac{V_g}{R}

quindi la corrente che scorre nel resistore è uguale alla corrente erogata dal generatore. In altre parole, il generatore di tensione eroga la corrente necessaria a mantenere costante la tensione ai suoi capi.

Volendo calcolare la potenza assorbita dal resistore $R$ , applicando la legge di Joule, otteniamo:

p_R(t) = \frac{v_R^2(t)}{R} \quad \Rightarrow

P_R = \frac{V_g^2}{R}

Ma questa è esattamente la potenza fornita dal generatore $P_g$ .

P_g = P_R

In altre parole, il generatore, per poter mantenere la tensione ai suoi capi, deve erogare una potenza che dipende dal resto del circuito ad esso collegato. In questo caso si tratta di un resistore, ma in generale il ragionamento può essere esteso anche a reti più complesse.

Per questo motivo, il resto del circuito a cui il generatore è applicato prende il nome di Carico o in inglese Load.

In questo caso stiamo parlando di un carico resistivo in quanto il generatore è applicato ad un resistore. Esistono altri tipi di carichi che vedremo più avanti.

Dato che la potenza erogata dal generatore dipende dal carico a cui esso è applicato, possiamo provare a studiare matematicamente la dipendenza della potenza al variare di quest'ultimo.

Se il valore di resistenza del resistore tende all'infinito, $R \rightarrow +\infty$ , la potenza erogata dal generatore tende a zero:

R \rightarrow +\infty \quad \Rightarrow \quad P_g \rightarrow 0

In parole povere, far tendere la resistenza del carico a zero significa collegare il generatore ad un circuito aperto. La conseguenza matematica è che se un generatore è collegato ad un circuito aperto, ossia non è collegato a nulla esso non eroga potenza.

**Figura 6:** Generatore di Tensione collegato ad un Circuito Aperto

Studiamo il caso opposto e facciamo tendere la resistenza del carico a zero:

R \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad P_g \rightarrow +\infty

Far tendere la resistenza del carico a zero significa collegare il generatore ad un corto circuito. In tal caso, per poter mantenere costante il valore di tensione, il generatore dovrà generare una potenza infinita.

**Figura 7:** Generatore di Tensione collegato ad un Corto Circuito

Risulta ovvio che un generatore reale non potrà mai generare una potenza infinita, per cui i generatori reali sono solo approssimazioni di un generatore ideale.

Generatore indipendente di Corrente

Il secondo generatore che introduciamo in questa lezione è il generatore indipendente di corrente:

Definizione

Generatore indipendente di Corrente

Un Generatore indipendente di Corrente è un elemento attivo e ideale in grado di fornire una specifica corrente al resto del circuito ed è completamente indipendente dagli altri elementi.

Il simbolo adoperato per rappresentare un generatore di corrente è il seguente:

Spesso, in ambito europeo si utilizza il simbolo seguente

**Figura 9:** Generatore di Corrente - Simbolo Europeo

La relazione caratteristica del generatore è descritta dalla formula seguente:

\begin{equation} \label{eq:independent_current_source} i(t) = i_g(t) \end{equation}

In questa equazione la funzione $i_g(t)$ è una funzione nota. Così il generatore di tensione, anche il generatore di corrente produce la tensione ai suoi capi necessaria affinché la corrente erogata rispetti la relazione $i(t) = i_g(t)$ . Proprio per questo motivo esso è un elemento ideale e un generatore reale ne è solo un'approssimazione.

Mentre batterie e alimentatori sono ottime approssimazioni dei generatori di tensione, nel caso dei generatori di corrente non esistono buoni generatori reali. Risulta molto complesso realizzare dei generatori di corrente rispetto alla facilità con cui si realizzano quelli di tensione. Esistono dei modi con cui realizzare generatori di corrente in modo molto grezzo che vedremo più avanti.

Generatore di Corrente applicato ad un Carico Resistivo

Proviamo a studiare un circuito in cui applichiamo un carico resistivo, ossia un resistore di valore $R$ , ad un generatore di corrente costante:

Vogliamo calcolare la corrente che fluisce nel resistore e la tensione ai suoi capi. La corrente erogata dal generatore è costante e vale $I_g$ .

Applicando la LKC al nodo $n_1$ otteniamo la seguente equazione:

i_g(t) - i_R(t) = 0 \quad \Rightarrow

i_R(t) = i_g(t) \quad \Rightarrow

i_R(t) = I_g

Per cui la corrente che fluisce nel resistore è esattamente la corrente erogata dal generatore, $I_g$ . Per quanto riguarda la tensione ai capi del resistore, applichiamo la legge di ohm:

v_R(t) = R \cdot i_R(t) \quad \Rightarrow

V_R = R \cdot I_g

Applicando la LKT all'unica maglia del circuito abbiamo che questa tensione è la stessa tensione ai capi del generatore:

v_g(t) = v_R(t) = V_R

Per cui il generatore, per poter mantenere costante la corrente erogata, deve generare una tensione ai suoi capi che dipende dal valore della resistenza $R$ . Proviamo, quindi, a ricavare l'espressione della potenza assorbita dal carico:

P_R = R \cdot I_g^2

Quindi la potenza generata dal generatore dipende dal valore del carico resistivo. Anche in questo caso possiamo analizzare l'andamento della potenza in base al variare del carico.

Se la resistenza tende a zero, $R \rightarrow 0$ , il generatore dovrà generare una tensione nulla per cui non erogherà potenza. Infatti, dal momento che la corrente erogata è costante, $I_g$ , il generatore dovrà variare la tensione ai suoi morsetti in base al carico ma dato che $V_g = R \cdot I_g$ e $R = 0$ allora la tensione sarà nulla. Per cui, un generatore di corrente ideale collegato ad un corto circuito non eroga potenza.

**Figura 11:** Generatore di Corrente collegato ad un corto circuito

Viceversa, se la resistenza tende all'infinito, $R \rightarrow +\infty$ , ossia il se stacchiamo il generatore e lo lasciamo in circuito aperto, la potenza erogata tenderà all'infinito. Questa è la condizione più gravosa per il generatore.

**Figura 12:** Generatore di Corrente collegato ad un circuito aperto

Ovviamente un generatore reale non potrà mai erogare una potenza infinita.

In sintesi

In questa lezione abbiamo studiato le caratteristiche dei generatori indipendenti ideali. In particolare abbiamo visto il generatore di tensione e il generatore di corrente.

Questi due elementi attivi sono in grado, rispettivamente, di generare una tensione e una corrente indipendenti dal resto del circuito.

Per poter far questo, essi potrebbero generare una potenza infinita: per questo motivo sono elementi ideali. I generatori reali, che vedremo nelle future lezioni, ne sono una buona approssimazione se vengono rispettati certi limiti.

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