Formula Ridotta per le Equazioni di Secondo Grado

Questa lezione introduce un metodo alternativo per risolvere le equazioni di secondo grado partendo dalla formula classica.

Si tratta di una strategia mirata a semplificare i passaggi di calcolo quando il coefficiente $b$ è particolarmente favorevole (in particolare quando è divisibile per 2). Vedremo esempi pratici di applicazione per acquisirne dimestichezza.

La formula ridotta per le equazioni di secondo grado

Nella lezione precedente abbiamo visto che presa un'equazione di secondo grado nella forma canonica:

ax^2 + bx + c = 0

è possibile risolverla utilizzando la formula risolutiva:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Ammesso che il discriminante, $\Delta = b^2 - 4ac$ , sia maggiore o uguale a zero. In caso contrario, l'equazione non ha soluzioni reali.

Esiste, tuttavia, una formula risolutiva ridotta che può essere applicata quando il coefficiente $b$ è divisibile per due. In particolare quando $b$ è pari oppure quando $b$ può essere semplificato dividendo per due, come ad esempio nel caso in cui $b = 2 \cdot \sqrt{3}$ .

Applicando questa formula si effettuano delle semplificazioni in anticipo riducendo, quindi, la possibilità di commettere errori di calcolo.

Proviamo a ricavare la formula ridotta partendo dalla formula risolutiva.

Prendiamo l'equazione di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

e dividiamo tutti i termini per 2:

\frac{a}{2}x^2 + \frac{b}{2}x + \frac{c}{2} = 0

Dal momento che $b$ è divisibile per due, poniamo:

k = \frac{b}{2}

e otteniamo:

\frac{a}{2}x^2 + kx + \frac{c}{2} = 0

Applicando la formula risolutiva otteniamo:

x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{c}{2}}}{2 \cdot \frac{a}{2}}

Da cui, semplificando ulteriormente:

x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}

Questa formula risolutiva prende, appunto, il nome di formula risolutiva ridotta e risulta conveniente quando:

$b$ è pari, per cui $k = \frac{b}{2}$ è un numero intero;
$b$ è il prodotto di un numero irrazionale per due, per cui si semplificano i calcoli. Ad esempio:

$b = 2 \cdot \sqrt{3} \Rightarrow k = \frac{b}{2} = \sqrt{3}$

Definizione

Formula Risolutiva Ridotta delle Equazioni di Secondo Grado

Data una generica equazione di secondo grado nella forma canonica:

ax^2 + bx + c = 0

Una formula alternativa per risolvere le equazioni di secondo grado si ottiene ponendo:

k = \frac{b}{2}

Da cui si ottiene la formula risolutiva ridotta:

x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}

Esempi

Applichiamo la formula ridotta a qualche esempio.

Esempio

Risolviamo la seguente equazione di secondo grado:

x^2 + 4x + 1 = 0

In questo caso $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 1$ . Applichiamo la formula ridotta:

k = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2

x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 1}}{1}

x = -2 \pm \sqrt{3}

Esempio

Risolviamo la seguente equazione di secondo grado:

2x^2 - 4\sqrt{3}x + 6 = 0

In questo caso $a = 2$ , $b = -4\sqrt{3}$ e $c = 6$ . Applichiamo la formula ridotta:

k = \frac{b}{2} = \frac{-4\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}

x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^2 - 2 \cdot 6}}{2}

x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 12}}{2}

x = \frac{2\sqrt{3} \pm 0}{2}

x = \sqrt{3}

L'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti: $x = \sqrt{3}$ .

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto che:

La formula risolutiva ridotta delle equazioni di secondo grado è una formula alternativa alla formula risolutiva che si applica quando il coefficiente $b$ è divisibile per due.
La formula risolutiva ridotta si ottiene dividendo per due tutti i coefficienti dell'equazione e ponendo $k = \frac{b}{2}$ .
La formula risolutiva ridotta è particolarmente conveniente quando $b$ è pari o il prodotto di un numero irrazionale per due.

Nella prossima lezione vedremo come sfruttare le equazioni di secondo grado per scomporre trinomi di secondo grado di una sola variabile in un prodotto di binomi.

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