Il Metodo del Completamento del Quadrato

Prima di fornire una formula generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa, proviamo, in questa lezione, a risolverne una facendo affidamento alle proprietà dei quadrati di binomi.

In particolare, vedremo la tecnica del completamento del quadrato di un binomio e come questa possa essere sfruttata per risolvere un'equazione di secondo grado completa.

Rimandiamo, poi, alla prossima lezione la formulazione di una procedura generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa.

Concetti Chiave

Un'equazione di secondo grado completa non può essere facilmente fattorizzata in un prodotto di polinomi di primo grado per poi sfruttare la legge di annullamento del prodotto e trovare le soluzioni.
Il metodo del completamento del quadrato permette di trasformare un binomio in un quadrato di binomio.
Applicando questa tecnica, si può risolvere un'equazione di secondo grado completa.

Risolvere un'equazione di secondo grado

Consideriamo l'equazione di secondo grado che segue:

{{10x}^{2}}\mathop{-}20 x\mathop{-}150 = 0

Si tratta di un'equazione completa, nel senso che tutti i suoi coefficienti sono diversi da zero.

Per risolverla, si potrebbe essere tentati di fattorizzare il primo membro, magari trasformandolo in un prodotto tra due binomi di primo grado e, successivamente, sfruttare la legge di annullamento del prodotto per trovare le due possibili soluzioni. In altre parole, trasformare il primo membro in un prodotto del tipo:

\left( a x + b \right) \left( c x + d \right) = 0

E poi risolvere singolarmente le due equazioni di primo grado che ne derivano.

Tuttavia, questo procedimento non è fattibile perché la fattorizzazione del primo membro non è immediata. Inoltre, anche se si riuscisse a fattorizzare il primo membro, il procedimento sarebbe comunque lungo e complicato.

Quello che si può fare, invece, è di sfruttare una tecnica più semplice e successivamente effettuare un cambio di incognita.

Andiamo per gradi.

Per prima cosa, riportiamo l'equazione in una forma in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale a 1. Per fare questo, dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di $x^{2}$ :

\frac{{10x}^{2}}{10} - \frac{20x}{10} - \frac{150}{10} = 0

Ovvero:

x^{2} - 2x - 15 = 0

A questo punto, portiamo il termine noto a destra dell'uguale:

x^{2} - 2x = 15

Come si può notare, ciò che è rimasto al primo membro dell'equazione è una porzione di un quadrato di binomio.

Sappiamo, infatti, che il quadrato di un binomio del tipo $a x + b$ è uguale a:

{{\left( a x + b \right)}^{2}} = a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}

Nel nostro caso abbiamo che:

a^2 = 1

2 a b = -2

Ci manca il termine $b^2$ . Ecco che a questo punto entra in gioco il metodo del completamento del quadrato.

Il metodo del completamento del quadrato

Come dice il nome, il metodo del completamento del quadrato consiste nell'aggiungere e sottrarre un termine in modo tale da trasformare un binomio in cui appaiono solo i termini $a x^2$ e $b x$ in un quadrato di binomio.

Torniamo all'esempio. Abbiamo che:

x^{2} - 2x

Per completare il quadrato, dobbiamo aggiungere e sottrarre un termine. In particolare, dobbiamo aggiungere e sottrarre il termine che, moltiplicato per 2, dia come risultato il coefficiente del termine $x$ .

In altre parole, dobbiamo aggiungere e sottrarre il termine $-1$ :

x^{2} - 2x + \left( -1 \right) + \left( 1 \right)

A questo punto abbiamo che l'espressione $x^{2} - 2x - 1$ è uguale ad un quadrato di binomio. Infatti:

x^{2} - 2x - 1 = {{\left( x - 1 \right)}^{2}}

quindi:

x^{2} - 2x = {{\left( x - 1 \right)}^{2}} - 1

In generale, quale forma deve avere il termine da aggiungere e sottrarre per completare il quadrato?

Prendiamo il caso generico di un binomio nella forma:

a x^2 + b x

Dobbiamo trasformare il binomio nell'espressione:

(\alpha x + \beta)^{2} - \beta^{2}

Siamo interessati a trovare i valori di $\alpha$ e $\beta$ tali che:

(\alpha x + \beta)^{2} - \beta^{2} = a x^2 + b x

Espandendo il quadrato del binomio otteniamo:

\alpha^{2} x^{2} + 2 \alpha \beta x + \beta^{2} - \beta^{2} = a x^{2} + b x

Da cui:

\alpha^2 = a \quad \rightarrow \quad \alpha = \sqrt{a}

2 \alpha \beta = b

Quindi:

\beta = \frac{b}{2 \alpha}

\beta = \frac{b}{2 \sqrt{a}}

Quindi se abbiamo un binomio nella forma $a x^{2} + b x$ , per completare il quadrato dobbiamo aggiungere e sottrarre il termine:

\left( \frac{b^2}{4 a} \right)

Definizione

Metodo del completamento del quadrato

Dato un qualunque binomio della forma:

a x^{2} + b x

Per completare il quadrato, ossia ottenere un quadrato di binomio, si aggiunge e si sottrae il termine:

\left( \frac{b^2}{4 a} \right)

In tal modo, il binomio di partenza diventa:

a x^2 + bx = ax^2 + bx + \left( \frac{b^2}{4 a} \right) - \left( \frac{b^2}{4 a} \right)

E quindi:

a x^2 + bx = \left( a x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - \left( \frac{b^2}{4 a} \right)

Vediamo qualche esempio di applicazione del metodo del completamento del quadrato.

Esempio

Completiamo il quadrato:

x^2 - 6x

In questo caso abbiamo che:

a = 1

b = -6

Quindi, per completare il quadrato, dobbiamo aggiungere e sottrarre il termine:

\left( \frac{b^2}{4 a} \right) = \left( \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} \right) = 9

Quindi:

x^2 - 6x = \left( x - 3 \right)^2 - 9

Esempio

Completiamo il quadrato:

4x^2 + 8x

In questo caso abbiamo che:

a = 4

b = 8

Quindi, per completare il quadrato, dobbiamo aggiungere e sottrarre il termine:

\left( \frac{b^2}{4 a} \right) = \left( \frac{8^2}{4 \cdot 4} \right) = 4

Quindi:

4x^2 + 8x = \left( 2x + 2 \right)^2 - 4

Applicazione del metodo del completamento del quadrato

Adesso ritorniamo alla nostra equazione di secondo grado:

x^{2} - 2x = 15

Dobbiamo completare il quadrato al primo membro. Abbiamo che:

a = 1

b = -2

Quindi, per completare il quadrato, dobbiamo aggiungere e sottrarre il termine:

\left( \frac{b^2}{4 a} \right) = \left( \frac{(-2)^2}{4 \cdot 1} \right) = 1

Quindi:

x^{2} - 2x = \left( x - 1 \right)^2 - 1

Sostiuiamo il primo membro con l'espressione ottenuta:

\left( x - 1 \right)^2 - 1 = 15

Ovvero:

\left( x - 1 \right)^2 = 16

Adesso possiamo applicare un cambio di incognita. Infatti, se poniamo:

y = x - 1

Otteniamo:

y^2 = 16

Ma questa è un'equazione di secondo grado pura che sappiamo già come risolvere. Infatti, abbiamo che:

y = \pm 4

A questo punto si tratta di risalire alla variabile originaria $x$ . Otteniamo, così, due equazioni:

x - 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 5

x - 1 = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -3

Abbiamo così trovato le due soluzioni dell'equazione di secondo grado data:

S = \left\{ -3, 5 \right\}

Non ci rimane, adesso, che verificare che le soluzioni trovate siano effettivamente tali. Infatti, sostituendo $x = -3$ e $x = 5$ nell'equazione di partenza, otteniamo:

{{10 \cdot \left( -3 \right)}^{2}} - 20 \cdot \left( -3 \right) - 150 = 0

{{10 \cdot 5}^{2}} - 20 \cdot 5 - 150 = 0

Entrambe le uguaglianze sono verificate, quindi le soluzioni trovate sono corrette.

Da questo punto, dobbiamo solo ricavare una formula generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa. Ma questo lo faremo nella prossima lezione.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto come risolvere un'equazione di secondo grado completa sfruttando il metodo del completamento del quadrato. In particolare, abbiamo visto che:

Per completare il quadrato di un binomio del tipo $a x^2 + b x$ , si aggiunge e si sottrae il termine $\left( \frac{b^2}{4 a} \right)$ .
Una volta completato il quadrato, si può risolvere l'equazione di secondo grado ottenuta tramite un cambio di incognita.

Non abbiamo ancora, però, una formula generale per risolvere un'equazione di secondo grado completa. Questo lo vedremo nella prossima lezione.

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