Relazione tra le Soluzioni e i Coefficienti di un'Equazione di Secondo Grado

Questa lezione illustra il legame diretto tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado e i suoi coefficienti.

Senza risolvere l'equazione, è possibile ricavare informazioni fondamentali su somma, prodotto e segno delle soluzioni.

Soluzioni e Coefficienti di un'Equazione di Secondo Grado

Riprendiamo l'espressione di un'equazione di secondo grado in forma generale:

ax^2 + bx + c = 0

Supponiamo che l'equazione in questione abbia due soluzioni reali, ossia che il suo discriminante sia maggiore o uguale a zero:

\Delta = b^2 - 4ac \geq 0

Abbiamo visto, nella lezione precedente, che il trinomio associato ad un'equazione di secondo grado con il discriminante maggiore o uguale a zero può essere espresso nella forma:

ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

Dove x_1 e x_2 sono le soluzioni dell'equazione.

Adesso, se svolgiamo i calcoli al secondo membro otteniamo:

a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2

Confrontando le due espressioni otteniamo:

ax^2 + bx + c = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2

Ora, confrontando i coefficienti al primo membro con i termini al secondo membro otteniamo:

b = -a(x_1 + x_2) \Leftrightarrow x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
c = ax_1x_2 \Leftrightarrow x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Abbiamo, così, ottenuto un risultato fondamentale:

Definizione

Somma e Prodotto delle Soluzioni di un'Equazione di Secondo Grado

Sia data un'equazione di secondo grado nella forma:

ax^2 + bx + c = 0

Supponendo che l'equazione abbia due soluzioni reali, ossia che il suo discriminante sia maggiore o uguale a zero, allora la somma delle soluzioni è uguale a:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

E il prodotto delle soluzioni è uguale a:

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

In questo modo, senza risolvere l'equazione, possiamo ottenere la somma e il prodotto delle soluzioni.

Esempio

Proviamo ad applicare quanto appena detto ad un esempio concreto.

Esempio

Sia data l'equazione di secondo grado:

3x^2 - 9x + 6 = 0

Senza risolvere l'equazione, vogliamo trovare:

  1. Il prodotto delle soluzioni;
  2. La somma delle soluzioni;
  3. Il prodotto dei quadrati delle soluzioni;
  4. Il segno delle soluzioni.

Andiamo per ordine. Dapprima, verifichiamo che il discriminante dell'equazione sia maggiore o uguale a zero:

\Delta = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 81 - 72 = 9 \geq 0

Quindi l'equazione in questione ammette due soluzioni reali e distinte.

Calcoliamo dapprima il prodotto delle soluzioni. Da quanto visto sopra, sappiamo che:

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Quindi, nel nostro caso:

x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{3} = 2

Ora, calcoliamo la somma delle soluzioni. Da quanto visto sopra, sappiamo che:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Quindi, nel nostro caso:

x_1 + x_2 = -\frac{-9}{3} = 3

Per calcolare la somma dei quadrati delle soluzioni, basta osservare che:

\left(x_1 + x_2\right)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2

Da cui otteniamo:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Noi non conosciamo quanto valgono x_1 e x_2 ma sappiamo quanto valgono le quantità x_1 + x_2 e x_1 \cdot x_2. Quindi, possiamo calcolare il valore di x_1^2 + x_2^2:

(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 3^2 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5

Infine, per determinare il segno delle soluzioni, possiamo osservare che il loro prodotto è positivo, quindi entrambe le soluzioni sono dello stesso segno, sono ossia concordi. Inoltre, la somma delle soluzioni è positiva, quindi entrambe le soluzioni sono positive.

Ricapitolando, abbiamo ottenuto:

  1. Il prodotto delle soluzioni è 2;
  2. La somma delle soluzioni è 3;
  3. La somma dei quadrati delle soluzioni è 5;
  4. Entrambe le soluzioni sono positive.

Tutto questo senza risolvere l'equazione.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo ricavato delle importanti relazioni che sussistono tra i coefficienti di un'equazione di secondo grado e le sue soluzioni.

In particolare, abbiamo visto che:

  1. La somma delle soluzioni è uguale a -\frac{b}{a};
  2. Il prodotto delle soluzioni è uguale a \frac{c}{a}.

Queste relazioni ci permettono di ottenere informazioni sulle soluzioni di un'equazione di secondo grado senza risolverla.

Nella prossima lezione, approfondiremo la cosiddetta regola di Cartesio che ci permette di determinare il segno delle soluzioni di un'equazione di secondo grado senza risolverla.

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