Introduzione alle Disequazioni

Passiamo dalle Disuguaglianze numeriche alle Disequazioni. Una disequazione è una disuguaglianza in cui compaiono variabili letterali.

Le soluzioni di una disequazione costituiscono un insieme che prende il nome di Insieme delle Soluzioni. Qualsiasi valore di tale insieme, sostituito alla variabile, rende vera la disequazione.

In questa lezione studieremo i concetti preliminari per affrontare le disequazioni:

Definizione di disequazione e di insieme delle soluzioni;
Il concetto di dominio di una disequazione;
La rappresentazione delle soluzioni delle disequazioni tramite intervalli;
La rappresentazione grafica degli intervalli;
L'unione di intervalli;
La classificazione delle disequazioni in base alla presenza di parametri e all'eventuale presenza dell'incognita al denominatore.

Disequazioni

Nella lezione precedente abbiamo introdotto il concetto di disuguaglianza numerica e ne abbiamo studiato le proprietà.

Adesso, proviamo a considerare una disuguaglianza in cui compaiono delle variabili. Queste disuguaglianze sono dette disequazioni.

Prendiamo, ad esempio, la seguente disequazione:

x - 2 &lt; 4

Intuitivamente, si può capire che tale disuguaglianza non è sempre vera ma, anzi, dipende dal valore che assume la variabile $x$ .

Proviamo a vedere quali valori di $x$ rendono vera la disequazione. Dal momento che non abbiamo ancora studiato un metodo che ci permette di risolvere le disequazioni, possiamo procedere per tentativi.

Proviamo a sostituire alla variabile $x$ alcuni valori e vediamo se la disequazione risulta vera.

x = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 - 2 &lt; 4 \quad \Rightarrow \quad -1 &lt; 4

La disequazione è vera, quindi $x = 1$ è una soluzione della disequazione.

x = 3 \quad \Rightarrow \quad 3 - 2 &lt; 4 \quad \Rightarrow \quad 1 &lt; 4

Anche in questo caso la disequazione è vera, quindi $x = 3$ è una soluzione della disequazione.

x = 5 \quad \Rightarrow \quad 5 - 2 &lt; 4 \quad \Rightarrow \quad 3 &lt; 4

Anche per $x = 5$ la disequazione è vera.

Se proviamo a sostituire alla variabile $x$ un valore maggiore di $5$ , ad esempio $x = 6$ , otteniamo:

6 - 2 &lt; 4 \quad \Rightarrow \quad 4 &lt; 4

La disequazione non è più vera, quindi $x = 6$ non è una soluzione della disequazione.

Quindi, ne possiamo concludere che la disequazione $x - 2 < 4$ è vera per tutti i valori di $x$ minori di $6$ .

Definizione

Disequazione

Una disequazione è una disuguaglianza in cui compaiono variabili letterali.

Risolvere una disequazione significa trovare l'insieme dei valori che le variabili possono assumere per rendere vera la disuguaglianza.

Le variabili di cui si cerca l'insieme dei valori sono dette incognite.

A differenza delle equazioni, le disequazioni possono avere più soluzioni e, in generale, si parla di Insieme delle soluzioni.

Ritornando all'esempio di prima, infatti, possiamo dire che l'insieme delle soluzioni della disequazione $x - 2 < 4$ è:

\{ x \in \mathbb{R} \mid x &lt; 6 \}

Per brevità, scriveremo l'insieme delle soluzioni semplicemente come:

x &lt; 6

Definizione

Insieme delle Soluzioni di una Disequazione

L'insieme dei valori che le variabili possono assumere per rendere vera una disequazione prende il nome di Insieme delle Soluzioni.

Dominio di una Disequazione

Le soluzioni di una disequazione dipendono dai valori che le variabili possono assumere. Questi valori sono detti dominio della disequazione.

Di fondamentale importanza è conoscere quale sia il dominio perché le soluzioni di una disequazione devono essere compatibili con tale dominio. In altre parole, se $S$ è l'insieme delle soluzioni e $D$ è il dominio, il vero insieme delle soluzioni deve essere l'intersezione tra i due:

S \cap D

Per comprendere meglio il concetto di dominio, consideriamo la seguente disequazione:

x + 1 &gt; 4

Supponiamo che il dominio in cui dobbiamo cercare le soluzioni sia dato come l'insieme dei valori reali maggiori o uguali di 10:

D = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 10 \right\}

Tuttavia, le soluzioni della disequazione appartengono all'insieme $S$ :

S = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x &gt; 3 \right\}

Quindi, in $S$ ci sono soluzioni che non appartengono al dominio $D$ . Ad esempio, $x = 4$ è una soluzione della disequazione ma non appartiene al dominio $D$ .

L'insieme effettivo delle soluzioni, pertanto, si ottiene come intersezione tra $S$ e $D$ :

S \cap D = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq 10 \right\}

Definizione

Dominio di una Disequazione

Il dominio di una disequazione è l'insieme dei valori che le variabili possono assumere.

L'insieme finale delle soluzioni di una disequazione è l'intersezione tra l'insieme delle soluzioni e il dominio:

S \cap D

Nota

Disequazioni nell'insieme dei numeri reali

In questo corso, se non diversamente specificato, considereremo le disequazioni che hanno come dominio l'insieme dei numeri reali: $D = \left\{ x \in \mathbb{R} \right\}$ .

Rappresentazione delle Soluzioni delle Disequazioni

Nella maggior parte dei casi, l'insieme delle soluzioni di una disequazione lineare ad una variabile è dato da:

l'insieme dei valori reali che sono maggiori o maggiori o uguali di un certo valore reale; ad esempio:

$x > 3 \quad \text{oppure} \quad x \geq 3$
l'insieme dei valori reali che sono minori o minori o uguali di un certo valore reale; ad esempio:

$x < 3 \quad \text{oppure} \quad x \leq 3$
l'insieme dei valori reali che sono compresi tra due valori reali; ad esempio:

$1 < x < 3$

In tal caso, tali insiemi prendono il nome di intervalli. Infatti, si tratta di insiemi di valori reali compresi fra due estremi.

Gli intervalli possono essere categorizzati in due modi:

In base al fatto che siano limitati o illimitati;
In base al fatto che siano chiusi o aperti.

Vediamo, nel dettaglio, le varie tipologie di intervalli.

Definizione

Intervallo Limitato

Siano dati due numeri $a$ e $b$ appartenenti ad $\mathbb{R}$ con $a < b$ .

Un'Intervallo Limitato è l'insieme dei numeri reali $x$ compresi tra $a$ e $b$ .

I due numeri $a$ e $b$ prendono il nome di estremi dell'intervallo:

$a$ è l'estremo inferiore;
$b$ è l'estremo superiore.

I due estremi possono appartenere o meno all'intervallo.

Definizione

Intervallo Illimitato

Sia dato un numero $a$ appartenente ad $\mathbb{R}$ .

Un'Intervallo Illimitato è l'insieme dei numeri reali $x$ che sono maggiori o minori di $a$ .

L'intervallo illimitato può essere di due tipi:

L'insieme dei numeri minori di $a$ prende il nome di Intervallo Illimitato a Sinistra o Intervallo Illimitato inferiormente;
L'insieme dei numeri maggiori di $a$ prende il nome di Intervallo Illimitato a Destra o Intervallo Illimitato superiormente.

L'elemento $a$ può appartenere o meno all'intervallo.

Nelle definizioni di intervalli limitati e illimitati, abbiamo detto che gli estremi o l'estremo possono appartenere o meno all'intervallo stesso. Ciò dipende dal tipo di relazione in gioco.

Ad esempio, l'intervallo che segue:

1 \leq x \leq 3

è un intervallo limitato in cui $1$ e $3$ sono compresi nell'intervallo. Lo si deduce dal fatto che la disuguaglianza è del tipo $\leq$ , ossia minore o uguale.

Viceversa l'intervallo:

1 &lt; x &lt; 3

è un intervallo limitato in cui $1$ e $3$ non sono compresi nell'intervallo. In particolare, l'intervallo in questione contiene gli stessi elementi del precedente a meno degli estremi.

Per quanto riguarda, invece, gli intervalli illimitati, introduciamo due simboli che ci permettono di rappresentare tali intervalli:

$+\infty$ rappresenta l'infinito positivo e si legge "più infinito";
$-\infty$ rappresenta l'infinito negativo e si legge "meno infinito".

Si noti che questi due simboli non rappresentano due numeri reali e vengono introdotti più per comodità che per altro.

Per cui, l'intervallo illimitato a sinistra:

x &lt; 3

può essere rappresentato come:

-\infty &lt; x &lt; 3

Mentre l'intervallo illimitato a destra:

x &gt; 3

può essere rappresentato come:

3 &lt; x &lt; +\infty

Quindi, anche per gli intervalli illimitati, si possono indicare i due estremi dove, però, uno di essi è l'infinito, positivo o negativo che sia.

Per semplificare la notazione, si usa tipicamente rappresentare gli intervalli usando la coppia di estremi dell'intervallo racchiusi tra parentesi quadre e separati da una virgola.

Chiariamo con degli esempi:

L'intervallo $1 \leq x \leq 3$ può essere rappresentato come:

$[1, 3]$

In questo caso l'intervallo contiene i propri estremi; Si parla, in questo caso, di intervallo chiuso.
L'intervallo $1 < x < 3$ si rappresenta, invece, come:

$]1, 3[$

In questo caso l'intervallo non contiene i propri estremi; da notare che, non contenendo i propri estremi, le parentesi quadre sono rivolte verso l'esterno rispetto agli estremi dell'intervallo.

Si parla, in questo caso, di intervallo aperto.
Possono esistere intervalli misti, ossia che includono un estremo ma non l'altro. Ad esempio:

$[1, 3[$

In questo caso l'intervallo include l'estremo inferiore ma non quello superiore: $1 \leq x < 3$ .

Si tratta di un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra.

Se prendiamo il seguente intervallo, invece:

$]1, 3]$

Otteniamo l'intervallo $1 < x \leq 3$ .

Si tratta di un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra.
Per gli intervalli illimitati, dal momento che $+\infty$ e $-\infty$ non sono numeri reali, la parentesi quadra non è mai rivolta verso l'infinito. Ad esempio, l'intervallo:

$]-\infty, 3[$

rappresenta l'insieme dei numeri reali minori di $3$ . Mentre l'intervallo:

$[1, +\infty[$

rappresenta l'insieme dei numeri reali maggiori o uguali a $1$ .

Definizione

Notazioni per gli intervalli

Siano dati due numeri $a$ e $b$ appartenenti ad $\mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \}$ con $a < b$ .

Un intervallo di numeri reali compreso tra $a$ e $b$ può essere rappresentato in tre modi:

l'intervallo chiuso che include entrambe gli estremi:

$a \leq x \leq b \quad \rightarrow \quad [a, b]$
l'intervallo aperto che non include entrambi gli estremi:

$a < x < b \quad \rightarrow \quad ]a, b[$
l'intervallo semi-aperto che include uno degli estremi ma non l'altro:

$a \leq x < b \quad \rightarrow \quad [a, b[$

$a < x \leq b \quad \rightarrow \quad ]a, b]$

Nel caso in cui uno degli estremi sia $+\infty$ o $-\infty$ , la notazione è la seguente:

l'intervallo illimitato a sinistra:

$x < b \quad \rightarrow \quad ]-\infty, b[$

$x \leq b \quad \rightarrow \quad ]-\infty, b]$
l'intervallo illimitato a destra:

$x > a \quad \rightarrow \quad [a, +\infty[$

$x \geq a \quad \rightarrow \quad ]a, +\infty[$

In molti testi si usa una notazione alternativa, dove, per gli estremi non inclusi, anziché usare una parentesi quadra rivolta verso l'esterno, si usa una parentesi tonda. Ad esempio:

L'intervallo $1 < x < 3$ può essere rappresentato come:

$(1, 3)$

anziché:

$]1, 3[$
L'intervallo $1 \leq x < 3$ può essere rappresentato come:

$[1, 3)$

anziché:

$[1, 3[$
L'intervallo $-\infty < x \leq 3$ può essere rappresentato come:

$(-\infty, 3]$

anziché:

$]-\infty, 3]$

Definizione

Notazione alternativa per gli intervalli

Una notazione alternativa, utilizzata molto nei testi anglosassoni, per rappresentare gli intervalli è quella di adoperare una parentesi tonda per gli estremi non inclusi.

In tal caso, gli intervalli si rappresentano come:

l'intervallo chiuso:

$[a, b]$
l'intervallo aperto:

$(a, b)$
l'intervallo semi-aperto:

$[a, b)$

$(a, b]$

Rappresentazione Grafica degli Intervalli

Per semplicità, a volte si rappresentano gli intervalli graficamente su una retta orientata. Questa notazione risulta utile, come vedremo, per risolvere insiemi di disequazioni.

In tal caso, esistendo una corrispondenza tra i punti di una retta orientata ed i numeri reali, si rappresentano gli intervalli come segmenti di retta. In particolare:

Una linea continua rappresenta l'insieme delle soluzioni della disequazione;
Una linea tratteggiata rappresenta l'insieme dei numeri reali che non corrispondono a soluzioni;
Un cerchietto pieno rappresenta un estremo dell'insieme incluso nell'insieme delle soluzioni;
Un cerchietto vuoto rappresenta un estremo dell'insieme non incluso nell'insieme delle soluzioni.

Chiariamo il tutto con qualche esempio.

Supponiamo di voler rappresentare graficamente il seguente intervallo:

x \geq 2

Graficamente diventa:

**Figura 1:** Rappresentazione dell'intervallo di soluzioni x ≥ 2

Come si può vedere, la semiretta a destra del punto corrispondente a 2 è disegnata in modo continuo e il cerchietto è pieno, poiché $2$ è incluso nell'intervallo. Viceversa, la semiretta a sinistra di $2$ è disegnata in maniera tratteggiata, poiché i numeri ad essa appartenenti ad essa non appartengono all'intervallo.

Proviamo, adesso, a rappresentare il seguente insieme:

x &lt; 3

Graficamente diventa:

**Figura 2:** Rappresentazione dell'intervallo di soluzioni x < 3

In questo caso abbiamo che:

Nel punto della retta corrispondente al $3$ abbiamo inserito un cerchietto vuoto dal momento che esso non è soluzione;
La semiretta alla sua sinistra, quindi tutti i numeri minori di $3$ , è disegnata in maniera continua poiché essi appartengono all'intervallo;
La semiretta alla sua destra, quindi tutti i numeri maggiori di $3$ , è disegnata in maniera tratteggiata poiché essi non appartengono all'intervallo.

Concludiamo con un ultimo esempio. Vogliamo rappresentare l'intervallo:

-1 \leq x &lt; 3

In questo caso abbiamo che uno dei due estremi è incluso mentre il secondo no. La rappresentazione è riportata in figura:

**Figura 3:** Rappresentazione dell'intervallo di soluzioni -1 ≤ x < 3

Come si può osservare:

Il cerchietto in corrispondenza di $-1$ è pieno poiché $-1$ è incluso nell'intervallo;
Il cerchietto in corrispondenza di $3$ è vuoto poiché $3$ non è incluso nell'intervallo;
Solo il segmento compreso tra $-1$ e $3$ è disegnato in maniera continua, poiché esso rappresenta l'insieme delle soluzioni.

Unione di Intervalli

Nella risoluzione delle disequazioni possono presentarsi situazioni in cui si debbano considerare più intervalli di soluzioni. Cioè, le soluzioni appartengono a più intervalli disgiunti.

Ad esempio, potremmo avere che le soluzioni di una disequazione siano:

x &lt; 2 \quad \text{oppure} \quad x &gt; 5

Questa situazione può essere espressa in due modi:

Adoperando i connettivi logici, si può scrivere:

$x < 2 \quad \vee \quad x > 5$

Dove il simbolo $\vee$ rappresenta la disgiunzione logica.
Usando l'operatore di unione di insiemi:

$\left]-\infty, 2\right[ \quad \cup \quad \left]5, +\infty\right[$

Dove il simbolo $\cup$ rappresenta l'unione di due insiemi.

Graficamente, l'unione di due intervalli si rappresenta in questo modo:

**Figura 4:** Unione degli intervalli x < 2 e x > 5

Tipi di Disequazioni

Così come per le equazioni, anche le disequazioni possono essere catalogate in forma simile in base al tipo di coefficienti che compaiono, al fatto che l'incognita appaia al denominatore e così via.

In particolare, Possiamo distinguere le equazioni in base al fatto che sia presente, come lettera, solo l'incognita oppure compaiano altre lettere:

Definizione

Disequazioni Numeriche

Le Disequazioni Numeriche sono disequazioni in cui l'unica lettera presente è l'incognita.

Esempi di disequazioni numeriche sono:

x + 2 &lt; 5

3x - 1 \geq 2

Definizione

Disequazioni Letterali

Le Disequazioni Letterali sono disequazioni in cui compaiono anche altre lettere oltre all'incognita.

Tali lettere prendono il nome di parametri, per cui tali disequazioni sono spesso note come disequazioni parametriche.

Esempi di disequazioni letterali sono:

x + a &lt; 5

3x - b \geq 2

Un'altra classificazione dipende se l'incongnita compare al denominatore di una frazione oppure no:

Definizione

Disequazioni Intere

Le Disequazioni Intere sono disequazioni in cui l'incognita non compare al denominatore di una frazione.

Definizione

Disequazioni Fratte

Le Disequazioni Fratte sono disequazioni in cui l'incognita compare al denominatore di una frazione.

Esempi di disequazioni fratte sono:

\frac{1}{x-2} + x \geq 4

\frac{3}{x+1} - 2 &lt; 1

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto le disequazioni.

Ci siamo concentrati su:

La definizione di disequazione e di insieme delle soluzioni;
Il concetto di dominio di una disequazione;
La rappresentazione delle soluzioni delle disequazioni tramite intervalli;
La rappresentazione grafica degli intervalli;
L'unione di intervalli;
La classificazione delle disequazioni in base alla presenza di parametri e all'eventuale presenza dell'incognita al denominatore.

Non abbiamo visto ancora come possono essere risolte. Per farlo dobbiamo, così come nel caso delle equazioni, introdurre il concetto di Disequazione Equivalente e studiare i Princìpi di Equivalenza delle Disequazioni. Questi saranno gli argomenti della prossima lezione.

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