Resistori in Serie e Partitore di Tensione

In questa lezione studieremo il comportamento di due o più resistori in serie. In particolare, due resistori sono in serie se condividono in maniera esclusiva un nodo del circuito. Questa configurazione si presenta così spesso nei circuiti da meritare una lezione dedicata.

Vedremo che due o più resistori in serie possono essere sostituiti da un resistore con un valore di resistenza equivalente. Questa resistenza equivalente è pari alla somma dei singoli valori di resistenza.

Inoltre, applicando una tensione agli estremi di una serie di resistori, vedremo che essa verrà divisa tra i resistori stessi in maniera proporzionale al valore delle loro resistenze. Per questo motivo, questa configurazione circuitale prende il nome di Partitore di Tensione.

Due Resistori in Serie

La necessità di combinare più resistori in serie avviene così spesso in pratica che conviene studiare questo caso in dettaglio.

Partiamo dal semplice circuito riportato nella figura seguente:

Si tratta di un generatore di tensione ideale a cui sono collegati due resistori, $R_1$ ed $R_2$ , in serie. Proviamo a ricavare le grandezze elettriche in gioco.

Il circuito dell'esempio è composto da una singola maglia: $M_1$ . A questa maglia afferiscono un generatore di tensione e due resistori in serie, $R_1$ e $R_2$ .

Applicando la legge di kirchhoff delle tensioni alla maglia (andando in senso orario), otteniamo la seguente equazione:

\begin{equation} \label{kvl_voltage_divider} v_g(t) = v_1(t) + v_2(t) \end{equation}

Inoltre, se applichiamo la legge di Ohm ai due resistori otteniamo le due equazioni che seguono:

\begin{equation} \label{r1_voltage_divider} v_1(t) = R_1 \cdot i_1(t) \end{equation}

\begin{equation} \label{r2_voltage_divider} v_2(t) = R_2 \cdot i_2(t) \end{equation}

Successivamente, applicando la legge di kirchhoff delle correnti al nodo $n_2$ abbiamo che la corrente che scorre nei due resistori è identica, per cui:

\begin{equation} i_1(t) = i_2(t) \end{equation}

Se sostituiamo nell'equazione $\ref{kvl_voltage_divider}$ le due equazioni $\ref{r1_voltage_divider}$ e $\ref{r2_voltage_divider}$ , otteniamo l'espressione che segue:

v_g(t) = v_1(t) + v_2(t) = R_1 \cdot i_1(t) + R_2 \cdot i_2(t) \quad \Rightarrow

v_g(t) = R_1 \cdot i(t) + R_2 \cdot i(t) \quad \Rightarrow

\begin{equation} \label{two_r_in_series} v_g(t) = i(t) \cdot (R_1 + R_2) \end{equation}

Osservando l'equazione $\ref{two_r_in_series}$ possiamo notare che può essere riscritta in questo modo:

\begin{equation} v_g(t) = R_{eq} \cdot i(t) \end{equation}

dove

\begin{equation} R_{eq} = R_1 + R_2 \end{equation}

Detto in altri termini, possiamo sostituire al posto dei due resistori in serie, $R_1$ ed $R_2$ , un resistore equivalente con resistenza pari alla somma dei due resistori.

Definizione

Due Resistori in Serie

La Resistenza Equivalente di due resistori in serie, $R_1$ e $R_2$ , è pari alla somma delle loro resistenze:

R_{eq} = R_1 + R_2

In sostanza, sostituendo al posto di $R_1$ ed $R_2$ il resistore equivalente $R_{eq}$ otteniamo il circuito equivalente di seguito:

**Figura 2:** Resistore equivalente ai due resistori in serie

Generalizzazione al caso di più Resistori

Proviamo, adesso, ad esaminare il caso in cui vi sono più di due resistori in serie. Supponiamo di avere $n$ resistori come nel circuito in figura:

Seguiamo lo stesso procedimento fatto per il caso di due resistori. Dapprima applichiamo la LKV alla singola maglia. Per cui ricaviamo che la tensione applicata complessivamente, tra il nodo $n_1$ e il nodo $n_0$ , alla serie di resistori è quella erogata dal generatore:

\begin{equation} \label{m1} v_g(t) = v_1(t) + v_2(t) + \cdots + v_n(t) \end{equation}

Successivamente, applicando in successione la LKC ai vari nodi, sappiamo che la corrente che scorre in tutti i resistori deve essere necessariamente la stessa. Del resto, questo risultato si può ottenere anche intuitivamente notando che la corrente che attraversa un resistore deve essere la stessa che attraversa il successivo e così via; non c'è possibilità per cui possa essere differente. Per cui otteniamo che:

i_1(t) = i_2(t) = \cdots = i_n(t) = i(t)

Usiamo questo risultato combinato con la legge di ohm e riscriviamo l'equazione $\ref{m1}$ :

v_g(t) = R_1 \cdot i_1(t) + R_2 \cdot i_2(t) + \cdots + R_n \cdot i_n(t) \quad \Rightarrow

v_g(t) = R_1 \cdot i(t) + R_2 \cdot i(t) + \cdots + R_n \cdot i(t) \quad \Rightarrow

v_g(t) = \left( R_1 + R_2 + \cdots + R_n \right) \cdot i(t) \quad \Rightarrow

\begin{equation} \label{multiple_rs} v_g(t) = i(t) \cdot \sum_{i=1}^{n} R_i \end{equation}

Il risultato che abbiamo ottenuto è che, anche nel caso di più di due resistori in serie, la resistenza equivalente è pari alla somma delle resistenze.

Definizione

Resistenza Equivalente di più resistori in serie

La Resistenza Equivalente di un qualsiasi numero di resistori in serie, $n$ , è pari alla somma totale delle resistenze individuali:

R_{eq} = \sum_{i=1}^{n} R_i = R_1 + R_2 + \dots + R_n

Partitore di Tensione

Ora che abbiamo determinato la resistenza equivalente di più resistori in serie proviamo ad analizzare cosa accade ai capi dei singoli resistori. In particolare vogliamo capire quale sia la caduta di potenziale ai loro capi.

Ripartiamo dal caso di due resistori in serie, $R_1$ e $R_2$ :

**Figura 4:** Partitore di tensione - Due resistori in serie

Per far questo ricaviamo l'espressione della corrente che scorre nei resistori. Prendiamo l'equazione $\ref{multiple_rs}$ e ricaviamo l'espressione della corrente:

v_g(t) = i(t) \cdot \left( R_1 + R_2 \right) \quad \Rightarrow

v_g(t) = i(t) \cdot R_{eq} \quad \Rightarrow

\begin{equation} \label{current_in_series} i(t) = \frac{v_g(t)}{R_{eq}} \end{equation}

La corrente $i(t)$ che abbiamo trovato è identica per tutti e due i resistori. Dalla legge di ohm sappiamo che la tensione ai capi dei due resistori vale:

v_1(t) = R_1 \cdot i(t)

v_2(t) = R_2 \cdot i(t)

Sostituendo l'espressione $\ref{current_in_series}$ della corrente nelle due equazioni di sopra otteniamo:

v_1(t) = \frac{R_1}{R_{eq}} \cdot v_g(t) = \frac{R_1}{(R_1 + R_2)} \cdot v_g(t)

v_2(t) = \frac{R_2}{R_{eq}} \cdot v_g(t) = \frac{R_2}{(R_1 + R_2)} \cdot v_g(t)

Se osserviamo bene le due equazioni di sopra, notiamo che la tensione generata dal generatore è divisa tra i due resistori in maniera proporzionale al valore delle loro resistenze.

Per questo motivo, questa configurazione circuitale prende il nome di Partitore di tensione.

Definizione

Partitore di Tensione: caso di due resistenze in serie.

Una differenza di potenziale, $v$ applicata agli estremi di due resistori in serie, $R_1$ e $R_2$ , viene divisa tra i due resistori in maniera proporzionale al rapporto tra il valore delle loro singole resistenze e la somma totale delle resistenze:

v_1 = \frac{R_1}{(R_1 + R_2)} \cdot v

v_2 = \frac{R_2}{(R_1 + R_2)} \cdot v

Un caso molto interessante è quello in cui il valore delle due resistenze è identico: $R$ . In tal caso la tensione ai capi dei due resistori vale:

v_R = \frac{R}{2R} \cdot v = \frac{1}{2} \cdot v

In tal caso la tensione ai capi dei singoli resistori è esattamente la metà della tensione totale.

**Figura 5:** Partitore di tensione con due resistori di uguale resistenza

Partitore di Tensione con più di due resistori

Proviamo, adesso, a generalizzare il partitore di tensione al caso di più di due resistori. Il procedimento è abbastanza semplice, si parte dalla corrente uguale che scorre in tutti i resistori descritta dall'equazione:

i(t) = \frac{v_g(t)}{R_{eq}}

In questo caso, tuttavia, $R_{eq}$ è pari alla somma di tutte le resistenze, per cui:

\begin{equation} \label{current_in_series_multiple} i(t) = \frac{v_g(t)}{\sum_{i=1}^{n} R_i} = \frac{v_g(t)}{(R_1 + R_2 + \cdots + R_n)} \end{equation}

Troviamo la caduta di tensione ai capi di uno dei singoli resistori applicando la legge di ohm:

v_i(t) = R_i \cdot i(t)

Sostituiamo l'espressione della corrente $\ref{current_in_series_multiple}$ in quest'ultima equazione ottenendo:

v_i(t) = \frac{R_i}{(R_1 + R_2 + \cdots + R_n)} \cdot v_g(t)

Come è possibile osservare, la caduta di tensione ai capi del singolo resistore dipende dalla proporzione tra il suo valore di resistenza e la somma di tutte le resistenze.

Definizione

Partitore di Tensione: Caso generale

Una differenza di potenziale, $v$ applicata agli estremi di $n$ resistori in serie, $R_i$ , viene divisa tra i resistori in maniera proporzionale al rapporto tra il valore delle loro singole resistenze e la somma di tutte le resistenze:

v_i = \frac{R_i}{(R_1 + R_2 + \cdots + R_n)} \cdot v

In sintesi

In questa lezione abbiamo visto cosa accade quando due o più resistori sono posti in serie. Da un punto di vista elettrico, due o più resistori in serie sono equivalenti ad un unico resistore con un valore di resistenza equivalente pari alla somma delle singole resistenze individuali.

Inoltre, abbiamo determinato come una tensione applicata agli estremi della serie si ripartisca ai capi dei singoli resistori in maniera proporzionale al valore delle loro resistenze. La configurazione di due o più resistori in serie prende il nome di Partitore di Tensione.

Nella prossima lezione studieremo la configurazione duale in cui abbiamo due o più resistori in parallelo: il partitore di corrente.

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