Disuguaglianze Numeriche

Una disuguaglianza numerica è una relazione tra due numeri che permette di confrontarli. Le disuguaglianze esprimono i concetti di maggiore e minore stabilendo un ordine tra i numeri.

Questa lezione serve per introdurre il concetto di disuguaglianza e le sue proprietà che risulteranno fondamentali nello studio delle disequazioni.

Concetti Chiave
  • Le disuguaglianze sono relazioni d'ordine tra quantità;
  • A partire dalle leggi di monotonia di addizione e moltiplicazione è possibile ricavare tre proprietà fondamentali delle disuguaglianze.

Le Disuguaglianze numeriche

Le disuguaglianze numeriche mettono in relazione quantità numeriche tra di loro stabilendo una relazione di ordinamento. Esistono quattro simboli usati in matematica per esprimere una disuguaglianza:

Simbolo Significato
> Maggiore
\geq Maggiore o uguale
< Minore
\leq Minore o uguale
Tabella 1: Simboli matematici di disuguaglianza e loro significato
Esempio

Alcuni esempi di disuguaglianze numeriche sono:

5 > 4
3 < 4
-8 \leq -3

Come per il caso delle identità anche per le disuguaglianze le espressioni a sinistra e destra del simbolo prendono il nome di membri.

In particolare, l'espressione a sinistra del simbolo di disuguaglianza prende il nome di Primo Membro mentre l'espressione a destra del simbolo di disuguaglianza prende il nome di Secondo Membro.

Definizione

Disuguaglianza Numerica

Una Disuguaglianza Numerica definisce una relazione d'ordine tra due quantità. In altre parole, una relazione di confronto:

\underbrace{\Huge{A}}_{\text{Primo Membro}} {\Huge >} \underbrace{\Huge{B}}_{\text{Secondo Membro}}
  • L'espressione a sinistra del simbolo prende il nome di Primo Membro
  • L'espressione a destra prende il nome di Secondo Membro

Versi delle disuguaglianze

Nel caso di disuguaglianze che contengono i simboli di maggiore o minore si parla di verso della disuguaglianza o senso della disuguaglianza.

In particolare, due disuguaglianze con lo stesso simbolo si dicono con lo stesso verso. Due disuguaglianze con simboli diversi si dicono con verso opposto.

Esempio

Le due disuguaglianze che seguono hanno lo stesso verso:

5 < 7 \quad 8 < 16

Le due disuguaglianze seguenti hanno verso opposto:

4 < 5 \quad 12 > 10

Proprietà delle disuguaglianze

Le disuguaglianze godono di tre proprietà fondamentali che torneranno utili nello studio delle disequazioni.

Disuguaglianze e Monotonia dell'addizione

Per comprendere la prima proprietà partiamo da un esempio:

7 > 6

Questa disuguaglianza è verificata, in quanto 7 è maggiore di 6.

Proviamo a sommare ad entrambe i membri di questa disuguaglianza una stessa quantità. Ad esempio, il numero 5:

7 + 5 > 6 + 5
\rightarrow \quad 12 > 11

Anche dopo aver sommato il numero 5 ad entrambe i membri, la disuguaglianza continua ad essere verificata.

Lo stesso vale se la quantità è negativa. Proviamo a sommare ad entrambe i membri il numero -3:

7 - 3 > 6 - 3
\rightarrow \quad 4 > 3

Otteniamo una disuguaglianza ancora valida.

Questo risultato deriva direttamente dalla proprietà di monotonia dell'addizione e può essere generalizzato. Si può dimostrare, infatti, che sommando la stessa quantità ad entrambe i membri di una disuguaglianza essa continua ad essere verificata.

Definizione

Monotonia dell'Addizione e Disuguaglianze

Sommando ad entrambe i membri di una disuguaglianza la stessa quantità, positiva o negativa, si ottiene una disuguaglianza verificata con lo stesso verso

\Large A < B \quad \rightarrow \quad A + c < B + c
\Large A > B \quad \rightarrow \quad A + c > B + c

Moltiplicazione e Divisione per un numero

La seconda proprietà deriva dalla proprietà di monotonia della moltiplicazione e della divisione.

Ritorniamo all'esempio di prima:

7 > 6

Moltiplichiamo ambo i membri per una stessa quantità, ad esempio il numero 3:

7 \cdot 3 > 6 \cdot 3
\rightarrow \quad 21 > 18

La disuguaglianza ha lo stesso verso di quella di partenza e continua ad essere valida.

Le cose risultano diverse nel caso in cui moltiplichiamo ambo i membri per una quantità negativa. Infatti, in questo caso dobbiamo invertire il verso della disuguaglianza, altrimenti la disuguaglianza risultante non è valida. Per esempio, se moltiplichiamo per -2:

7 \cdot (-2) < 6 \cdot (-2)
\rightarrow \quad -14 < -12

La disuguaglianza risulta valida ma abbiamo dovuto invertire il verso.

Per la divisione valgono le stesse considerazioni. Prendiamo, ad esempio, la seguente disuguaglianza:

10 < 20

Se dividiamo ambo i membri per una quantità positiva, ad esempio il numero 5, otteniamo:

\frac{10}{5} < \frac{20}{5}
\rightarrow \quad 2 < 4

La disuguaglianza risultante continua ad essere valida.

Se dividiamo, invece, per una quantità negativa, ad esempio il numero -2, dobbiamo invertire il verso della disuguaglianza:

\frac{10}{-2} > \frac{20}{-2}
\rightarrow \quad -5 > -10
Definizione

Moltiplicazione e divisione di una disuguaglianza per una quantità positiva

Moltiplicando o Dividendo entrambe i membri di una disuguaglianza per una stessa quantità positiva, si ottiene una disuguaglianza verificata con lo stesso verso:

\Large A < B \quad \xrightarrow{c > 0} \quad A \cdot c < B \cdot c
\Large A < B \quad \xrightarrow{c > 0} \quad \frac{A}{c} < \frac{B}{c}
\Large A > B \quad \xrightarrow{c > 0} \quad A \cdot c > B \cdot c
\Large A > B \quad \xrightarrow{c > 0} \quad \frac{A}{c} > \frac{B}{c}
Definizione

Moltiplicazione e divisione di una disuguaglianza per una quantità negativa

Moltiplicando o Dividendo entrambe i membri di una disuguaglianza per una stessa quantità negativa, si ottiene una disuguaglianza verificata ma con verso opposto:

\Large A < B \quad \xrightarrow{c < 0} \quad A \cdot c > B \cdot c
\Large A < B \quad \xrightarrow{c < 0} \quad \frac{A}{c} > \frac{B}{c}
\Large A > B \quad \xrightarrow{c < 0} \quad A \cdot c < B \cdot c
\Large A > B \quad \xrightarrow{c < 0} \quad \frac{A}{c} < \frac{B}{c}

Ovviamente, tale proprietà non vale se si moltiplica per zero. la disuguaglianza non sarebbe verificata in questo caso.

Prendiamo l'esempio che segue:

5 < 9

Se moltiplichiamo ambo i membri per zero, otteniamo:

5 \cdot 0 < 9 \cdot 0
\rightarrow \quad 0 < 0

Questa disuguaglianza non è vera.

Analogamente, non ha senso dividere per zero. Si otterrebbero espressioni prive di significato.

Disuguaglianze e Reciproci

Un'ultima, importantissima, proprietà riguarda le disuguaglianze tra numeri reciproci.

Prendiamo l'esempio che segue:

2 < 3

Se prendiamo i reciproci dei numeri presenti nella disuguaglianza, otteniamo \frac{1}{2} e \frac{1}{3}. Tra questi due numeri esiste una relazione di disuguaglianza ma di verso opposto:

\frac{1}{2} > \frac{1}{3}

Analogamente, se prendiamo due numeri negativi:

-4 > -5 \quad \rightarrow \quad - \frac{1}{4} < - \frac{1}{5}

In sostanza, se prendiamo una disuguaglianza in cui i membri hanno segno concorde, possiamo ottenere una disuguaglianza con verso opposto se prendiamo i reciproci dei due membri.

Questo non vale se i due numeri hanno segno discorde. Ad esempio:

2 > -3 \quad \rightarrow \quad \frac{1}{2} > - \frac{1}{3}
Definizione

Disuguaglianze tra reciproci di quantità concordi

Date due quantità, o numeri, di segno concorde la disuguaglianza tra i loro reciproci ha il verso opposto rispetto alla disuguaglianza tra le quantità stesse:

\Large A > B \quad \rightarrow \quad \frac{1}{A} < \frac{1}{B}
\Large A < B \quad \rightarrow \quad \frac{1}{A} > \frac{1}{B}

In Sintesi

Le disuguaglianze rappresentano il punto di partenza fondamentale per affrontare lo studio delle disequazioni. Dalle loro proprietà, infatti, si ricavano le regole per risolvere i vari tipi di disequazioni.

A partire dalla prossima lezione inizieremo lo studio delle disequazioni concentrandoci sulle disequazioni di primo grado o disequazioni lineari.

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