Scomposizione di un Trinomio di Secondo Grado

Sfruttando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, possiamo, ora, affrontare un problema algebrico correlato: la scomposizione di un trinomio di secondo grado in due binomi di primo grado.

In questa lezione vedremo come effettuare questa scomposizione nel campo dei numeri reali e come essa sia strettamente legata alle soluzioni dell'equazione associata al trinomio.

Scomporre un Trinomio di secondo grado ad una variabile

Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come risolvere un'equazione di secondo grado completa attraverso la formula risolutiva.

Adesso, grazie ad essa, possiamo prendere un trinomio di secondo grado nella sua forma più generica:

ax^2 + bx + c

e scomporlo in due binomi di primo grado più semplici.

Per fare ciò, dobbiamo considerare l'equazione di secondo grado associata al trinomio stesso che si ottiene ponendo il trinomio uguale a zero:

ax^2 + bx + c = 0

In tal modo le soluzioni dell'equazione di secondo grado saranno le radici del trinomio.

Ora partiamo dal caso più semplice e supponiamo che l'equazione associata al trinomio ammetta due soluzioni reali che indichiamo con $x_1$ e $x_2$ . Da ciò ne consegue che il discriminante dell'equazione sia maggiore di zero, $\Delta > 0$ .

Dal Teorema di Ruffini sappiamo che il trinomio è divisibile per i binomi di seguito:

x - x_1 \quad \text{e} \quad x - x_2

La conseguenza è che il trinomio può essere scomposto nella forma:

k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

Dove $k$ è una costante opportuna.

Tuttavia, poiché i coefficienti del trinomio di partenza e di quello scomposto devono coincidere, ne deve per forza conseguire che:

k = a

Motivo per cui si deve avere che:

ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

Ora, espandendo il secondo membro, otteniamo:

a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) =

= a \cdot (x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2)

= ax^2 - a \cdot (x_1 + x_2) \cdot x + a \cdot x_1 \cdot x_2

Definizione

Scomposizione di un trinomio di secondo grado

Sia dato un trinomio in una sola variabile $x$ di secondo grado definito sul campo reale $\mathbb{R}$ e nella forma:

ax^2 + bx + c

Data l'equazione associata al trinomio:

ax^2 + bx + c = 0

Se l'equazione ammette due soluzioni reali $x_1$ e $x_2$ , ossia se il discriminante è maggiore di zero, $\Delta > 0$ , allora il trinomio può essere scomposto nella forma:

ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

Dove $a$ è il coefficiente del termine di secondo grado, $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell'equazione associata al trinomio.

Caso particolare: trinomio con due radici coincidenti

Passiamo ora al caso in cui il trinomio di secondo grado abbia due radici coincidenti, ossia l'equazione associata ammetta due soluzioni reali e coincidenti, $x_1 = x_2$ .

In tal caso il discriminante dell'equazione sarà nullo, $\Delta = 0$ .

Applicando la formula trovata sopra anche in questo caso, otteniamo:

ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

= a \cdot (x - x_1)^2

Definizione

Scomposizione di un trinomio di secondo grado con radici coincidenti

Sia dato un trinomio in una sola variabile $x$ di secondo grado definito sul campo reale $\mathbb{R}$ e nella forma:

ax^2 + bx + c

Se l'equazione associata al trinomio ammette due soluzioni reali e coincidenti, ossia se il discriminante è nullo, $\Delta = 0$ , allora il trinomio può essere scomposto nella forma:

ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1)^2

Dove $a$ è il coefficiente del termine di secondo grado, $x_1$ è la soluzione dell'equazione associata al trinomio.

Esempi

Vediamo qualche esempio di scomposizione di trinomi di secondo grado.

Esempio

Scomponiamo il trinomio:

2x^2 - x - 3

Per prima cosa, consideriamo l'equazione di secondo grado associata:

2x^2 - x - 3 = 0

Calcoliamo il discriminante:

\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25

Poiché il discriminante è maggiore di zero, $\Delta > 0$ , l'equazione ammette due soluzioni reali.

Calcoliamo le soluzioni:

x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{4} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2}

x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{4} = \frac{1 - 5}{4} = -1

Quindi, il trinomio può essere scomposto nella forma:

2 \cdot \left(x - \frac{3}{2}\right) \cdot (x + 1)

Esempio

Scomponiamo il trinomio:

x^2 - 2x - 1

Per prima cosa, consideriamo l'equazione di secondo grado associata:

x^2 - 2x - 1 = 0

Calcoliamo il discriminante:

\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8

Poiché il discriminante è maggiore di zero, $\Delta > 0$ , l'equazione ammette due soluzioni reali.

Calcoliamo le soluzioni:

x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{8}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}

x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{8}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}

Quindi, il trinomio può essere scomposto nella forma:

\left(x - \left(1 + \sqrt{2}\right)\right) \cdot \left(x - \left(1 - \sqrt{2}\right)\right)

= \left(x - 1 - \sqrt{2}\right) \cdot \left(x - 1 + \sqrt{2}\right)

Discriminante negativo

Infine, consideriamo il caso in cui il trinomio di secondo grado non abbia radici reali, ossia il caso in cui l'equazione associata non ammetta soluzioni reali in quanto il discriminante è negativo, $\Delta < 0$ .

In questo caso, semplicemente, il trinomio non è riducibile nel campo reale $\mathbb{R}$ .

Se lo fosse, per assurdo, nella sua scomposizione dovrebbe apparire un fattore del tipo:

(x - x_1)

Quindi, ciò significherebbe che l'equazione associata al trinomio avrebbe una soluzione reale, il che è assurdo.

Pertanto vale che:

Definizione

Trinomio di secondo grado riducibile nel campo reale

Un trinomio in una sola variabile $x$ di secondo grado definito sul campo reale $\mathbb{R}$ e nella forma:

ax^2 + bx + c

è riducibile nel campo reale $\mathbb{R}$ se e soltanto se vale:

b^2 - 4ac \geq 0

Riducibilità e insieme di definizione

Infine, è importante sottolineare che la riducibilità di un trinomio di secondo grado dipende dall'insieme di definizione in cui esso è considerato.

Ad esempio, il trinomio:

x^2 - 2x + 3

Non è riducibile nel campo reale $\mathbb{R}$ , in quanto l'equazione associata:

x^2 - 2x + 3 = 0

Ha il discriminante negativo, $\Delta = -8$ .

Prendiamo, invece, il trinomio:

x^2 - 4x + 1

Esso è riducibile nel campo reale $\mathbb{R}$ , in quanto l'equazione associata:

x^2 - 4x + 1 = 0

Ha il discriminante positivo, $\Delta = 12$ .

Le sue soluzioni sono infatti:

x_1 = 2 + \sqrt{3}

x_2 = 2 - \sqrt{3}

Tuttavia, questo trinomio non è scomponibile nell'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ , in quanto le sue radici sono irrazionali.

Quindi, il concetto di scomposizione di un trinomio, così come di un polinomio in generale, è strettamente legato all'insieme di definizione in cui esso è considerato.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto come scomporre un trinomio di secondo grado in due binomi di primo grado più semplici.

In particolare, abbiamo visto che:

Ad un trinomio di secondo grado, in una sola variabile, è associata un'equazione di secondo grado le cui soluzioni coincidono con le radici del trinomio stesso;
Se l'equazione associata ammette due soluzioni reali, il trinomio può essere scomposto in due binomi di primo grado moltiplicati per il coefficiente del termine di secondo grado;
Se l'equazione associata ammette due soluzioni reali e coincidenti, il trinomio può essere scomposto in un binomio al quadrato moltiplicato per il coefficiente del termine di secondo grado;
Se l'equazione associata non ammette soluzioni reali, il trinomio non è riducibile nel campo reale.
La riducibilità di un trinomio di secondo grado dipende dall'insieme di definizione in cui esso è considerato.

Nella prossima lezione sfrutteremo quanto appreso per trovare delle relazioni tra i coefficienti di un'equazione di secondo grado e le sue soluzioni.

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