Risoluzione delle Equazioni di Secondo Grado Incomplete

In questa lezione vedremo come risolvere le equazioni di secondo grado incomplete, ossia le equazioni di secondo grado pure, spurie e monomie.

Concetti Chiave

Equazioni di secondo grado pure nella forma $ax^2 + c = 0$ : l'esistenza di soluzioni dipende dal segno dei coefficienti $a$ e $c$ .
Equazioni di secondo grado spurie nella forma $ax^2 + bx = 0$ : l'equazione ha sempre due soluzioni reali di cui una è $x = 0$ .
Equazioni di secondo grado monomie nella forma $ax^2 = 0$ : l'equazione ha due soluzioni coincidenti, entrambe pari a zero.

Risoluzione delle Equazioni di Secondo Grado Pure

Abbiamo visto che un'equazione di secondo grado pura si presenta nella forma:

ax^2 + c = 0

con $a \neq 0$ e $c \neq 0$ .

Per risolverla, per prima cosa riconduciamo l'equazione alla forma:

x^2 = -\frac{c}{a}

e indichiamo con $k = -\frac{c}{a}$ .

Quindi, un'equazione pura di secondo grado si può scrivere come:

x^2 = k

A questo punto si possono verificare due casi:

se $k < 0$ l'equazione non ha soluzioni reali; infatti non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo;
se $k \geq 0$ l'equazione ha due soluzioni reali, che sono $x = \sqrt{k}$ e $x = -\sqrt{k}$ .

Da quanto detto, risulta chiaro che per avere soluzione reale i termini $a$ e $c$ devono avere segno opposto. In caso contrario, il valore $k$ sarebbe negativo e l'equazione non avrebbe soluzioni reali.

Ricapitolando:

Definizione

Soluzioni delle Equazioni di Secondo Grado Pure

Data un'equazione di secondo grado pura nella forma:

ax^2 + c = 0

Se $a$ e $c$ sono discordi, ossia hanno segno opposto, l'equazione ha due soluzioni reali, che sono:

x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}} \quad \text{e} \quad x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}

Nel caso in cui $a$ e $c$ siano concordi, ossia hanno lo stesso segno, l'equazione non ha soluzioni reali.

Esempi di Equazioni di Secondo Grado Pure

Proviamo a risolvere alcune equazioni di secondo grado pure.

Esempio

Risolviamo l'equazione:

5x^2 - 20 = 0

Per prima cosa, vediamo che $a = 5$ e $c = -20$ . Poiché $a$ e $c$ sono discordi, l'equazione ha due soluzioni reali.

Riconduciamo l'equazione alla forma $x^2 = k$ :

x^2 = \frac{20}{5} = 4

Quindi, le soluzioni dell'equazione sono:

x_1 = \sqrt{4} = 2 \quad \text{e} \quad x_2 = -\sqrt{4} = -2

Esempio

Risolviamo l'equazione:

x^2 + 9 = 0

In questo caso, $a = 1$ e $c = 9$ . Poiché $a$ e $c$ sono concordi, l'equazione non ha soluzioni reali.

Infatti, riconducendo l'equazione alla forma $x^2 = k$ otteniamo:

x^2 = -9

e non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato dia $-9$ .

Quindi, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è vuoto:

S = \varnothing

Esempio

Risolviamo l'equazione:

(x + 1)^2 - 9 = 0

L'equazione in questione non è un'equazione pura di secondo grado, ma è un'equazione di secondo grado completa.

Tuttavia, anziché svolgere il quadrato del binomio al primo membro, possiamo effettuare una sostituzione di variabile:

y = x + 1

Quindi, l'equazione diventa:

y^2 - 9 = 0

che è un'equazione pura di secondo grado. Risolvendola, otteniamo:

y^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad y_1 = 3 \quad \text{e} \quad y_2 = -3

Risostituendo $y = x + 1$ , otteniamo le soluzioni dell'equazione originale:

x_1 = 3 - 1 = 2 \quad \text{e} \quad x_2 = -3 - 1 = -4

Quindi, le soluzioni dell'equazione $(x + 1)^2 - 9 = 0$ sono $x_1= 2$ e $x_2 = -4$ .

Risoluzione delle Equazioni di Secondo Grado Spurie

Un'equazione di secondo grado spuria si presenta nella forma:

ax^2 + bx = 0

con $a \neq 0$ e $b \neq 0$ .

Per risolverla, scomponiamo il primo membro raccogliendo a fattore comune $x$ :

x(ax + b) = 0

A questo punto sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, che afferma che il prodotto di due numeri è nullo se e solo se uno dei due fattori è nullo. Quindi, l'equazione $x(ax + b) = 0$ si può riscrivere come unione delle due equazioni:

\begin{align*} x = 0 \\ ax + b = 0 \end{align*}

Si tratta di due semplici equazioni di primo grado che possiamo risolvere facilmente.

La prima ha sempre soluzione pari a zero.

La seconda, invece, ha soluzione:

x = -\frac{b}{a}

Quindi, un'equazione quadratica spuria ha sempre due soluzioni reali.

Ricapitolando:

Definizione

Soluzioni delle Equazioni di Secondo Grado Spurie

Data un'equazione di secondo grado spuria nella forma:

ax^2 + bx = 0

L'equazione ha sempre due soluzioni reali, che sono:

x_1 = 0 \quad \text{e} \quad x_2 = -\frac{b}{a}

Esempi di Equazioni di Secondo Grado Spurie

Proviamo a risolvere alcune equazioni di secondo grado spurie.

Esempio

Risolviamo l'equazione:

3x^2 - 6x = 0

Raccogliendo a fattore comune $x$ , otteniamo:

x(3x - 6) = 0

Quindi, l'equazione si può riscrivere come:

x = 0 \land 3x - 6 = 0

La prima equazione ha soluzione $x = 0$ , mentre la seconda ha soluzione:

3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 2

Quindi, le soluzioni dell'equazione sono $x_1 = 0$ e $x_2 = 2$ .

Esempio

Risolviamo l'equazione:

x^2 + 5x = 0

Raccogliendo a fattore comune $x$ , otteniamo:

x(x + 5) = 0

Usando la legge di annullamento del prodotto, otteniamo le due equazioni:

\begin{align*} x = 0 \\ x + 5 = 0 \end{align*}

La prima equazione ha soluzione $x = 0$ , mentre la seconda ha soluzione:

x = -5

Quindi, le soluzioni dell'equazione sono $x_1 = 0$ e $x_2 = -5$ .

Risoluzione delle Equazioni di Secondo Grado Monomie

Un'equazione di secondo grado monomia si presenta nella forma:

ax^2 = 0

con $a \neq 0$ .

In questo caso risulta ovvio che, qualunque sia il valore di $a$ , l'equazione ha una sola soluzione reale, che è $x = 0$ .

In realtà, si dice che l'equazione ha due soluzioni coincidenti.

Ricapitolando:

Definizione

Soluzioni delle Equazioni di Secondo Grado Monomie

Data un'equazione di secondo grado monomia nella forma:

ax^2 = 0

L'equazione ha due soluzioni coincidenti, che sono:

x_1 = x_2 = 0

Vediamo un esempio.

Esempio

Risolviamo l'equazione:

4x^2 = 0

Dividiamo entrambi i membri per $4$ :

x^2 = 0

Quindi, l'equazione ha due soluzioni coincidenti, che sono entrambe pari a zero:

x_1 = x_2 = 0

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto come risolvere le tre tipologie di equazioni di secondo grado incomplete:

Equazioni di secondo grado pure nella forma $ax^2 + c = 0$ ;

In questo caso, se i termini $a$ e $c$ sono discordi, l'equazione ha due soluzioni reali, altrimenti non ha soluzioni reali.
Equazioni di secondo grado spurie nella forma $ax^2 + bx = 0$ ;

In questo caso, l'equazione ha sempre due soluzioni reali. Una soluzione è sempre $x = 0$ , mentre l'altra è $x = -\frac{b}{a}$ .
Equazioni di secondo grado monomie nella forma $ax^2 = 0$ ;

In questo caso, l'equazione ha due soluzioni coincidenti, che sono entrambe pari a zero.

Nel caso di equazioni di secondo grado complete, per poter ottenere una formula risolutiva, dobbiamo prima analizzare un metodo di risoluzione che prende il nome di completamento del quadrato. Questo metodo verrà trattato nella prossima lezione.

Lezione Precedente Indice del capitolo Lezione Successiva