Introduzione alle Equazioni di Secondo Grado

In questa lezione iniziamo lo studio delle equazioni di secondo grado in modo semplice, mettendo in evidenza i concetti chiave e le diverse tipologie.

Parleremo sia dei casi completi sia di quelli incompleti, soffermandoci su ciò che li contraddistingue e sulle formule di base.

Concetti Chiave

Definizione e forma generale di un'equazione di secondo grado:

$ax^2 + bx + c = 0$
Coefficienti: $a$ , $b$ , $c$
Differenza tra equazione completa e incompleta
Categorie: pure, spurie, monomie
Possibili fino a due soluzioni reali

Introduzione alle Equazioni di Secondo Grado

Consideriamo il problema che segue:

Si desidera realizzare un piccolo giardino quadrato di lato $x$ metri, scegliendo un manto erboso al costo di 12 euro/m². Inoltre, lungo tutto il perimetro, si prevede un camminamento la cui posa in opera ha un costo di 5 euro per metro lineare. Individuare la misura del lato $x$ in ciascuna delle tre situazioni seguenti:

Primo caso

Si intende solamente posare il manto erboso (senza alcun camminamento), e il costo complessivo ammonta a 480 euro.

Modello matematico:

$12\,x^2 = 480$
Secondo caso

Oltre al manto erboso, si realizza il camminamento lungo l'intero perimetro. Il costo totale dell'opera (manto erboso + camminamento) risulta pari a una volta e mezza il solo costo del camminamento.

Modello matematico:

$12\,x^2 + \bigl(5 \cdot 4x\bigr) = \frac{1}{2} \cdot \bigl(5 \cdot 4x\bigr)$
Terzo caso

Manto erboso e camminamento vengono entrambi realizzati, per una spesa complessiva di 540 euro.

Modello matematico:

$12\,x^2 + \bigl(5 \cdot 4x\bigr) = 540.$

In tutti e tre i casi, il problema si traduce matematicamente in un'equazione in cui l'incognita $x$ appare con il grado massimo di 2. Questo tipo di equazioni prende il nome di equazioni di secondo grado.

Definizione di Equazione di Secondo Grado

Definizione

Equazione di Secondo Grado in Forma Normale

Una qualunque equazione si chiama Equazione di Secondo Grado (oppure Equazione Quadratica) se, dopo aver applicato i Princìpi di equivalenza, essa si riduce nella forma:

ax^2 + bx + c = 0

dove $a$ , $b$ e $c$ sono numeri reali e $a \neq 0$ .

L'espressione di sopra prende anche il nome di Forma Normale o Forma Canonica dell'equazione di secondo grado.

I tre coefficienti dell'equazione, $a$ , $b$ e $c$ , sono detti rispettivamente coefficiente del termine quadratico, coefficiente del termine lineare e termine noto. Più spesso si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente.

Ad esempio, se prendiamo l'equazione che segue:

3x^2 - 5x + 2 = 0

abbiamo che:

$a = 3$ è il coefficiente del termine quadratico, o primo coefficiente;
$b = -5$ è il coefficiente del termine lineare, o secondo coefficiente;
$c = 2$ è il termine noto, o terzo coefficiente.

A parte il coefficiente $a$ , gli altri due possono essere positivi, negativi o nulli.

Nel caso in cui tutti e tre i coefficienti sono diversi da zero, l'equazione si dice completa. Se invece il coefficiente $b$ è nullo oppure il coefficiente $c$ è nullo, l'equazione si dice incompleta.

Definizione

Equazione di Secondo Grado Completa e Incompleta

Presa un'equazione quadratica in forma normale:

ax^2 + bx + c = 0

Se $a \neq 0$ , $b \neq 0$ e $c \neq 0$ , l'equazione è completa;
Se $a \neq 0$ , ma $b = 0$ oppure $c = 0$ , l'equazione è incompleta.

Ad esempio, l'equazione:

x^2 - 4 = 0

è incompleta, perché il coefficiente $b$ è nullo.

Viceversa, l'equazione:

2x^2 - 3x + 1 = 0

è completa, perché tutti e tre i coefficienti sono diversi da zero.

Classificazione delle Equazioni di Secondo Grado Incomplete

Abbiamo visto che un'equazione di secondo grado ha la forma:

ax^2 + bx + c = 0

Se tutti e tre i coefficienti sono diversi da zero, l'equazione è completa. Nel caso in cui almeno uno dei coefficienti $b$ o $c$ sia nullo, l'equazione è incompleta. Il coefficiente $a$ non può essere nullo altrimenti l'equazione non sarebbe di secondo grado.

Detto questo, possiamo classificare le equazioni di secondo grado incomplete in tre categorie:

Equazioni di secondo grado Pure;
Equazioni di secondo grado Spurie;
Equazioni di secondo grado Monomie.

Esaminiamole nel dettaglio.

Equazioni di Secondo Grado Pure

Definizione

Equazione di Secondo Grado Pure

Un'equazione di secondo grado si dice Pura se il coefficiente del termine lineare è nullo. In altre parole, un'equazione di secondo grado è pura se ha la forma:

ax^2 + c = 0

dove $a$ e $c$ sono numeri reali e $a \neq 0$ .

Ad esempio, l'equazione:

2x^2 - 3 = 0

è un'equazione di secondo grado pura, perché il coefficiente del termine lineare è nullo.

Equazioni di Secondo Grado Spurie

Definizione

Equazione di Secondo Grado Spuria

Un'equazione di secondo grado si dice Spuria se il termine noto è nullo. In altre parole, un'equazione di secondo grado è spuria se ha la forma:

ax^2 + bx = 0

dove $a$ e $b$ sono numeri reali e $a \neq 0$ .

Ad esempio, l'equazione:

3x^2 - 4x = 0

è un'equazione di secondo grado spuria, perché il termine noto è nullo.

Equazioni di Secondo Grado Monomie

Definizione

Equazione di Secondo Grado Monomia

Un'equazione di secondo grado si dice Monomia se il termine noto e il coefficiente del termine lineare sono nulli. In altre parole, un'equazione di secondo grado è monomia se ha la forma:

ax^2 = 0

dove $a$ è un numero reale e $a \neq 0$ .

Ad esempio, l'equazione:

2x^2 = 0

è un'equazione di secondo grado monomia, perché il termine noto e il coefficiente del termine lineare sono nulli.

Soluzioni di un'Equazione di Secondo Grado

Una soluzione, chiamata anche radice, di un'equazione di secondo grado è quel valore che sostituito all'incognita rende vera l'uguaglianza tra i due membri.

Prendiamo un esempio:

2x^2 - 4x - 6 = 0

Questa equazione possiede due soluzioni:

x_1 = 3

x_2 = -1

Proviamo, infatti, a sostituire $x_1$ al posto di $x$ :

2 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 - 6 = 0

2 \cdot 9 - 12 - 6 = 0

18 - 12 - 6 = 0

18 - 18 = 0

Anche sostituendo $x_2$ al posto di $x$ otteniamo lo stesso risultato:

2 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 6 = 0

2 \cdot 1 + 4 - 6 = 0

2 + 4 - 6 = 0

6 - 6 = 0

In generale, quando vogliamo risolvere un'equazione quadratica, cerchiamo le soluzioni tra i numeri reali, ossia nell'insieme $\mathbb{R}$ .

In questo caso, le soluzioni possono essere al massimo due. Per cui, a differenza delle equazioni di primo grado, dove ogni equazione può avere al massimo una soluzione, nella risoluzione di un'equazione di secondo grado ne dobbiamo cercare due.

Definizione

Numero di Soluzioni di un'Equazione di Secondo Grado

Nel campo dei numeri reali, un'equazione di secondo grado può avere al massimo due soluzioni.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo introdotto le equazioni di secondo grado, ossia le equazioni quadratiche. Abbiamo visto che un'equazione di secondo grado si presenta nella forma:

ax^2 + bx + c = 0

dove $a$ , $b$ e $c$ sono numeri reali e $a \neq 0$ . Abbiamo anche definito i concetti di equazione completa e equazione incompleta.

Abbiamo inoltre anticipato che un'equazione di secondo grado può avere al massimo due soluzioni, che chiamiamo radici.

A partire dalla prossima lezione inizieremo a vedere come risolvere le equazioni di secondo grado, partendo dai casi più semplici.

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