Formula Risolutiva delle Equazioni di Secondo Grado

In questa lezione esamineremo la formula generale per risolvere le equazioni di secondo grado, mostrando come ottenerla in modo sintetico.

Illustreremo i passaggi fondamentali partendo dal completamento del quadrato e mettendo in evidenza il ruolo centrale del Discriminante. Infine, proporremo esempi pratici che consentiranno di consolidare i concetti appresi.

Concetti Chiave

La formula generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa si ottiene applicando il completamento del quadrato.
Il Discriminante è una quantità che determina il numero di soluzioni di un'equazione di secondo grado.
A seconda del valore del discriminante, un'equazione di secondo grado completa può avere due soluzioni reali e distinte, due soluzioni reali e coincidenti o nessuna soluzione reale.

La formula generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa

Nella lezione precedente abbiamo applicato un metodo antichissimo per risolvere un'equazione di secondo grado: il metodo del completamento del quadrato.

Adesso, applichiamo lo stesso metodo per trovare una formula risolutiva generale senza dover avere la necessità di utilizzare il completamento del quadrato ogni volta.

Prendiamo, quindi, un'equazione di secondo grado generica e completa:

ax^2 + bx + c = 0

Il primo passo è quello di riportare il termine noto $c$ dall'altro lato del segno di uguaglianza:

ax^2 + bx = -c

A questo punto, al primo membro abbiamo un quadrato incompleto. Applicando il metodo del completamento del quadrato, aggiungiamo e sottraiamo al primo membro il termine:

\left( \frac{b^2}{4a} \right)

Quindi, otteniamo:

ax^2 + bx + \left( \frac{b^2}{4a} \right) - \left( \frac{b^2}{4a} \right) = -c

Adesso dividiamo entrambe i membri per $a$ . Possiamo farlo perché, per definizione di equazione di secondo grado, il coefficiente $a$ è diverso da zero:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a}

I termini $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}$ costituiscono un quadrato di binomio. Per cui, possiamo scrivere:

\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a}

A questo punto, portiamo il termine $-\frac{b^2}{4a^2}$ a destra dell'uguale:

\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}

\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Non ci rimane altro che effettuare un cambio di incognita. Definiamo:

y = x + \frac{b}{2a}

Per cui l'equazione diventa:

y^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Si tratta di un'equazione di secondo grado pura.

Tali equazioni hanno due soluzioni solo nel caso in cui il termine a destra del segno di uguale sia maggiore o uguale a zero. In caso contrario, l'equazione non ha soluzioni reali.

Per cui dobbiamo analizzare il termine a destra:

\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Si tratta di una frazione algebrica. Il denominatore è sicuramente diverso da zero, perché per definizione di equazione di secondo grado il coefficiente $a$ è diverso da zero. Inoltre $4a^2$ è sempre positivo in quanto il quadrato di un numero reale è sempre positivo.

Il fatto che l'equazione abbia o meno soluzione dipende esclusivamente dal numeratore: $b^2 - 4ac$ .

Tale quantità prende il nome di Discriminante e lo si indica con la lettera greca $\Delta$ (Delta maiuscola). Prende questo nome proprio per il fatto che discrimina i vari casi possibili.

Definizione

Discriminante di un'equazione di secondo grado

Sia data una generica equazione di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

Il Discriminante di un'equazione di secondo grado, indicato con la lettera greca $\Delta$ (Delta maiuscola), è definito come:

\Delta = b^2 - 4ac

Avendo definito il discriminante dobbiamo esaminare singolarmente i tre casi possibili:

$\Delta > 0$ : discriminante positivo;
$\Delta = 0$ : discriminante nullo;
$\Delta < 0$ : discriminante negativo.

Discriminante positivo

Esaminiamo, dapprima, il caso di un'equazione di secondo grado completa con discriminante positivo.

In tal caso, il discriminante è maggiore di zero:

\Delta = b^2 - 4ac &gt; 0

Ritorniamo all'equazione in cui avevamo effettuato il cambio di incognita:

y^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Applichiamo la radice quadrata ad entrambi i membri:

y = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

Possiamo semplificare il denominatore rimuovendo la radice quadrata:

y = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

A rigore, in realtà al denominatore dovremmo usare il valore assoluto di $2a$ :

y = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2|a|}

Tuttavia, poiché abbiamo già inserito il segno più o meno, $\pm$ , davanti l'intero secondo membro, possiamo omettere il valore assoluto.

Adesso, ricordiamo che avevamo definito:

y = x + \frac{b}{2a}

Quindi, sostituendo $y$ con $x + \frac{b}{2a}$ , otteniamo:

x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sottraiamo $\frac{b}{2a}$ ad entrambi i membri:

x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Quindi, la formula generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa con discriminante positivo è:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

In questo caso, l'equazione di secondo grado ha due soluzioni reali e distinte.

Ricapitolando:

Definizione

Soluzioni di un'equazione di secondo grado con discriminante positivo

Sia data una generica equazione di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

Se il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ è maggiore di zero:

\Delta = b^2 - 4ac &gt; 0

Allora l'equazione ha due soluzioni reali e distinte:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Discriminante nullo

Passiamo, ora, al caso di un'equazione di secondo grado completa con discriminante nullo.

In tal caso, il discriminante è uguale a zero:

\Delta = b^2 - 4ac = 0

Per cui, l'equazione iniziale diventa:

y^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \quad \Rightarrow \quad y^2 = 0

y = 0

Ricordiamo che avevamo definito:

y = x + \frac{b}{2a}

Quindi, sostituendo $y$ con $x + \frac{b}{2a}$ , otteniamo:

x + \frac{b}{2a} = 0

Sottraiamo $\frac{b}{2a}$ ad entrambi i membri:

x = -\frac{b}{2a}

Quindi, un'equazione di secondo grado completa con discriminante nullo ha una soluzione reale. Tipicamente, si dice che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti.

Ricapitolando:

Definizione

Soluzioni di un'equazione di secondo grado con discriminante nullo

Sia data una generica equazione di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

Se il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ è uguale a zero:

\Delta = b^2 - 4ac = 0

Allora l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti:

x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}

Discriminante negativo

Esaminiamo, adesso, l'ultimo caso possibile: un'equazione di secondo grado completa con discriminante negativo.

In tal caso, il discriminante è minore di zero:

\Delta = b^2 - 4ac &lt; 0

Ritorniamo all'equazione in cui avevamo effettuato il cambio di incognita:

y^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Applicando la radice quadrata ad entrambi i membri, otteniamo:

y = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}

Ma, in questo caso, il radicando è negativo. Quindi, non possiamo estrarre la radice quadrata di un numero negativo in campo reale.

Per cui, un'equazione di secondo grado completa con discriminante negativo non ha soluzioni reali.

Ricapitolando:

Definizione

Soluzioni di un'equazione di secondo grado con discriminante negativo

Sia data una generica equazione di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

Se il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ è minore di zero:

\Delta = b^2 - 4ac &lt; 0

Allora l'equazione non ha soluzioni nel campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ .

Schema risolutivo

Adesso che abbiamo analizzato i tre casi possibili, possiamo definire uno schema risolutivo per risolvere un'equazione di secondo grado completa.

Vediamo lo schema riassuntivo:

Definizione

Soluzioni di un'equazione di secondo grado completa

Sia data una generica equazione di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

Il discriminante $\Delta$ associato all'equazione è definito come:

\Delta = b^2 - 4ac

A seconda del valore del discriminante, l'equazione ha le seguenti soluzioni:

Se $\Delta > 0$ :

L'equazione ha due soluzioni reali e distinte:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Se $\Delta = 0$ :

L'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti:

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
Se $\Delta < 0$ :

L'equazione non ha soluzioni nel campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ .

Detto questo, possiamo ricavare uno schema generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa:

Per prima cosa si riporta l'equazione in forma normale:

$ax^2 + bx + c = 0$
Si calcola il discriminante $\Delta$ in modo da determinare il numero di soluzioni:

$\Delta = b^2 - 4ac$
A seconda del valore del discriminante, si calcolano le soluzioni dell'equazione. In particolare se $\Delta \geq 0$ si applica la formula:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Il caso delle equazioni di secondo grado spurie

Abbiamo visto, nella lezione sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete, che un'equazione di secondo grado spuria ha la forma:

ax^2 + bx = 0

e abbiamo detto che in tal caso abbiamo due soluzioni reali e distinte di cui una è pari a zero:

x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{b}{a}

Ne consegue che per ogni equazione spuria il discriminante deve essere per forza positivo.

Proviamo a verificare questa affermazione. Prendiamo un'equazione spuria generica:

ax^2 + bx = 0

Calcoliamo il discriminante:

\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \cdot a \cdot 0 = b^2

Il discriminante è uguale a $b^2$ , che è sempre positivo. Quindi, effettivamente, per ogni equazione di secondo grado spuria il discriminante è positivo. Il che conferma che l'equazione ha due soluzioni reali e distinte.

Definizione

Discriminante delle equazioni di secondo grado spurie

Sia data una generica equazione di secondo grado spuria:

ax^2 + bx = 0

Il discriminante associato all'equazione è definito come:

\Delta = b^2 &gt; 0

Esso sarà sempre positivo per ogni equazione di secondo grado spuria.

Esempi

Proviamo ad applicare la formula generale per risolvere qualche esempio.

Esempio

Risolviamo l'equazione di secondo grado:

2x^2 + x - 3 = 0

Notiamo per prima cosa che l'equazione è già in forma normale.

In questo caso, i coefficienti dell'equazione sono:

a = 2, \quad b = 1, \quad c = -3

Calcoliamo il discriminante:

\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25

Il discriminante è maggiore di zero, quindi l'equazione ha due soluzioni reali e distinte. Applichiamo la formula generale:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}

Quindi, le soluzioni dell'equazione sono:

x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1

x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}

Esempio

Risolviamo l'equazione di secondo grado:

x^2 - 4x + 4 = 0

Notiamo per prima cosa che l'equazione è già in forma normale.

In questo caso, i coefficienti dell'equazione sono:

a = 1, \quad b = -4, \quad c = 4

Calcoliamo il discriminante:

\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0

Il discriminante è uguale a zero, quindi l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti. Applichiamo la formula generale:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2

Quindi, le soluzioni dell'equazione sono:

x_1 = x_2 = 2

Esempio

Risolviamo l'equazione di secondo grado:

3x^2 + 2x + 1 = 0

Notiamo per prima cosa che l'equazione è già in forma normale.

In questo caso, i coefficienti dell'equazione sono:

a = 3, \quad b = 2, \quad c = 1

Calcoliamo il discriminante:

\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8

Il discriminante è minore di zero, quindi l'equazione non ha soluzioni reali.

Esempio

Risolviamo l'equazione di secondo grado:

(2x - 1)^2 - x \cdot (x + 1) = 9

La prima cosa che si nota è che l'equazione non è in forma normale. Svolgiamo, quindi, i calcoli:

(2x - 1)^2 - x^2 - x = 9

4x^2 - 4x + 1 - x^2 - x = 9

3x^2 - 5x - 8 = 0

In questo caso, i coefficienti dell'equazione sono:

a = 3, \quad b = -5, \quad c = -8

Calcoliamo il discriminante:

\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121

Il discriminante è maggiore di zero, quindi l'equazione ha due soluzioni reali e distinte. Applichiamo la formula generale:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 11}{6}

Quindi, le soluzioni dell'equazione sono:

x_1 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}

x_2 = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1

In Sintesi

In questa lezione siamo partiti dal metodo del completamento del quadrato per risolvere un'equazione di secondo grado completa. Abbiamo applicato tale metodo per ottenere una formula generale che ci permette di risolvere un'equazione di secondo grado completa in modo più rapido.

Abbiamo visto che il numero di soluzioni di un'equazione quadrata dipende da una particolare quantità, il discriminante definito come:

\Delta = b^2 - 4ac

A seconda del valore del discriminante, un'equazione di secondo grado completa può avere:

due soluzioni reali e distinte se $\Delta > 0$ ;
due soluzioni reali e coincidenti se $\Delta = 0$ ;
nessuna soluzione reale se $\Delta < 0$ .

Nel caso in cui il discriminante sia maggiore o uguale a zero, abbiamo definito una formula generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Abbiamo, infine, definito uno schema risolutivo per risolvere un'equazione di secondo grado completa.

Nella prossima lezione vedremo come semplificare la formula risolutiva in alcuni casi particolari.

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