Princìpi di Equivalenza delle Disequazioni

Per poter risolvere una disequazione, è necessario conoscere i princìpi di equivalenza che ci permettono di trasformare una disequazione in un'altra ad essa equivalente.

In questo modo, possiamo semplificare la disequazione di partenza fino ad ottenere una forma più semplice che ci permetta di trovare facilmente le soluzioni.

In questa lezione partiremo dal concetto di disequazioni equivalenti e, partendo dalle proprietà delle disuguaglianze, introdurremo i principi di equivalenza per le disequazioni.

Disequazioni Equivalenti

Così come per le equazioni, anche per le disequazioni il procedimento di risoluzione si basa su trasformazioni successive da una disequazione ad un'altra ad essa equivalente.

In altre parole, si prende la disequazione di partenza e, iterativamente, la si trasforma in altre disequazioni equivalenti sempre più semplici, fino ad ottenere una disequazione che si possa risolvere facilmente.

Quindi, il primo passo per poter affrontare lo studio della risoluzione delle disequazioni consiste nel definire cosa si intende per disequazioni equivalenti:

Definizione

Disequazioni Equivalenti

Due disequazioni si dicono equivalenti se:

Sono definite sullo stesso dominio;
I loro insiemi di soluzioni, $S_1$ e $S_2$ , coincidono.

Ad esempio, le due disequazioni che seguono sono equivalenti tra di loro:

\begin{array}{l} x + 3 &gt; 5 \\ x &gt; 2 \end{array}

Infatti, entrambe le disequazioni sono definite per tutti i numeri reali e i loro insiemi di soluzioni coincidono, ovvero $S_1 = S_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\}$ .

Un'importante osservazione da fare è che l'equivalenza tra disequazioni non dipende dalla particolare incognita che si sta considerando. Infatti, le due disequazioni seguenti sono equivalenti tra di loro:

\begin{array}{l} x - 3 &gt; 4 \\ y - 1 &gt; 6 \end{array}

In altre parole, le due disequazioni di sopra sono equivalenti tra di loro anche se l'incognita $x$ compare nella prima e l'incognita $y$ compare nella seconda. Non importa la lettera adoperata per indicare l'incognita in quanto basta effettuare una sostituzione del tipo:

y = x \quad \Rightarrow \quad x - 1 &gt; 6

Definizione

Cambio di Incognita nelle Disequazioni

Due disequazioni equivalenti tra di loro continuano ad esserlo anche se si sostituisce l'incognita con un'altra.

Adesso che abbiamo definito l'equivalenza per le disequazioni è possibile introdurre i principi di equivalenza che ci permetteranno di trasformare una disequazione in un'altra ad essa equivalente.

Primo Principio di Equivalenza delle Disequazioni

Sappiamo, dalla lezione sulle disuguaglianze numeriche, che in base alla legge di monotonia dell'addizione possiamo sommare o sottrarre un numero ad entrambi i membri di una disuguaglianza senza alterarne il segno.

Da questa proprietà possiamo ricavare il primo principio di equivalenza delle disequazioni:

Definizione

Primo Principio di Equivalenza delle Disequazioni

Aggiungendo o Sottraendo ad entrambe i membri di una disequazione la stessa quantità o espressione algebrica, si ottiene una disequazione equivalente purché la quantità o espressione sia definita per lo stesso dominio della disequazione di partenza.

Osservando bene, questo principio è del tutto simile al primo principio di equivalenza delle equazioni, con la differenza che in questo caso stiamo trattando delle disequazioni.

La cosa importante da notare riguarda il fatto che, se aggiungiamo o sottraiamo un'espressione letterale, quest'ultima deve essere definita sullo stesso dominio.

Ad esempio, prendiamo la disequazione che segue:

x + 4 &gt; 2

Possiamo aggiungere ad ambo i membri l'espressione $x - 1$ :

x + 4 + (x - 1) &gt; 2 + (x - 1) \quad \Rightarrow \quad 2x + 3 &gt; x + 1

Lo abbiamo potuto fare in quanto $x - 1$ è definito per tutti i numeri reali.

Viceversa, non possiamo aggiungere un'espressione del tipo $\frac{1}{x}$ in quanto non è definita per $x = 0$ quindi non sarebbe definita per il dominio della disequazione che corrisponde, in questo caso, a tutto l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ . Per cui, aggiungengo $\frac{1}{x}$ ad entrambi i membri otterremmo una disequazione che non sarebbe equivalente alla prima.

Da questo principio possiamo, come abbiamo già fatto per le equazioni, ricavare due regole fondamentali:

Definizione

Regola del Trasporto per le Disequazioni

Data una disequazione, possiamo ottenere un'altra disequazione ad essa equivalente se prendiamo un termine e lo trasportiamo da un membro all'altro, cambiandone il segno:

La regola del trasporto per le disequazioni è facile da verificare sperimentalmente. Ad esempio, consideriamo la disequazione:

x + 3 &gt; 5

Al primo membro abbiamo il termine $+3$ . In base al primo principio di equivalenza, possiamo sommare la stessa quantità ad ambo i membri. Per cui, per semplificare, possiamo aggiungere $-3$ , ossia l'opposto di $3$ , ad entrambi i membri:

x + \cancel{3} - \cancel{3} &gt; 5 - 3 \quad \Rightarrow \quad x &gt; 5 - 3

Avendo sommato il valore opposto del termine in questione, lo abbiamo eliminato dal primo membro e lo abbiamo trasportato, con segno modificato, al secondo membro.

La regola del trasporto ci consente di saltare questi passaggi intermedi e di scrivere direttamente la disequazione equivalente.

L'importante è sempre tenere presente quali sono le operazioni che stiamo effettuando dietro le quinte.

La seconda regola che possiamo ricavare dal primo principio di equivalenza è la regola di cancellazione:

Definizione

Regola di Cancellazione per le Disequazioni

Data una disequazione, possiamo ottenere un'altra disequazione ad essa equivalente se si cancellano i termini uguali presenti in entrambi i membri.

Anche la regola di cancellazione si può verificare sperimentalmente. Consideriamo la disequazione:

x - 2 &gt; (4 - x) - 2

Sfruttando il primo principio di equivalenza, possiamo sottrarre $-2$ ad entrambi i membri:

x - 2 - (-2) &gt; (4 - x) - 2 - (-2) \quad \Rightarrow \quad x &gt; 4 - x

In questo esempio è come se avessimo cancellato il termine $-2$ presente in entrambi i membri.

Possiamo, quindi, velocizzare il tutto cancellando direttamente il termine comune presente:

x \cancel{ - 2} &gt; (4 - x) \cancel{ - 2} \quad \Rightarrow \quad x &gt; 4 - x

Secondo Principio di Equivalenza delle Disequazioni

Il primo principio di equivalenza per le disequazioni è simile in tutto e per tutto al primo principio di equivalenza per le equazioni. Così come le due regole sopra trovate.

Per quanto riguarda, invece, il secondo principio di equivalenza vi sono delle differenze fondamentali da tenere presente.

Per comprendere meglio come funzioni il secondo principio, ci conviene distinguere due casi ed esaminarli separatamente:

Caso 1: Moltiplicazione o Divisione per un Numero o Quantità;
Caso 2: Moltiplicazione o Divisione per un'Espressione Letterale.

Studiamo i due casi separatamente.

Caso 1: Moltiplicazione o Divisione per un Numero

Quando si moltiplicano entrambi i membri di una disequazione per un numero bisogna prestare attenzione al segno del numero stesso.

Infatti, come visto nella lezione sulle Disuguaglianze Numeriche, se il numero è positivo la disequazione non cambia verso, mentre se il numero è negativo la disequazione cambia verso.

Per cui, il secondo principio di equivalenza per le disequazioni, nel caso di moltiplicazione o divisione per un numero, è il seguente:

Definizione

Secondo Principio di Equivalenza delle Disequazioni (Caso 1)

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per un numero diverso da zero, si ottiene una disequazione equivalente purché siano rispettate le seguenti condizioni:

Se il numero è positivo, la disequazione non cambia verso;
Se il numero è negativo, la disequazione cambia verso.

Prendiamo un esempio per chiarire meglio il concetto. Consideriamo la disequazione:

x + 3 &gt; 5

Se moltiplichiamo ambo i membri della disequazione per $2$ , quindi un numero positivo, otteniamo:

2 \cdot (x + 3) &gt; 2 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad 2x + 6 &gt; 10

Come si può notare, la disequazione non ha cambiato verso.

Viceversa, se moltiplichiamo ambo i membri della disequazione per $-2$ , quindi un numero negativo, otteniamo:

-2 \cdot (x + 3) {\color{red}{&lt;}} -2 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad -2x - 6 {\color{red}{&lt;}} -10

Abbiamo dovuto invertire il verso della disequazione da maggiore a minore.

Tenendo a mente questo comportamento, possiamo ricavare due regole fondamentali:

Definizione

Regola di Semplificazione per le Disequazioni

Data una disequazione, possiamo ottenere un'altra disequazione ad essa equivalente se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per uno stesso fattore numerico diverso da zero, ma cambiando il verso della disequazione se il fattore è negativo:

\Large \text{Data} \quad a \cdot A(x) &gt; a \cdot B(x) \quad \text{e} \quad a \neq 0

\Large \begin{array}{l} \text{Se} \quad a &gt; 0 \\ \cancel{a} \cdot A(x) &gt; \cancel{a} \cdot B(x) \quad \Rightarrow \quad A(x) &gt; B(x) \end{array}

\Large \begin{array}{l} \text{Se} \quad a &lt; 0 \\ \cancel{a} \cdot A(x) &gt; \cancel{a} \cdot B(x) \quad \Rightarrow \quad A(x) &lt; B(x) \end{array}

La regola di Semplificazione deriva direttamente dal fatto che possiamo dividere ambo i membri per lo stesso numero, cambiando il verso della disequazione se il numero è negativo.

Vediamo due esempi.

Esempio

Prendiamo la disequazione:

2x + 4 &gt; 8

Raccogliamo a fattor comune il primo membro:

2 \cdot (x + 2) &gt; 8

A questo punto possiamo dividere ambo i membri per $2$ :

\frac{2 \cdot (x + 2)}{2} &gt; \frac{8}{2} \quad \Rightarrow \quad x + 2 &gt; 4

Non c'è stato bisogno di modificare il verso della disequazione in quanto $2$ è positivo.

Adoperando la regola di semplificazione, possiamo riassumere i passaggi di sopra in un solo passaggio:

\cancelto{1}{2}x + \cancelto{2}{4} &gt; \cancelto{4}{8}

x + 2 &gt; 4

Esempio

Prendiamo la disequazione:

-3x - 6 &gt; 9

Raccogliamo a fattor comune il primo membro:

-3 \cdot (x + 2) &gt; 9

A questo punto possiamo dividere ambo i membri per $-3$ ricordandoci, però, di invertire il verso della disequazione:

\frac{-3 \cdot (x + 2)}{-3} &lt; \frac{9}{-3} \quad \Rightarrow \quad x + 2 &lt; -3

Adoperando la regola di semplificazione, possiamo riassumere i passaggi di sopra:

\cancelto{1}{-3}x + \cancelto{2}{-6} &lt; \cancelto{-3}{9}

x + 2 &lt; -3

La seconda regola discende direttamente dal fatto che possiamo moltiplicare entrambi i membri per $-1$ :

Definizione

Regola di Cambiamento del Segno per le Disequazioni

Data una disequazione, possiamo ottenere un'altra disequazione ad essa equivalente se si invertono tutti i segni dei termini presenti in entrambi i membri e si inverte il verso della disequazione:

\Large \text{Data} \quad A(x) &gt; B(x)

\Large \text{Allora} \quad -A(x) &lt; -B(x)

Vediamo un esempio di applicazione:

Esempio

Prendiamo la disequazione:

-4x + 2 &gt; 6

In questo caso abbiamo che l'incognita ha un coefficiente negativo. Possiamo ottenere una disequazione equivalente moltiplicando i due membri per $-1$ e invertendo il verso:

-1 \cdot (-4x + 2) &lt; -1 \cdot 6 \quad \Rightarrow \quad 4x - 2 &lt; -6

Caso 2: Moltiplicazione o Divisione per un'Espressione Letterale

Quando si moltiplicano entrambi i membri di una disequazione per un'espressione letterale bisogna prestare attenzione.

A differenza del caso delle equazioni, non possiamo applicare sempre il secondo principio di equivalenza.

L'estensione del secondo principio di equivalenza alle disequazioni alle espressioni algebriche è possibile solo in un caso particolare: quando l'espressione è sempre positiva oppure sempre negativa.

Per comprendere meglio, prendiamo un esempio. Supponiamo di avere la seguente disequazione:

x + 3 &gt; 5

Se moltiplichiamo ambo i membri per $x^2$ , otteniamo:

x^2 \cdot (x + 3) &gt; x^2 \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad x^3 + 3x^2 &gt; 5x^2

La disequazione che abbiamo ottenuto è equivalente alla prima per il fatto che l'espressione che abbiamo utilizzato nella moltiplicazione, $x^2$ , è sempre positiva. Infatti, qualunque valore assuma $x$ , $x^2$ sarà sempre positivo.

Viceversa, se moltiplichiamo i due membri per $x - 2$ , otteniamo:

(x - 2) \cdot (x + 3) &gt; (x - 2) \cdot 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 6 &gt; 5x - 10

Ma quella che abbiamo ottenuto non è una disequazione equivalente. Infatti, l'espressione $x-2$ ha segno variabile a seconda del valore che assume $x$ . Se $x$ è maggiore di $2$ allora $x-2$ è positivo, altrimenti è negativo. In tal caso il secondo principio non può essere applicato.

Prendiamo un altro esempio:

x^2 &gt; x

Saremmo tentati, per semplificare la disequazione, di dividere ambo i membri per $x$ :

\frac{x^2}{x} &gt; \frac{x}{x} \quad \Rightarrow \quad x &gt; 1

Ma la disequazione ottenuta non è equivalente. Infatti, se $x$ è negativo, la disequazione iniziale è vera, mentre quella ottenuta dalla divisione è falsa. Ad esempio, sostituendo $-2$ nella disequazione di partenza otteniamo:

(-2)^2 &gt; -2 \quad \Rightarrow \quad 4 &gt; -2

quindi $-2$ è soluzione della prima disequazione. Ma, se sostituiamo $-2$ nella disequazione ottenuta dalla divisione, otteniamo:

-2 &gt; 1

che è falsa.

Non possiamo dividere ambo i membri per $x$ dal momento che si tratta di un'espressione che cambia segno al variare di $x$ . Inoltre, se $x=0$ la divisione non è possibile. Quindi questa divisione andrebbe a violare il dominio della disequazione di partenza.

Ricapitolando:

Definizione

Secondo Principio di Equivalenza delle Disequazioni (Caso 2)

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per un'espressione letterale, si ottiene una disequazione equivalente solo se si rispettano le seguenti condizioni:

L'espressione letterale deve essere definita sullo stesso dominio della disequazione di partenza;
L'espressione letterale deve essere sempre positiva o sempre negativa su tutto l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ . Nel caso sia sempre negativa, bisogna invertire il verso della disequazione.

Sia $D$ il dominio della disequazione di partenza.

\Large \text{Data} \quad A(x) &gt; B(x) \quad \text{e} \quad C(x) \quad \text{definita su} \quad D

\Large \text{Se} \quad C(x) &gt; 0 \quad \forall x \in D

\Large \text{Allora} \quad C(x) \cdot A(x) &gt; C(x) \cdot B(x)

\Large \text{Se} \quad C(x) &lt; 0 \quad \forall x \in D

\Large \text{Allora} \quad C(x) \cdot A(x) &lt; C(x) \cdot B(x)

In Sintesi

In questa lezione abbiamo studiato che:

Due disequazioni si dicono equivalenti se sono definite sullo stesso dominio e i loro insiemi di soluzioni coincidono;
Il primo principio di equivalenza per le disequazioni ci permette di trasformare una disequazione in un'altra ad essa equivalente aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri la stessa quantità o espressione algebrica;
Dal primo principio abbiamo ricavato due regole fondamentali: la regola del trasporto e la regola di cancellazione;
Il secondo principio di equivalenza per le disequazioni ci permette di trasformare una disequazione in un'altra ad essa equivalente moltiplicando o dividendo entrambi i membri per un numero;
Nel caso di moltiplicazione o divisione per un'espressione letterale, il secondo principio di equivalenza può essere applicato solo se l'espressione è sempre positiva o sempre negativa su tutto il dominio della disequazione.

Adesso, con questi nuovi strumenti disponibili, possiamo affrontare lo studio della risoluzione delle disequazioni a partire dalla prossima lezione.

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