La Regola di Cartesio per le Equazioni di Secondo Grado

Un'importante regola per determinare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado senza risolverla è la Regola di Cartesio.

Questa regola prende il nome dal matematico e filosofo francese René Descartes, noto anche come Cartesio, che la formulò per la prima volta nel suo libro La Géométrie.

Si tratta di una regola molto utile e di impiego generale che può essere applicata anche a equazioni di grado superiore al secondo. In questa lezione, tuttavia, ci concentreremo sul suo utilizzo per le equazioni di secondo grado.

La regola di Cartesio

Nella lezione precedente abbiamo visto che sussistono due relazioni tra i coefficienti di un'equazione di secondo grado e le sue soluzioni. Questo, ovviamente, nel caso in cui il discriminante dell'equazione sia maggiore o uguale a zero.

In tal caso, presa l'equazione generica di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

Se $x_1$ e $x_2$ sono le sue soluzioni, allora vale che:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Esiste un'altra relazione che lega i coefficienti dell'equazione ai suoi risultati, che prende il nome di Regola di Cartesio. In particolare, questa regola permette di determinare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado senza risolverla.

Prima di approfondire la regola, tuttavia, dobbiamo introdurre due concetti: la permanenza del segno e la variazione del segno.

Data un'equazione generica di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

si ha:

Una permanenza del segno quando due coefficienti consecutivi hanno segno concorde;
Una variazione del segno quando due coefficienti consecutivi hanno segno discorde.

Chiariamo con degli esempi. Prendiamo l'equazione:

x^2 - 3x + 2 = 0

In questa equazione abbiamo i coefficienti $a = 1$ , $b = -3$ e $c = 2$ . Se li prendiamo in ordine, vediamo che $a$ e $b$ hanno segno discorde, $1$ e $-3$ , così come $b$ e $c$ , $-3$ e $2$ . Quindi, in questo caso, abbiamo due variazioni di segno.

Se prendiamo l'equazione:

4x^2 + 2x - 6 = 0

In questo caso, invece, abbiamo una permanenza di segno, in quanto i coefficienti $a$ e $b$ sono positivi, ed una variazione di segno tra $b$ e $c$ in quanto $b$ è positivo e $c$ è negativo.

Detto questo, proviamo a costruire una tabella con le possibili combinazioni di segni tra i coefficienti di un'equazione di secondo grado:

**Tabella 1:** Combinazioni dei segni dei coefficienti e segni della somma e del prodotto delle soluzioni di un'equazione di secondo grado.
$a$	$b$	$c$	$x_1 + x_2$	$x_1 \cdot x_2$
$+$	$+$	$+$	$-$	$+$
$+$	$+$	$-$	$-$	$-$
$+$	$-$	$-$	$+$	$-$
$+$	$-$	$+$	$+$	$+$

Nelle prime tre colonne abbiamo inserito i segni possibili che i tre coefficienti possono avere. Non c'è bisogno di considerare il caso in cui $a$ sia negativo in quanto attraverso il secondo principio di equivalenza possiamo sempre trasformare un'equazione di secondo grado con $a$ negativo in una con $a$ positivo.

Nella terza e quarta colonna abbiamo, invece, messo il segno della somma e del prodotto delle soluzioni dell'equazione. Questi segni sono stati determinati attraverso le relazioni che abbiamo visto all'inizio della lezione.

Infatti, la somma ha segno opposto a $\frac{b}{a}$ per cui, se $b$ e $a$ hanno segno concorde, la somma delle soluzioni sarà negativa. Al contrario, se $b$ e $a$ hanno segno discorde, la somma delle soluzioni sarà positiva.

Analogamente, il prodotto delle soluzioni ha segno uguale a $\frac{c}{a}$ , per cui se $c$ e $a$ hanno segno concorde, il prodotto delle soluzioni sarà positivo. Se, invece, $c$ e $a$ hanno segno discorde, il prodotto delle soluzioni sarà negativo.

A partire da queste osservazioni, possiamo costruire una seconda tabella:

**Tabella 2:** Combinazioni dei segni della somma e del prodotto delle soluzioni di un'equazione di secondo grado e segni delle soluzioni.
$x_1 + x_2$	$x_1 \cdot x_2$	Segno $x_1$	Segno $x_2$
$-$	$+$	$-$	$-$
$-$	$-$	$-$	$+$
$+$	$-$	$+$	$-$
$+$	$+$	$+$	$+$

In questa tabella abbiamo inserito i segni possibili che possono avere la somma e il prodotto delle soluzioni di un'equazione di secondo grado. In base a questi segni, possiamo determinare i segni delle soluzioni stesse.

Adesso possiamo combinare le due tabelle di sopra, ottenendo una tabella che ci permette di determinare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado in base ai segni dei coefficienti:

**Tabella 3:** Tabella che permette di determinare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado in base ai segni dei coefficienti.
$a$	$b$	$c$	$x_1 + x_2$	$x_1 \cdot x_2$	Segno $x_1$	Segno $x_2$	Tra $a$ e $b$	Tra $b$ e $c$
$+$	$+$	$+$	$-$	$+$	$-$	$-$	permanenza	permanenza
$+$	$+$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$	permanenza	variazione
$+$	$-$	$-$	$+$	$-$	$+$	$-$	variazione	permanenza
$+$	$-$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	variazione	variazione

Ora, osservando bene la tabella, possiamo notare che se tra $a$ e $b$ c'è una variazione di segno, la soluzione $x_1$ avrà segno positivo, mentre se c'è una permanenza di segno, la soluzione $x_1$ avrà segno negativo.

Analogamente, se tra $b$ e $c$ c'è una variazione di segno, la soluzione $x_2$ avrà segno positivo, mentre se c'è una permanenza di segno, la soluzione $x_2$ avrà segno negativo.

Da ciò possiamo ricavare la Regola di Cartesio:

Definizione

Regola di Cartesio per le Equazioni di Secondo Grado

Sia data l'equazione di secondo grado:

ax^2 + bx + c = 0

Con $a > 0$ e $b \neq 0$ e $c \neq 0$ .

Supponendo che l'equazione abbia due soluzioni reali e che, quindi, il suo discriminante sia:

\Delta = b^2 - 4ac \geq 0

Allora abbiamo che:

Ad ogni variazione del segno dei coefficienti corrisponde una soluzione positiva;
Ad ogni permanenza del segno dei coefficienti corrisponde una soluzione negativa.

Esempi

Proviamo ad applicare la regola di Cartesio ad alcune equazioni di secondo grado.

Esempio

Prendiamo l'equazione:

2x^2 -12x + 16 = 0

Abbiamo che i coefficienti sono:

a = 2 \quad b = -12 \quad c = 16

Il discriminante è:

\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 144 - 128 = 16

Poiché il discriminante è maggiore di zero, l'equazione ha due soluzioni reali. Ora, vediamo i segni dei coefficienti:

a &gt; 0 \quad b &lt; 0 \quad c &gt; 0

Abbiamo una variazione di segno tra $a$ e $b$ , ( $+$ e $-$ ), quindi la soluzione $x_1$ sarà positiva. Allo stesso modo, abbiamo una variazione di segno tra $b$ e $c$ , ( $-$ e $+$ ), quindi la soluzione $x_2$ sarà positiva.

Entrambe le soluzioni saranno positive.

Proviamo a verificare che le soluzioni siano effettivamente positive:

x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

= \frac{12 \pm \sqrt{16}}{4}

= \frac{12 \pm 4}{4}

x_1 = 4 \quad x_2 = 2

Abbiamo confermato che le soluzioni sono positive.

Esempio

Prendiamo l'equazione:

3x^2 + 21x + 30 = 0

Abbiamo che i coefficienti sono:

a = 3 \quad b = 21 \quad c = 30

Il discriminante è:

\Delta = 21^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30 = 441 - 360 = 81

Poiché il discriminante è maggiore di zero, l'equazione ha due soluzioni reali. Ora, vediamo i segni dei coefficienti:

a &gt; 0 \quad b &gt; 0 \quad c &gt; 0

Abbiamo due permanenze di segno, quindi entrambe le soluzioni saranno negative: $a$ e $b$ sono positivi, così come $b$ e $c$ .

Proviamo a verificare che le soluzioni siano effettivamente negative:

x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

= \frac{-21 \pm \sqrt{81}}{6}

= \frac{-21 \pm 9}{6}

x_1 = -5 \quad x_2 = -2

Abbiamo confermato che le soluzioni sono negative.

In Sintesi

In questa lezione abbiamo visto che:

La Regola di Cartesio permette di determinare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado senza risolverla;
La regola si basa sulla permanenza e sulla variazione dei segni dei coefficienti dell'equazione;
Se tra due coefficienti consecutivi c'è una variazione di segno, la soluzione corrispondente sarà positiva;
Se tra due coefficienti consecutivi c'è una permanenza di segno, la soluzione corrispondente sarà negativa.

Lezione Precedente Indice del capitolo

$a$	$b$	$c$	$x_1 + x_2$	$x_1 \cdot x_2$
$+$	$+$	$+$	$-$	$+$
$+$	$+$	$-$	$-$	$-$
$+$	$-$	$-$	$+$	$-$
$+$	$-$	$+$	$+$	$+$

$a$	$b$	$c$	$x_1 + x_2$	$x_1 \cdot x_2$
$+$	$+$	$+$	$-$	$+$
$+$	$+$	$-$	$-$	$-$
$+$	$-$	$-$	$+$	$-$
$+$	$-$	$+$	$+$	$+$

$a$	$b$	$c$	$x_1 + x_2$	$x_1 \cdot x_2$
$+$	$+$	$+$	$-$	$+$
$+$	$+$	$-$	$-$	$-$
$+$	$-$	$-$	$+$	$-$
$+$	$-$	$+$	$+$	$+$